经典相似三角形练习题(附参考答案)(汇编)

1、精品文档相似三角形一解答题（共30 小题）6如图， E 是 ?ABCD的边 BA延长线上一点，连接EC，交 AD于点 F在不添加辅助线1如图，在 ABC中， DE BC，EF AB，求证： ADE EFC的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明2如图，梯形ABCD中， AB CD，点 F 在 BC上，连 DF与 AB的延长线交于点G（ 1）求证： CDF BGF；（ 2）当点 F 是 BC的中点时，过 F 作 EFCD交 AD于点 E，若 AB=6cm，EF=4cm，求CD的长3如图，点D， E 在 BC上，且 FD AB， FE AC求证： ABC FDE4如图，

2、已知E 是矩形 ABCD的边 CD上一点， BF AE 于 F，试说明： ABF EAD7如图，在 4× 3 的正方形方格中， ABC和 DEF 的顶点都在边长为 1 的小正方形的顶点上（1）填空： ABC=_°， BC=_；（2）判断 ABC与 DEC是否相似，并证明你的结论8如图，已知矩形ABCD的边长 AB=3cm， BC=6cm某一时刻，动点M从 A 点出发沿AB 方向以 1cm/s 的速度向B 点匀速运动；同时，动点 N 从 D点出发沿 DA方向以 2cm/s 的速度向 A 点匀速运动，问：（1）经过多少时间， AMN的面积等于矩形 ABCD面积的 ？（2）是否存

3、在时刻 t ，使以 A，M， N 为顶点的三角形与 ACD相似？若存在，求 t 的值；若不存在，请说明理由5已知：如图所示，在ABC和 ADE中， AB=AC， AD=AE， BAC= DAE，且点 B，9如图，在梯形 ABCD中，若 AB DC， AD=BC，对角线 BD、 AC把梯形分成了四个小A， D在一条直线上，连接BE， CD， M， N分别为 BE， CD的中点三角形（ 1）求证： BE=CD； AMN是等腰三角形；（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两（ 2）在图的基础上， 将 ADE绕点 A 按顺时针方向旋转 180°，其他条件不变

4、， 得个三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例）到图所示的图形请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；（2）请你任选一组相似三角形，并给出证明（ 3）在（ 2）的条件下，请你在图中延长ED交线段 BC于点 P求证： PBDAMN10如图 ABC中， D为 AC上一点， CD=2DA，BAC=45°，BDC=60°，CE BD于 E，连接 AE（1）写出图中所有相等的线段，并加以证明；精品文档精品文档（ 2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由；（ 3）求 BEC与 BEA的面积之比11如图，在 ABC中， AB=AC=a， M为底边

5、 BC上的任意一点，过点 M分别作 AB、AC的平行线交 AC于 P，交 AB于 Q（ 1）求四边形 AQMP的周长；（ 2）写出图中的两对相似三角形（不需证明）；（ 3） M位于 BC的什么位置时，四边形 AQMP为菱形并证明你的结论12已知： P 是正方形 ABCD的边 BC上的点，且BP=3PC， M是 CD的中点，试说明： ADM MCP13如图，已知梯形ABCD中， AD BC， AD=2， AB=BC=8， CD=10（ 1）求梯形 ABCD的面积 S；（ 2）动点 P 从点 B 出发，以 1cm/s 的速度，沿 B? A? D? C 方向，向点 C 运动；动点Q从点 C 出发，以

6、 1cm/s 的速度，沿 C? D? A 方向，向点 A 运动，过点 Q作 QEBC 于点 E若 P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t 秒问：当点 P 在 B? A 上运动时，是否存在这样的t ，使得直线PQ将梯形 ABCD的周长平分？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由；在运动过程中， 是否存在这样的t ，使得以 P、A、D 为顶点的三角形与CQE相似？若存在，请求出所有符合条件的t 的值；若不存在，请说明理由；在运动过程中，是否存在这样的t ，使得以P、 D、 Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在， 请求出所有符合条件的 t

