高中立体几何大题20题

1、实用文案(2012 江西省）（本小题满分12 分）如图，在梯形 ABCD中，AB CD，E，F 是线段 AB 上的两点， 且 DEAB，CF AB，AB=12，AD=5，BC=42 ， DE=4.现将 ADE， CFB分别沿 DE， CF 折起，使 A， B 两点重合与点G，得到多面体 CDEFG.（ 1） 求证：平面 DEG平面 CFG；（ 2) 求多面体 CDEFG的体积。【解析】（ 1）由已知可得AE=3， BF=4，则折叠完后EG=3， GF=4，又因为EF=5，所以可得EGGF 又因为 CF底面 EGF , 可得 CFEG ，即 EG面 CFG 所以平面DEG平面 CFG.（2）过G

2、 作GO垂直于EF，GO即为四棱锥G-EFCD的高，所以所求体积为1 S正方形 DECF GO1551220335标准文档实用文案2012，山东 (19) (本小题满分12 分 )如图，几何体 EABCD 是四棱锥， ABD 为正三角形，CB CD ,ECBD .( ) 求证： BEDE ；( ) 若 BCD120，M 为线段 AE 的中点，求证： DM 平面BEC .解：设 BD 中点为 O，连接OC， OE，则由 BCCD 知， COBD ，又已知CEBD，所以BD平面.OCE所以 BDOE ，即 OE是 BD的垂直平分线，所以 BEDE .(II) 取 AB中点 N，连接 MN , DN

3、 ， M是 AE的中点，MN BE ， ABD 是等边三角形，DNAB .由 BCD 120°知， CBD 30°，所以 ABC 60°+30° 90°，即 BCAB ，所以 ND BC，所以平面 MND平面 BEC，故 DM平面 BEC.标准文档实用文案2012 浙江 20（本题满分15 分）如图，在侧棱锥垂直BC底面的四棱锥 ABCDADA1B1C1D1中， AD / / BC, ADEFAB, AB2, AD 2, BC 4, AA12,E 是DD1 的中点， FBC1A11是平面 B1C1E 与直线 AA1 的交点。D1( 第20题图

4、)证明：（i ） EF / / A1D1;（ii）BA1平面 B1C1 EF ;（）（）求 BC1 与平面 B1C1 EF 所成的角的正弦值。解析： 本题主要考查空间点、线、面位置关系，线面所成角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理认证能力。（）（i ）因为 C1B1 / / A1 D1 ,C1D1 平面 ADD1 A1 , 所以 C1B1 / / 平面 A1 D1 DA.又因为 平面 B1C1 EF平面 A1D1DA EF , 所以 C1B1 / EF,所以A1D1 / EF .（ii）因为BB1平面 A1B1C1 D1 , 所以 BB1B1C1 .又因为B1C1B1 A1 ,所以 B1C

5、1 平面 ABB1 A1 ,所以 B1C1 BA1 .在矩形 ABB1 A1中 , F 是 AA1 的中点， tanA1 B1 F tan AA1 B2 ,2即A1B1FAA1B BA1 B1F .所以 BA1平面 B1C1EF .ABCD（）设 BA1 与 B1 F 交点为 H ，连接 C1 H ,FEH1A1B1C由（）知 BA1平面 B1C1EF .D1( 第20题图 )所以BC1 H 是 BC1 与面 B1C1EF 所成的角标准文档实用文案在矩形 AA1 B1 B中, AB2, AA1 2, 得BH4 .6在直角 BHC1 中， BC12 5,BH4,得 sinBC1 HBH30.6B

6、C115所以 BC1 与平面 B1C1 EF 所成的角的正弦值是3015.（ 2010 四川）18、( 本小题满分 12 分 ) 已知正方体 ABCDA'B 'C 'D '中，点 M是棱 AA'的中点，点 O 是对角线 BD ' 的中点，（）求证： OM为异面直线 AA '与 BD ' 的公垂线；（）求二面角 M BC 'B ' 的大小；解：连接 AC,取 AC中点 K，则 K 为 BD中点，连接 OK，因为点 M是棱 AA'的中点，点 O 是 BD '的中点， AM1DD'OK ,AM1B

