直线与椭圆的位置关系练习题答案.

1、直线与椭圆的位置关系练习1.椭圆x2y 21上的点M到焦点F1的距离为2N为MF1的中点，则ON（O为坐标原点）的值为259，（）A4B 2C 8D 32解：如图所示，设椭圆的另一个焦点为 F2 ，由椭圆第一定义得MF1MF22a10 ，所以 MF210MF11028 ，又因为 ON 为MF1 F2 的中位线，所以 ON1MF24 ，故答案为 A 22.若直线 ykx1(kR) 与椭圆x 2y 21恒有公共点，求实数m 的取值范围5mykx1(52)210550 ，解法一：由22可得xykm xkxm15mm 5k 21 0 即 m 5k 21 1m 1且 m 5解法二：直线恒过一定点(0,1

2、) 当 m5 时，椭圆焦点在x 轴上，短半轴长bm，要使直线与椭圆恒有交点则m1即 1m5当 m 5 时，椭圆焦点在y 轴上，长半轴长a5 可保证直线与椭圆恒有交点即m5综述： m1且 m5解法三：直线恒过一定点(0,1)要使直线与椭圆恒有交点，即要保证定点(0,1) 在椭圆内部 0 2121 即 m15m3.已知椭圆 4x2y21及直线 yxm （ 1）当 m 为何值时，直线与椭圆有公共点？（ 2）若直线被椭圆截得的弦长为210 ，求直线的方程53.1yxm 代入椭圆方程4x2y21得4 x2xm21，解：（ ）把直线方程即 5x22mxm210 2m 245m2116m2200 ，解得5m

3、522（ 2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为x1 ， x2 ，由（ 1）得 x1 x22mm21， x1x2552m2 12 10 解得 m根据弦长公式得：1122m40 方程为 yx 555x 2y 2F1,F2，若过点 P（ 0，-2）及 F1 的直线交椭圆于A,B 两点，求4. 已知椭圆1的左右焦点分别为2 1 ABF 2 的面积y2x2y2解法一：由题可知：直线l AB 方程为 2xy2 0 由x 2y 21可得 94 y 4 0 ，21y1y2( y1y2 )24 y1 y24 10S1 F1F2 y1y24 1092945y2x2解法二： F2 到直线 AB 的距离 h由x2y

4、2可得 9x216x60 ，5211又 AB1 k 2 x1x210 2S1 AB h4 10929解法三：令(,y1),(x2,y2)则AF1aex1 ， BF1aex2 其中 a2, e2A x1B245y2x2可得 9x 216 x 60，F2 到直线 AB 的距离 h由x2y 21521ABaex1aex22a2e( x1x2 )10 2S1 AB h4109295. 已知中心在原点，长轴在x 轴上的椭圆的两准线间的距离为2 3 ，若椭圆被直线x+y+1=0 截得的弦的中点的横坐标是2，求椭圆的方程3解法一：令椭圆方程为mx2ny21(mn) ， A( x1 , y1 ), B( x2

5、 , y2 )x1 x22，y1y21由题得：2323由yx1可得 (m n)x 22nxn1 0 ， x1x22n4 即 n 2mmx2ny21mn3又2a 223 即1311m2 ,n4椭圆方程为2 x24 y 21cm2m2n 23333解法二：令椭圆方程为mx2ny21(m) ，A(x1, y1 ), B( x2 , y2 )n由题得：x1x22，y1y212323由mx12ny121 作差得m (x1x2 )y1y2 ( y1y2 )n 2mmx2 2ny2 21nx1x2又2a 223 即1311m2 ,n4椭圆方程为2 x24 y 21cm2m2n 233336.已知长方形ABC

6、D, AB=22 ,BC=1. 以 AB 的中点 O 为原点建立如图8 所示的平面直角坐标系xoy .( ) 求以 A、B 为焦点，且过C、D 两点的椭圆的标准方程;( )过点 P(0,2)的直线 l 交 ( ) 中椭圆于 M,N两点 ,是否存在直线l ,使得以弦 MN 为直径的圆恰好过原点 ?若存在 ,求出直线 l 的方程 ;若不存在 ,说明理由 .yDCAOBx图 8 解析( )由题意可得点A,B,C 的坐标分别为2,0 ,2,0 ,2,1 .设椭圆的标准方程是x2y 21 ab0 .a2b2则2aACBC22210 2222021422a2b 2a 2c 24 22椭圆的标准方程是x2y

7、21.42( )由题意直线的斜率存在,可设直线 l 的方程为 ykx2 k0.设 M,N 两点的坐标分别为x1 , y1 , x2 , y2 .ykx2消去 y 整理得 , 1 2k 2x28kx40联立方程 :2 y 24x 2有 x1x28k2 , x1 x2412k2k21若以 MN为直径的圆恰好过原点,则 OMON ,所以 x1 x2y1 y20 ,所以 , x1 x2 kx12kx22 0 , 即 1 k 2 x1 x22k x1x24 0所以,41k216k 240 即84k 20, 得 k 22, k2.1 2k21 2k 212k 2所以直线 l的方程为 y2x2 ,或 y2x