7、的值；若不存在， 请说明理由14已知矩形 ABCD，长 BC=12cm，宽 AB=8cm，P、Q分别是 AB、BC上运动的两点若 P 自点 A 出发，以 1cm/s 的速度沿 AB方向运动， 同时， Q自点 B 出发以 2cm/s 的速度沿 BC方向运动，问经过几秒，以 P、 B、Q为顶点的三角形与 BDC相似？15如图，在 ABC中， AB=10cm，BC=20cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向 B 点以 2cm/s 的速度移动， 点 Q从点 B 开始沿 BC边向点 C以 4cm/s 的速度移动， 如果 P、Q分别从A、 B 同时出发，问经过几秒钟，PBQ与 ABC相似16如图， A

8、CB= ADC=90°， AC= ， AD=2问当 AB的长为多少时，这两个直角三角形相似17已知，如图，在边长为 a 的正方形 ABCD中， M是 AD的中点，能否在边 AB上找一点 N（不含 A、 B），使得 CDM与 MAN相似？若能，请给出证明，若不能，请说明理由18如图在 ABC中，C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点 Q从 B 出发，沿 BC方向以 2cm/s 的速度移动， 点 P 从 C出发，沿 CA方向以 1cm/s 的速度移动 若 Q、P 分别同时从 B、C 出发，试探究经过多少秒后，以点C、P、 Q为顶点的三角形与CBA相似？精品文档精品文档19如

9、图所示，梯形 ABCD中， AD BC， A=90°， AB=7， AD=2， BC=3，试在腰 AB 上确定点 P 的位置，使得以 P，A，D为顶点的三角形与以 P，B，C为顶点的三角形相似20 ABC和 DEF是两个等腰直角三角形，A=D=90°， DEF的顶点 E 位于边 BC的中点上（ 1）如图 1，设 DE与 AB 交于点 M， EF与 AC交于点 N，求证： BEM CNE；（ 2）如图 2，将 DEF绕点 E 旋转，使得 DE与 BA的延长线交于点 M，EF 与 AC交于点 N，于是，除（ 1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论21如

10、图，在矩形 ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，点 P 沿 AB边从点 A 开始向 B 以 2cm/s 的速度移动； 点 Q沿 DA边从点 D 开始向点 A 以 1cm/s 的速度移动 如果 P、Q同时出发，用 t （秒）表示移动的时间，那么当 t 为何值时，以点 Q、A、P 为顶点的三角形与 ABC相似22如图，路灯（ P 点）距地面 8 米，身高 1.6 米的小明从距路灯的底部（ O点） 20 米的 A 点，沿 OA所在的直线行走 14 米到 B 点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？23阳光明媚的一天， 数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度 （这棵树底部可以到

11、达，顶部不易到达） ，他们带了以下测量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案（ 1）所需的测量工具是：_ ；（ 2）请在下图中画出测量示意图；（3）设树高 AB 的长度为x，请用所测数据（用小写字母表示）求出x24问题背景在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为 80cm的竹竿的影长为60cm乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为 900cm丙组：如图 3，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体其粗细忽略不计）的高度为200cm

12、，影长为 156cm任务要求：（ 1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；（ 2）如图 3，设太阳光线 NH与 O相切于点 M请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径 （友情提示：如图 3，景灯的影长等于线段 NG的影长；需要时可采用等式 1562+2082=2602）精品文档精品文档27如图，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S ，1S2， S3表示，则不难证明S1=S2+S3（1）如图， 分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形， 其面积分别用S1，S ， S 表示，那么 S ， S ， S 之间有什么关系； （不必证明）23123（2）如图

13、，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、 S2、 S3 表示，请你确定S1，S2， S3 之间的关系并加以证明；（3）若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1，25阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m 宽的亮区 （如图所示），已知亮区S ，S 表示，为使 S ，S ，S 之间仍具有与（ 2）相同的关系，所作三角形应满足什么23123到窗口下的墙脚距离EC=8.7m，窗口高 AB=1.8m，求窗口底边离地面的高 BC条件证明你的结论；（4）类比（ 1），（ 2），（ 3）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论26如图，李华晚上

14、在路灯下散步已知李华的身高AB=h，灯柱的高OP=O P=l ，两灯柱之间的距离OO=m（ 1）若李华距灯柱OP的水平距离OA=a，求他影子AC的长；（ 2）若李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和（ DA+AC）是否是定28已知：如图，ABC ADE， AB=15， AC=9，BD=5求 AE值请说明理由；（ 3）若李华在点 A 朝着影子（如图箭头）的方向以 v1 匀速行走，试求他影子的顶端在地面上移动的速度 v229已知：如图Rt ABC Rt BDC，若 AB=3， AC=4（1）求 BD、CD的长；（2）过 B 作 BE DC于 E，求 BE的长精品文档精品文档30（ 1）

