考研数学高数资料—无条件极值(汇编)

1、精品文档一份好的考研复习资料， 会让你的复习力上加力。 中公考研辅导老师为考生准备了【高等数学-无条件极值知识点讲解和习题】 ，同时中公考研网首发2017 考研信息， 2017 考研时间及各科目复习备考指导、复习经验，为2017 考研学子提供一站式考研辅导服务。模块十四多元函数微分学的应用一、无条件极值1、基本概念设 D 是二元函数 z f (x, y)的定义域， P0 x0 , y0是 D 的内点，若存在P0的邻域 U(P0)，使得对任意异于P0 的点 x, yU ( P0 ) 均有 f x, yf ( x0 , y0 )（或 fx, yf (x0 , y0 ) ），则称函数 z f(x,

2、y) 在点 P0处取得极大值（或极小值），点 P0 称为函数 zf ( x, y) 的极大值点（或极小值点） ，极大值点与极小值点统称为极值点.2、常用公式、定理(1 ）极值的必要条件：定 理： 设 函 数 zf ( x, y) 在 ( x0 , y0 ) 点 具有 偏 导 数 ， 且在 该 点 能 够 取 到 极 值 ， 则有fx (x0 , y0 )0, f y ( x0 , y0 )0 .(2 ）极值的充分条件：定理： 设函数 zf (x, y) 在 ( x0 , y0 ) 点的某邻域内具有连续的一阶及二阶偏导数，又设fx (x0 , y0 )0, f y ( x0 , y0 )0 .

3、令f xx (x0 , y0 )A, f xy (x0 , y0 )B, f yy (x0 , y0 )C，精品文档精品文档（1）若 ACB20 ，则函数 zf (x, y) 在 ( x0, y0 ) 点具有极值 . 当 A0 时取得极小值；当 A 0 时取得极大值 .（2）若 ACB20 ，则函数 zf (x, y) 在 ( x0, y0 ) 点不能取到极值 .（3）若 ACB20 ，则函数 zf (x, y) 在 ( x0, y0 ) 点可能有极值，也可能没有极值 .【例 1】：设可微函数u f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 取得极小值，则下列结论中正确的是（）.( A)

4、f ( x0 , y) 在 yy0处的导数等于 0( B) f ( x0 , y) 在 yy0处的导数大于0(C ) f ( x0 , y) 在 yy0处的导数小于0( D ) f ( x0 , y) 在 yy0 处的导数不一定存在答案： (A).【例 2】：设函数 zf ( x, y) 的全微分为dzxdxydy ，则点 (0,0).( A) 不是 zf (x, y) 的连续点； (B) 不是 zf (x, y) 的极值点(C ) 是 zf (x, y) 的极大值点；( D ) zf (x, y) 的极小值点答案： (D).【例 3】：计算下列函数的极值（1） f ( x, y)4( xy)x2y 2 ；（ 2） f ( x, y)e2 x (x2y22 y).-1+ 51-5极小值 .答案：（ 1） 8 极大值 ; （2） e2【例 4】：求二元函数 f ( x, y) x2 2y2y ln y 的极值 .精品文档精品文档答案：1极小值 .e【例 5】：设函数 z1 ey cos x yey ，证明：函数 zf ( x, y) 有无穷多个极大值点，而无极小值点