7、D'OK,MO AK, MOAK.22由 AA'AK,得MOAA' .因为 AKBD,AKBB ', 所以 AK平面 BDD 'B ' AKBD' , MOBD '.又 OM 与异面直线 AA '和 BD ' 都相交，故 OM 为异面直线 AA '和 BD ' 的公垂线。（5 分）（）取 BB '的中点 N，连接 MN，则 MN平面 BCC 'B',过点 N作 NH BC '于 H，连接 MH，则由三垂线定理得BC 'MH ,从而MHN 为二面角 MBC &#

8、39; B ' 的平面角。设 AB1,则 MN1, NHBN sin 4512222，4在 Rt MNH 中， tan MHNMN12 .NH224故二面角 MBC ' B ' 的大小为 arctan 2 2 。（12 分）标准文档实用文案2010 辽宁文（ 19）（本小题满分12 分）如图，棱柱ABCA1B1C1 的侧面 BCC1B1 是菱形， B1CA1 B（）证明：平面A1B1C平面 A1 BC1 ；（）设 D 是 A1C1 上的点，且AB1 / 平面 B1CD ，求 A1D : DC1 的值。标准文档实用文案2012 辽宁（ 18） ( 本小题满分 12 分 )

9、如图，直三棱柱ABC A/ B/C/ ，BAC 90 ，ABAC2, AA=1，点 M，N分别为 A/ B 和 B/C / 的中点。( ) 证明： MN 平面 A/ ACC /;( ) 求三棱锥A/MNC 的体积。（椎体体积公式V=1 Sh, 其中 S 为地面面积，h 为高）3【答案与解析】标准文档实用文案2012，北京（ 16）（本小题共14 分）如图 1，在 RtABC 中， C90，D，E分别为AAC ， AB 的中点，点 F 为线段 CD 上的一点，将ADE沿 DE 折起到A1DE 的位置，使 A1FCD ，如图 2A1（）求证： DE / 平面 A1CB ；DE（）求证：A1 FBE

10、 ；FDE（）线段A1B上是否存在点Q，使AC平面DEQ？F1CBCB说明理由图1图2解：（）因为 D ， E 分别为 AC ， AB 的中点，所以 DE / BC 又因为 DE平面 A1CB ，所以 DE / 平面 A1CB 平面（）由已知得 ACBC且DE /BC ，所以所以DEAC 所以 DE A1D ， DE CD DE平面 A1DC 而 A1F平面 A1DC ，所以 DEA1F 又因为 A1 FCD ，所以 A1 F平面 BCDE 所以 A1FBE （）线段A1B上存在点Q，使AC平面DEQ理由如下：1如图，分别取A1C， A1B的中点 P， Q，则 PQ / BC又因为 DE /

11、BC ，A1所以 DE/ PQ所以平面 DEQ 即为平面 DEP PQ由（）知， DE平面 A1DC ，DEF标准文档CB实用文案所以 DEA1C 又因为 P 是等腰三角形DA1C 底边 A1C 的中点，所以 A1CDP 所以 AC1平面 DEP 从而AC平面DEQ1故线段A1 B上存在点Q，使得AC1平面 DEQ 2012 天津 17. （本小题满分13 分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面 ABCD是矩形， ADPD， BC=1，PC=2 3 ， PD=CD=2.（ I ）求异面直线 PA 与 BC所成角的正切值；（ II ）证明平面 PDC平面 ABCD；（ III ）求直线 PB 与

12、平面 ABCD所成角的正弦值。标准文档实用文案18（本题满分 12 分）如图，已知直三棱柱ABC A1B1C1 ， ACB 90，AC BC 2， AA4 ，E、 F 分别是棱 CC、AB中点11（ 1）判断直线 CF和平面 AEB1 的位置关系，并加以证明；（ 2）求四棱锥 A ECBB1的体积（ 1）解： CF/ 平面 AEB1，2 分证明如下：取 AB1 的中点 G，联结 EG， FGF ,G 分别是棱 AB、 AB中点FG / BB1 , FG1.4 分BB1121又1FG / EC, FGECEC / BB, ECBB2四边形 FGEC是平行四边形CF / EG.又CF 平面 AEB