15、已知，且 3x+4z 2y=40 ，求 x， y，z 的值；（ 2）已知：两相似三角形对应高的比为3： 10，且这两个三角形的周长差为560cm，求它们的周长一解答题（共30 小题）1如图，在 ABC中， DE BC，EF AB，求证： ADE EFC解答： 证明： DE BC， DEFC， AED= C又 EF AB， EFAD， A= FEC ADE EFC点评： 本题考查的是平行线的性质及相似三角形的判定定理2如图，梯形ABCD中， AB CD，点 F 在 BC上，连 DF与 AB的延长线交于点G（ 1）求证： CDF BGF；（ 2）当点 F 是 BC的中点时，过 F 作 EFCD交

16、AD于点 E，若 AB=6cm，EF=4cm，求CD的长解答：（ 1）证明：梯形 ABCD， AB CD， CDF= FGB， DCF= GBF，（2 分） CDF BGF（ 3 分）（ 2）解：由（ 1） CDF BGF，又 F 是 BC的中点， BF=FC， CDF BGF，精品文档 DF=GF， CD=BG，（ 6 分）AB DCEF， F 为 BC中点，E 为 AD中点， EF 是 DAG的中位线， 2EF=AG=AB+BG BG=2EFAB=2× 46=2， CD=BG=2cm（ 8 分）3如图，点D， E 在 BC上，且 FD AB，FE AC求证： ABC FDE解答：

17、 证明： FD AB， FE AC， B= FDE， C=FED， ABC FDE4如图，已知 E 是矩形 ABCD的边 CD上一点， BF AE于 F，试说明： ABF EAD解答： 证明：矩形 ABCD中， AB CD， D=90°，（ 2 分） BAF=AED（ 4 分） BF AE， AFB=90° AFB=D（ 5 分） ABF EAD（ 6 分）点评： 考查相似三角形的判定定理，关键是找准对应的角5已知：如图所示，在 ABC和 ADE中， AB=AC，AD=AE， BAC= DAE，且点 B，A， D在一条直线上，连接 BE，CD， M， N分别为 BE， CD

18、的中点（ 1）求证： BE=CD； AMN是等腰三角形；（ 2）在图的基础上， 将 ADE绕点 A 按顺时针方向旋转 180°，其他条件不变， 得到图所示的图形请直接写出（ 1）中的两个结论是否仍然成立；（3）在（ 2）的条件下，请你在图中延长ED交线段 BC于点 P求证： PBDAMN解答： （1）证明：BAC= DAE， BAE= CAD， AB=AC， AD=AE， ABE ACD， BE=CD精品文档由 ABE ACD，得 ABE= ACD， BE=CD， M、N 分别是 BE， CD的中点， BM=CN又 AB=AC， ABM ACN AM=AN，即 AMN为等腰三角形（

19、2）解：（ 1）中的两个结论仍然成立（ 3）证明：在图中正确画出线段 PD，由（ 1）同理可证 ABM ACN， CAN= BAM BAC= MAN又 BAC= DAE， MAN= DAE= BAC AMN， ADE和 ABC都是顶角相等的等腰三角形 PBD和 AMN都为顶角相等的等腰三角形， PBD= AMN， PDB= ANM， PBD AMN6如图， E 是?ABCD的边 BA 延长线上一点，连接EC，交 AD于点 F在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明分析：根据平行线的性质和两角对应相等的两个三角形相似这一判定定理可证明图中相似三角形有：A

20、EF BEC； AEF DCF； BEC DCF解答：解：相似三角形有 AEF BEC； AEF DCF； BEC DCF（3 分）如： AEF BEC在 ?ABCD中， AD BC， 1= B， 2= 3（ 6 分） AEF BEC（ 7 分）7如图，在 4× 3 的正方形方格中， ABC和 DEF的顶点都在边长为 1 的小正方形的顶点上（ 1）填空： ABC=135°°， BC=；（ 2）判断 ABC与 DEC是否相似，并证明你的结论解答： 解：（ 1） ABC=135°， BC=；（ 2）相似；精品文档BC=， EC=；，；又 ABC=CED=13

