taylor级数及其应用1

1、摘要Taylor公式是数学分析中的一部分重要内容。本文论述了Taylor公式的基本内容，并着重从9各方面介绍了Taylor公式在数学分析和实际生活中的一些应用：利用Taylor公式证明恒等式和不等式，求极限和中值点的极限，还有一些应用在函数方程和线性插值中;除此以外，我们还可用Taylor公式求极值，研究函数图形的局部形态，以及在近似计算中的应用，使我们更加清楚地认识Taylor公式的重要性。关键词：Taylor公式 Peano余项 Lagrange余项 应用AbstractTaylors formula is an important knowledge in the mathematica

2、l analysis . This paper discusses some basic contents about the Taylors formula , in this paper , we discuss its applications in the mathematical analysis and reality life from 9 facts in general : we can use the Taylors formula to prove the equation and inequality , solve the limit and the value li

3、mit , There are some applications in the functional equations and linear interpolation , besides we may use it to search the extreme value and study the partial shape of the functions graph , as well as the application of approximate calculation , this can help us to know the importance of the Taylo

4、rs formula.预备知识Taylor 公式首先来了解一下Taylor公式是在什么样的背景下产生的。给定一个函数在点处可微，则有：这样当时可得近似公式或即在点附近，可以用一个的线性函数（一次多项式）去逼近函数，但这时有两个问题没有解决：（1） 近似的程度不好，精确度不高。因为我们只是用一个简单的函数一次多项式去替代可能十分复杂的函数。（2） 近似所产生的误差不能具体估计，只知道舍掉的是一个高阶无穷小量，如果要求误差不得超过，用去替代行吗？因此就迫切需要用新的逼近方法去替代函数。在下面这一节我们就来设法解决这两个问题。首先看第一个问题，为了提高近似的精确程度，我们可以设想用一个x的n次多项式

5、在附近去逼近，即令在几何上看，这表示不满足在附近用一条直线（曲线在点的切线）去替代，而是想用一条n次抛物线去替代它。我猜想在点附近这两条曲线可能会拟合的更好些。那么系数如何确定呢？假设本身就是一个n次多项式，显然，要用一个n次多项式去替代它，最好莫过与它自身了，因此应当有于是得：求一次导数可得：又求一次导数可得：这样一直进行下去可得：因此当f是一个n次多项式时，它就可以表成：即附近的点处的函数值可以通过点的函数值和各阶导数值去估算。通过这个特殊的情形，我们得到一个启示，对于一般的函数，只要它在点存在知道n阶的导数，由这些导数构成一个n次多项式称为函数在点处的Taylor公式，的各项系数，称为T

6、aylor系数。因而n次多项式的n次Taylor多项式就是它本身。Taylor公式的各种余项对于一般的函数，其n次Taylor多项式与函数本身又有什么关系呢？函数在某点附近近似地用它在点的n次Taylor多项式去替代吗？如果可以，那怎样估计误差呢？下面的Taylor定理就是回答这个问题的。定理1 （带Lagrange余项的Taylor公式）假设函数在上存在直至阶的连续导函数，则对任意，Taylor公式的余项为其中显然，为与间的一个值。即有推论 1当n=0,（2.3）式即为 Lagrange中值公式：所以，Taylor定理也可以看作是Lagrange中值定理的推广。推论 2在定理1中，若令则称为

7、一般形式的余项公式，其中。在上式中，即为Lagrange余项。若令，则得，此式称为Cauchy余项公式。当,得到Taylor公式：则（2.4）式称为带有Lagrange余项的Maclaurin公式。定理 2（带Peano余项的Taylor公式）若函数在点处存在直至阶导数，则有当时，。即有定理将证的（2.5）公式称为函数在点处的Taylor公式，称为Taylor公式的余项，形如的余项称为Peano余项，所以（2.5）式又称为带Peano余项的Taylor公式。当（2.5）式中时，可得到（2.6）式称为带Peano余项的Maclaurin公式，此展开式在一些求极限的题目中有重要应用。由于，函数的各阶Taylor公式事实上是函数无穷小的一种精细分析，也是在无穷小领域将超越运算转化为整幂运算的一种手段。这一手段使得我们可能将无理的或超越函数的极限，转化为有理式的极限，从而使得有超越函数所带来的极限式的奇性或不定性，得以有效的约除，这就极大的简化了极限的运算。在后面的应用中给以介绍。定理 3（带积分余项的Taylor公式）若函数在点的邻域内有连续的阶导数，则，有其中形如的余项称为积分余项，所以（2.7）式又称为带积分余项的Taylor公式。定理 4设，函数在内具有阶连