13、， EG平面 AEB，CF / 平面 AEB。6 分11（ 2）解： 三棱柱 ABCA1B1C1 是直棱柱，BB1 平面 ABC， 又 AC 平面 ABCACBB1ACB90ACBCBB1 BC.B标准文档实用文案AC 平面1V1 SACECBBA ECBB13SCBB11E 是棱 CC1 的中点，ECAA122SECBB11(ECBB1)BC1(24)2622VA ECBB11SECBB1AC1624.12 分33( 本小题满分12 分 ) 如图，三棱锥 中， ， 为中点，D为PB中ABPCAPPCACBCMAB点，且 PMB为正三角形 .（）求证：/ 平面；DMAPC（）求证：平面 ABC

14、平面 APC；（）若BC=4，AB=20，求三棱锥 D BCM的体积 .解：（） M为 AB中点， D 为 PB 中点， MD/AP，又 MD 平面 ABC DM/平面 APC3 分（） PMB为正三角形，且D为 PB中点。 MDPB又由（）知MD/AP， APPB又已知 AP PC AP平面 PBC， APBC，又 AC BC BC平面 APC，平面 ABC平面 PAC8 分（） AB=20 MB=10 PB=10又 BC=4， PC1001684221.SBDC1SPBC1PC BC14221 221.12144又 MDAP20 210253.22标准文档实用文案 VD-=V =1112

15、分S BDC DM22153107BCM M-BCD33【2012 高考全国文19】（本小题满分 12 分）（注意：在试题卷上作P答无效 ）如图，四棱锥PABCD 中，底面 ABCD 为菱形， PA 底面 ABCD ，AC22，PA 2 ，E 是 PC 上的一点， PE 2EC 。E（）证明： PC平面 BED ；A（）设二面角 ABDPB C 为 90 ，求 PD 与平面 PBC 所成角的C大小。解析：【命题意图】本试题主要是考查了四棱锥中关于线面垂直的证明以及线面角的求解的运用。从题中的线面垂直以及边长和特殊的菱形入手得到相应的垂直关系和长度， 并加以证明和求解。解：设 AC BDO ,

16、以 O 为原点， OC 为 x 轴， OD 为 y 轴建立空间直角坐标系，则A(2, 0, 0),C (2, 0, 0),P (设 B(0,a,0), D (0, a,0), E(x, y, z) 。2, 0, 2),（） 证明： 由 PE2EC得 E(2,0, 2)，所以 PC (22,0,2)，BE( 2,a, 2) ，3333BD(0, 2a,0) ，所以 PC BE(22,0, 2) (2 , a, 2 )0 ，33PC BD (2 2,0,2) (0, 2a,0)0。所以 PCBE ,PCBD ，所以 PC平 面BED ；（）设平面PAB的法向量为n ( x, y, z)，又AP(0

17、, 0, 2),AB(2 ,a，由, 0)标准文档实用文案n AP0, nAB0 得 n(1,2，设平面PBC的 法 向 量 为 m(x, y, z) ， 又,0)aB C (2 , a , 0 )C, P(22 ,，0由,2m) BC 0,m CP0，得 m (1,2, 2) ，由a于二面角 APBC为90，所以 m n0 ，解得 a2 。所以 PD(2, 2,2) ，平面 PBC 的法向量为m(1,1, 2) ，所以 PD 与平面 PBC 所成角的正弦值为| PD m |1PD 与平面| PD | | m |，所以2PBC 所成角为.627. 【 2012 高考安徽文 19】（本小题满分

18、12 分）如图，长方体 ABCDA1 B1C1D1 中，底面 A1B1C1 D1 是正方形， O 是 BD 的中点， E是棱 AA1 上任意一点。（）证明：BDEC1 ；（）如果AB =2， AE =2 ， OEEC1 , ，求 AA1 的长。【解析】（ I ）连接 AC ， AE / /CC1E, A,C,C1 共面长方体 ABCDA1 B1C1D1 中，底面 A1 B1C1D1 是正方形标准文档实用文案AC BD ,EA BD, ACEAABD面 EACC1BD EC1（）在矩形1 1中，OEEC1OAE11ACC AEAC得： AEAC112AA12AA13 2AOEA1222【2012