8、2 .所以存在过P(0,2)的直线l : y2x2使得以弦 MN为直径的圆恰好过原点 .7. 已知椭圆的中心在坐标原点 O，焦点在坐标轴上， 直线 y=x+1 与椭圆交于 P 和 Q，且 OP OQ ，|PQ|= 10 ， 2求椭圆方程mx2+ny2=1(m 0,n 0)， P(x1,y1),Q(x2,y2)由y x1解 设椭圆方程为mx2得 (m+n) x2+2nx+n 1=0,ny2 1=4 n2 4(m+n)(n 1) 0,即 m+n mn0,由 OPOQ,所以 x1x2+y1y2=0,即 2x1x2+(x1+x2)+1=0, 2(n1)2n+1=0, m+n=2又 24( m nmn)

9、(10 ) 2,将 m+n=2, 代入得 m·n=3 由、mnmnx2mn24式得 m=1 ,n= 3 或 m= 3 ,n=1 故椭圆方程为+ 3 y2=1 或 3 x2+ 1 y2=1222222227. 椭圆 x2y 21 a b 0 与直线 xy1交于 P、Q两点，a 2b 2且 OPOQ ，其中 O 为坐标原点（1）求 11a 2b 2 的值；（ 2）若椭圆的离心率e 满足3 e 2 ，求椭圆长轴的取值范围3 2（ 1）设 P( x1 , y1 ), P (x 2 , y2 ) ，由 OP OQx 1 x 2 + y 1 y 2 = 0y11x1 , y21x 2 , 代入上

10、式得：2 x1 x2(x1x2 ) 10 又将 y1x代入x2y 212222220, x1 x22a 22 ,a2b2(ab )x 2a x a (1 b ) 0 ，a2ba 2 (1b 2 )x1 x2112 .a2b2代入化简得a2b 2a2(2)e2c 21b 21b 211 b 222a 2a 21a 222a 2, 又由（ 1）知 b2a 21331125235a6，长轴 2a5,6.22a2134a2228. 设直线l过点（ 0， 3），和椭圆 x2y 21 顺次交于 A、B 两点，P94若 APPB 试求的取值范围 .解：当直线 l垂直于 x轴时，可求得1;5当 l 与 x 轴

11、不垂直时，设A x1, y1, B(x2，y2 ) ，直线 l 的方程为： ykx3，代入椭圆方程，消去y 得9k 24 x254kx450解之得x1,227k69k 25 .9k 24因为椭圆关于y 轴对称，点P 在 y 轴上，所以只需考虑k0的情形 .当 k0 时， x127k69k 2527k69k 259k24， x29k 24，所以x1 9k29k 25 118k 1185.x29k29k 259k29k 259 2 92k由(54)2180 9240， 解得25，kkk9所以11181 ，综上119295k2559. 已知椭圆的一个焦点为1(0, -22) ，对应的准线方程为y92

12、F，且离心率 e 满足：42 , e, 4 成等差数列。3 3（ 1）求椭圆方程；（ 2）是否存在直线 l ，使 l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段 MN恰被直线 x1平分，若存在，求出 l2的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由。2 2，a2c922222 ， b 1，（ 1）解： 依题意 ec4 a 3，c 234又 F1(0 ， 22) ，对应的准线方程为y9 2 椭圆中心在原点，所求方程为x21 y2149(2)假设存在直线l ，依题意 l 交椭圆所得弦MN被 x1平分直线 l设直线 l ： ykxm2的斜率存在。ykxm由2消去 y，整理得 (222yk 9) x 2kmxm9 0x

13、219 l 与椭圆交于不同的两点M、 N，2222229 0 4k m 4( k 9)(m 9) 0即 m k设 M( x , y ), N( x , y)x1x2km111222k292把代入式中得(k 29) 2(k29)0 ，4k 2 k3 或 k3直线 l 倾斜角(， )3210.已知椭圆x2y21 ，k29m2k2(，)2321 1（ 1）求过点 P ， 且被 P 平分的弦所在直线的方程；2 2（ 2）求斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程；（ 3）过 A 2，1 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（ 4）椭圆上有两点P 、 Q ， O 为原点，且有直线OP 、 OQ 斜率满足

14、 kOP kOQ1，2求线段 PQ 中点 M 的轨迹方程解： 设弦两端点分别为M x1，y1， N x2，y2 ，线段 MN的中点 R x，y，则22，得x1x2x1x22y1y2y1y20 x12y1222，x22y22由题意知x1x2，则上式两端同除以x1 x2， 有x1x2，2xy1y2，y1y22yx1x2 2 y1y20 ，x1x2将代入得 x2 y y1y20 x1x2（ 1）将 x1， y1代入，得y1y21 ，故所求直线方程为：2x 4 y3 022x1x22将代入椭圆方程x22 y22 得 6 y26 y10 ，364610 符合题意， 2x4 y 30 为44所求（ 2）将 y1y2 2 代入得所