直线与椭圆位置关系专题经典讲义.

1、直线与椭圆的位置关系专题讲义知识点 1：直线与椭圆位置关系、弦长问题：将直线方程 ykxb （或 xmyx 2y 21 (ab练习、若直线 ykx 1( k R) 与椭圆 x2y 21恒有公共点，求实数m 的取值范围b）代入椭圆方程：b20) ，5ma 2整理得到关于x（或 y）的一个一元二次方程Ax 2Bx C0 （或 Ay 2ByC 0 ）当直线 l 与椭圆相交；当直线 l 与椭圆相切；当直线 l 与椭圆相离。若直线 l ： ykxb 与椭圆 x2y21(ab0) 相交于 A ，B 两点，22a2b2例 3、求直线 x y1=0 被椭圆 xy1 截得的弦长弦长公式：164| AB | 或

2、| AB | 焦点弦：若弦过圆锥曲线的焦点叫焦点弦；通径：若焦点弦垂直于焦点所在的圆锥曲线的对称轴，此时焦点弦叫通径。 通径公式为： _ .例 1.当 m 为何值时，直线 y=x+m 与椭圆 x2y 21相交？相切？相离？169练习 、已知椭圆： x 2y 21，右顶点为 A，过左焦点 F1 作倾斜角为的直线交椭圆于96M 、 N 两点，求弦 MN 的长及AMN 的面积。练习、直线y=mx+1 与椭圆 x2+4y2=1 有且只有一个交点，则m2=（）1234(A)(B)(C)(D)2345知识点 2：中点弦问题（点差法）例 4椭圆 x2y 21内有一点 P（ 2， 1），求经过 P 并且以 P

3、 为中点的弦所在直线方程。例 2、直线 y=kx+1 与焦点在 x 轴上的椭圆 x2 /9+y2/m=1 总有公共点，求实数m 的取值范围是（）164A、 1/2m 9B、9 m10C、 1m9D、 1 m9例 6.已知椭圆 E : x2y21(ab0) 的右焦点为 F (3,0)，过点 F 的直线交椭圆于A, B 两点。a2b2若 AB 的中点坐标为(1,1) ，则 E 的方程为()x2y 2x2y2x2y21x2y 2A.1B.1C.18D.14536362727189练习、如果椭圆x 2y2平分，则这条弦所在的直线方程是（）361的弦被点 (4,2)9A. x 2 y 0 B.x2 y

4、4 0 C.2x 3 y 12 0 D. x 2y 8 0练习、已知中心在原点，一焦点为F ( 0,50) 的椭圆被直线l : y3x2截得的弦的中点的横坐标为 1 ，求椭圆的方程。2例 5、求直线 y=x+1 被椭圆 x2+2y2=4 截得的弦的中点坐标。知识点 3：椭圆中的最值问题练习、已知椭圆y2x21 的一条弦的斜率为3，它与直线 x1的交点恰为这条弦的中点M ，例 7.已知椭圆 E： x 2y 21， P( x， y) 是椭圆上一点752522516求点 M 的坐标。（1）求 x+y 的最大值（2）求点 P 到直线 x-y+10=0 的距离的最小值。练习【 12 陕西】已知椭圆C1:

5、 x2y21 ，椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴，且与 C1 有相同的离心率。4（ 1）求椭圆 C2 的方程；练习：求椭圆 x 2y 21上的点到直线 x 2y2 0的最小距离A， B 分别在椭圆 C1 和 C2 上， OB 2OA，求直线 AB 的方程。43（ 2）设 O 为坐标原点，点知识点 4.直线椭圆综合问题M： x2y2例 9 (2013课标全国 2) 平面直角坐标系xOy 中，过椭圆22 =1 ( a b0) 右焦点的直线abx y 30 交 M于 A， B 两点， P 为 AB的中点，且 OP的斜率为 1 .2x2y 22(1)求 M的方程；例 8（ 12 北京）已知椭圆C：，

6、 直(2)C， D为 M上两点，若四边形ACBD的对角线 CD AB，求四边形 ACBD面积的最大值a2 +b2 =1（ ab0 ）的一个顶点为A （2,0），离心率为2线 y=k(x-1)与椭圆 C 交与不同的两点M,N（）求椭圆 C 的方程（）当 AMN 的面积为10 时，求 k 的值3直线与椭圆的位置关系专题基础训练一、选择题， F2 分别是椭圆 C： x2y 21. 已知椭圆 C: x24y24,过点 P2,0与椭圆 C只有一个交点的直线方程是（）例 10（2014 新课标 2）设 F11 （ a>b>0）的左，右焦点，M是C上（ A）x+2=0（ B） x-2=0（ C）

7、 y+2=0（ D） y-2=0a2b2与椭圆 x2y22直线 ykxk 11 的位置关系为（）一点且 MF2 与 x 轴垂直，直线MF1 与 C 的另一个交点为N。（ A）相切94（ C）相离（ D）不确定（ I）若直线 MN 的斜率为 3 ，求 C 的离心率；（ B）相交3椭圆 x2y21 上的点到直线 x2 y20 的最大距离是4（）（ II）若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2 且 |MN|=5|F1N| ，求 a， b164（A）3（B） 11（C）2 2（D） 104. 直线 yx1被椭圆 x22 y24 所截的弦的中点坐标是（）（A）( 1 , 2 )（B）( 2,1 )（C）