19、 高考四川文19】 ( 本小题满分12分)如图，在三棱锥P ABC 中，APB 90 ， PAB60 ，ABBC CA，点 P在平面 ABC 内的射影 O 在 AB 上。（）求直线 PC 与平面 ABC 所成的角的大小；（）求二面角 BAP C 的大小。命题立意： 本题主要考查本题主要考查直线与平面的位置关系，线面角的概念， 二面角的概念等基础知识，考查空间想象能力，利用向量解决立体几何问题的能力. 解析 （1）连接 OC. 由已知，OCP 为直线 PC与平面 ABC 所成的角设 AB 的中点为 D，连接 PD、 CD.因为 AB=BC=CA,所以 CDAB.因为APB90 ，PAB60 ，所

20、以PAD 为 等边三角形，不妨设 PA=2，则 OD=1， OP= 3 , AB=4.所以 CD=2 3 ， OC= OD 2CD 21 1213 .在 Rt OCP中，tan OPCOP339OC13.6 分13（ 2）过 D 作 DEAP 于 E，连接 CE.由已知可得， CD平面 PAB.据三垂线定理可知，CE PA，标准文档实用文案所以，CED 为二面角 B AP C的平面角 .由（ 1）知， DE=3CD2 32在 Rt CDE中， tan CED3DE故二面角 B AP C的大小为 arctan 212 分 点评 本题旨在考查线面位置关系和二面角的基础概念，重点考查思维能力和空间想

21、象能力，进一步深化对二面角的平面角的求解. 求解二面角平面角的常规步骤：一找（寻找现成的二面角的平面角）、二作（若没有找到现成的，需要引出辅助线作出二面角的平面角）、三求（有了二面角的平面角后，在三角形中求出该角相应的三角函数值）.【2012 高考天津文科17】（本小题满分13 分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形， AD PD，BC=1， PC=2 3 ， PD=CD=2.（ I ）求异面直线 PA 与 BC所成角的正切值；（ II ）证明平面 PDC平面 ABCD；（ III ）求直线 PB 与平面 ABCD所成角的正弦值。【解析】（I ） AD / /BCPAD 是 PA

22、 与 BC 所成角在ADP 中， ADPD,AD BC1,PD 2tanPD2PADAD异面直线 PA 与 BC 所成角的正切值为2标准文档实用文案（II） AD PD, ADDC ,PD DCDAD面 PDCAD面 ABCD平面 PDC平面 ABCD（III）过点 P作 PECD 于点 E ，连接 BE平面 PDC平面 ABCDPE 面 ABCDPBE 是直线 PB 与平面 ABCD 所成角CDPD2, PC2 3PDC120PE3, DE1在 RtBCE 中， BEBC 2CE210PBBE 2PE213在 RtBPE 中， sinPBEPE39PB13得：直线 PB 与平面 ABCD 所

23、成角的正弦值为3913【2012 高考新课标文19】（本小题满分12 分）1如图，三棱柱ABCA1B1C1 中，侧棱垂直底面， ACB=90°， AC=BC=AA1， D是棱 AA1 的中点 2( ) 证明：平面BDC1平面 BDC（）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.C1B 1A 1DBCA解析： 本题主要考查空间线线、线面、面面垂直的判定与性质及几何体的体积计算，考查空间想象能力、逻辑推理能力，是简单题.标准文档实用文案解：（）由题设知BC CC1 ,BC AC， CC1 ACC,BC面 ACC1A1 ,又 DC1面 ACC1 A1， DC1BC ,由题设知A1D

24、C1ADC 450, CDC1 =900, 即DC1DC ,又 DCBCCDC1面 BDC,DC1面 BDC1，面 BDC 面 BDC1 ；（）设棱锥 BDACC1的体积为 V1 ， AC =1，由题意得， V1 =11211=1 ，322由三棱柱 ABCA1B1C1 的体积 V =1， (V V1) :V1 =1:1 ，平面 BDC1 分此棱柱为两部分体积之比为1:1.【 2102 高考北京文 16】（本小题共 14 分）如图 1，在 Rt ABC中， C=90°， D， E 分别为 AC，AB的中点， 点 F 为线段 CD上的一点， 将 ADE沿 DE折起到 A1DE的位置， 使

25、 A1FCD，如图 2。(I) 求证： DE平面 A1CB；(II) 求证： A1F BE；(III) 线段 A1B上是否存在点 Q，使 A1C平面 DEQ？说明理由。解析：本题第二问是对基本功的考查，对于知识掌握不牢靠的学生可能不能顺利解决。第三问的创新式问法，难度比较大。解：（1）因为 D,E 分别为 AC,AB的中点，所以 DE BC.又因为 DE 平面 A1CB,所以 DE平面 A1CB.（ 2）由已知得AC BC且 DE BC,所以 DE AC.所以 DE A1D,DE标准文档实用文案CD.所以 DE平面 A1DC.而 A1F平面 A1DC,所以 DE A1F. 又因为A1F CD,

26、所以 A1F平面 BCDE.所以 A1F BE（ 3）线段 A1B上存在点 Q,使 A1C平面 DEQ.理由如下：如图，分别取 A1C,A1B 的中点 P,Q, 则 PQ BC.又因为 DE BC,所以 DE PQ.所以平面 DEQ即为平面 DEP.由（ 2）知 DE平面 A1DC,所以 DE A1C.又因为 P 是等腰三角形DA1C底边 A1C 的中点，所以 A1C DP,所以 A1C平面 DEP,从而 A1C平面 DEQ.故线段 A1B 上存在点Q,使得 A1C平面 DEQ.【2012 高考陕西文18】（本小题满分12 分）直三棱柱ABC- A1B1C1 中， AB=A A1 ，CAB =

27、2（）证明 CB1BA 1 ;（）已知AB=2， BC= 5 ，求三棱锥C1ABA 1 的体积【解析】（）如图，连结AB1 ,ABC A1B1C1 是直三棱柱，CAB= ，来源 ，2标准文档实用文案AC平面 ABB1 A1 , 故 ACBA1 又ABAA1 ，四边形 ABB1 A1 是正方形，BA1AB1 ，又 CA AB1A ，BA1平面 CAB1 ，故 CB1BA1 （）ABAA12， BC5 ，1 11AC AC由（）知，A1C1平面 ABA1 ，VC1112ABA1S ABA1 · A1C1 =2 1333【2012 高考辽宁文18】 ( 本小题满分12分)如图，直三棱柱/

28、/ /，AB AC2, ABC A BC，BAC 90，点 M，N分别为AA=1A/ B 和 B/C / 的中点。() 证明： MN 平面 A/ ACC / ;( ) 求三棱锥A/MNC 的体积。（椎体体积公式V=1 Sh, 其中 S 为地面面积，h 为高）3解析： 本题以三棱柱为载体主要考查空间中的线面平行的判定、棱锥体积的计算，考查空间标准文档实用文案想象能力、推理论证能力、运算求解能力，难度适中。【解析】（ 1）（法一）连结AB',AC' ，由已知BAC =90 ,AB=AC三棱柱 ABC-ABC'' ' 为直三棱柱，所以 M 为 AB'中

29、点 . 又因为 N 为 BC''中点所以 MN /AC' ，又 MN平面 AACC' 'AC'平面 AACC'' ，因此 MN /平面 AACC' '6 分（法二） 取 A B 的中点为 P，连结 MP， NP， M ,N 分别为 A/B和 B/C/的中点，MP AA ,NP A C ,MP面 A ACC ,NP面 A ACC , MPNPP ,面 MPN面 A ACC ，MN面 AACC ， MN面 A ACC .()（解法一）连结 BN，由题意 AN BC ,面 ABC 面 BBCC =BC , A N 面 NBC，AN=1BC =1,2 VAMNCVNA MC1VN ABC1 VA NBC1.226(解法 2) VAMNCVANBC1 VM NBC1 VANBC1226【2012高考江苏16】（ 14 分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，DE1 11 1， 分别是棱 BC ，CC1 上的点（点 D 不同于点 C ）