8、(1, 1)（D）(1, 1)333323325. 已知椭圆 x2y21，椭圆内一点 P(4, 2) , 则以 P 为中点的弦所在的直线的斜率是（）369（A） 1（B） 1（ C）2（D） 2226设定点 F（ 0， 3）、F（ 0，3），动点 P 满足条件9(a 0)，则点 P 的轨迹是（）PF1 PF2 a12aA椭圆B线段C不存在D椭圆或线段二、填空题x2y21表示椭圆，则m 的取值范围为7.方程k19 k8.椭圆 x2+y2= 1 的焦点 F1 、 F2 ， P 为椭圆上的一点，已知PF1PF2 ，则 F1PF2 的面积259为 _9 称焦距与短轴长相等的椭圆为“黄金椭圆”，则黄金椭

9、圆的离心率为10. （浙江卷13）已知 F1、F2为椭圆x2y 21的两个焦点， 过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两点 若259F2A F2B 12，则 AB =。11. （海南卷15）过椭圆 x2y21的右焦点作一条斜率为2 的直线与椭圆交于 A、 B 两点， O 为15. 已知椭圆方程为x2y21，内有一条以点 P 1, 1为中点的弦 AB ，求 AB 所在的直线 l 的方5422坐标原点，则 OAB的面积为 _程及 AB 的弦长。12. 经过椭圆 x2y21的一个右焦点作倾斜角为45 的直线 l ，交椭圆于 A 、 B 两点设 O为坐2标原点，则 OA OB 等于。三、简答题13、已知

10、椭圆x 2y21 的左右焦点分别为F ,F ，若过点P（0， -2 ）及 F 的直线交椭圆于 A,B2121两点，求 |AB| 及F2 AB 的面积16、已知中心在原点，长轴在 x 轴上的椭圆 , a23c ，若椭圆被直线x+y+1=0 截得的弦的中点的2横坐标是，求椭圆的方程。314.已知椭圆 4x2y 21及直线 yxm （ 1）当 m 为何值时，直线与椭圆有公共点？（ 2）若直线被椭圆截得的弦长为2 10 ，求直线的方程517.椭 圆C:x2y21(ab0)的两个焦点为 F1,F2,点 P 在椭圆 C 上，且a2b2PF1F F1,2|PF1| 4PF,|21| 4.33（）求椭圆C 的

11、方程；（）若直线 l 过圆 x2+y2+4x-2y=0 的圆心，交椭圆C 于 A、 B 两点，且 A、B 关于点 M 对称，求直线 l 的方程 .18. 已知圆 B : ( x 1)2y216及点 A(1,0) ， M 为圆 B 上任一点， 线段 AM 的垂直平分线 与线段BM 的交点为 P ，设点 P 的轨迹为曲线 C 。（ 1）求曲线 C 的轨迹方程；（ 2）过点 (2,4) 且倾斜角为3 的直线与曲线 C 交于 E, F 两点， O 为原点， 求OEF 的面积；4（ 3）过点 (1,1) 的直线 l 与曲线 C 交于 R, S 两点，且线段 RS 被点 (1,1) 平分，求直线 l 的方

12、程。y642PM115B oA52直线与椭圆的位置关系专题能力提高21.设 F1 ,F2 分别是椭圆 E： x2+ y2 =1（ 0 b 1）的左、右焦点，过F1 的直线 L 与 E相交于 A、bB 两点，且AF，AB，BF成等差数列。22求 AB若直线 L 的斜率为1，求 b 的值。x2y21(ab 0) 的离心率为3 ，且过 (2,0) 点。2.椭圆 C :b2a22（1）求椭圆 C 的方程；（2）设直线 l : yxm 与椭圆 C 交于 A，B 两点， O 为坐标原点， 若OAB 直角三角形，求 m的值。x43. （ 2013年高考陕西卷（文） ）已知动点 M( x, y) 到直线 l

13、: x = 4 的距离是它到点N(1,0)的距离的 2与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为4 3 .3倍 .( ) 求椭圆的方程 ;( )求动点 M的轨迹 C的方程 ;( ) 设 A, B 分别为椭圆的左右顶点 ,过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于C, D两点.若( )过点 (0,3) 的直线与轨迹C交于,B两点 .若A是的中点 ,求直线的斜率 .PmAPBmAC·DBAD ·CB8 ,求 k 的值 .4椭圆 C 的对称中心为原点O，焦点在 x 轴上，离心率为1，且点（1，3）在该椭圆上 .22（ I）求椭圆 C 的方程；6.l : yx b2a 221)Ca21C设直线与椭圆：xy相交于 A ， B 两点，且 l 过椭圆的右焦（ II）过椭圆 C 的左焦点 F1的直线 l 与椭圆 C 相交于 A, B 两点，若AOB 的面积为62 ，求圆心C 的方程。7点，若以 AB为直径的圆经过椭圆的左焦点，求该椭圆在原点 O 且与直线 l 相 切的圆的方程 .227.2014 全·国新课标卷 已知点 P(2，2)，圆 C：x y 8y0，过点