21、5°， ABC DEC8如图，已知矩形 ABCD的边长 AB=3cm， BC=6cm某一时刻，动点 M从 A 点出发沿AB方向以 1cm/s 的速度向 B 点匀速运动；同时，动点 N 从 D 点出发沿 DA方向以 2cm/s 的速度向 A 点匀速运动，问：（ 1）经过多少时间， AMN的面积等于矩形 ABCD面积的 ？（ 2）是否存在时刻 t ，使以 A，M， N 为顶点的三角形与 ACD相似？若存在，求 t的值；若不存在，请说明理由解：（ 1）设经过x 秒后， AMN的面积等于矩形ABCD面积的，则有：（ 6 2x） x=× 3× 6，即 x2 3x+2=0，（

22、 2 分）解方程，得 x1=1， x2=2，（3 分）经检验，可知 x1=1， x2=2 符合题意，所以经过 1 秒或 2 秒后， AMN的面积等于矩形ABCD面积的（ 4 分）（ 2）假设经过 t 秒时，以 A，M， N 为顶点的三角形与 ACD相似，由矩形 ABCD，可得 CDA= MAN=90°，因此有或（5分）即，或（ 6 分）精品文档解，得t=；解，得t=（ 7 分）经检验， t=或 t=都符合题意，所以动点M，N 同时出发后，经过秒或秒时，以 A， M，N 为顶点的三角形与 ACD相似（ 8 分）9如图，在梯形ABCD中，若 AB DC， AD=BC，对角线BD、 AC把

23、梯形分成了四个小三角形（ 1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少； （注意：全等看成相似的特例）（ 2）请你任选一组相似三角形，并给出证明解答： 解：（ 1）任选两个三角形的所有可能情况如下六种情况：，（2 分）其中有两组（，）是相似的选取到的二个三角形是相似三角形的概率是P= （4 分）证明：（ 2）选择、证明在 AOB与 COD中， ABCD， CDB= DBA， DCA= CAB， AOB COD（ 8 分）选择、证明四边形ABCD是等腰梯形， DAB= CBA，在 DAB与 CBA中有AD=BC， DAB= CAB， A

24、B=AB， DAB CBA，（ 6 分） ADO= BCO又 DOA= COB， DOA COB（ 8 分）点评： 此题考查概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现 m种结果，那么事件A 的概率 P（ A）=，即相似三角形的证明还考查了相似三角形的判定10附加题：如图 ABC中， D 为 AC上一点， CD=2DA， BAC=45°， BDC=60°， CE BD于 E，连接 AE（ 1）写出图中所有相等的线段，并加以证明；（ 2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由；（ 3）求 BEC与 BEA的面积之比解答：

25、解：（ 1） AD=DE， AE=CECE BD， BDC=60°，在 Rt CED中， ECD=30° CD=2ED CD=2DA，AD=DE， DAE=DEA=30°= ECD AE=CE（2）图中有三角形相似，ADE AEC； CAE=CAE， ADE= AEC， ADE AEC；（ 3）作 AF BD的延长线于 F，设 AD=DE=x，在 Rt CED中，可得 CE=，故 AE= ECD=30°在 Rt AEF中， AE=， AED= DAE=30°，sin AEF=，AF=AE?sin AEF=精品文档精品文档点评：本题主要考查了直角

26、三角形的性质，相似三角形的判定及三角形面积的求法等，范围较广11如图，在 ABC中， AB=AC=a， M为底边 BC上的任意一点，过点 M分别作 AB、AC的平行线交 AC于 P，交 AB于 Q（ 1）求四边形 AQMP的周长；（ 2）写出图中的两对相似三角形（不需证明）；（ 3） M位于 BC的什么位置时，四边形 AQMP为菱形并证明你的结论解答： 解：（ 1） ABMP， QMAC，四边形 APMQ是平行四边形， B= PMC， C= QMB AB=AC， B= C， PMC= QMB BQ=QM，PM=PC四边形 AQMP的周长 =AQ+AP+QM+MP=AQ+QB+AP+PC=AB+

27、AC=2a（ 2） PM AB， PCM ACB， QM AC， BMQ BCA；（ 3）当点 M中 BC的中点时，四边形 APMQ是菱形，点 M是 BC的中点， AB MP， QM AC， QM，PM是三角形 ABC的中位线 AB=AC， QM=PM=AB= AC又由（ 1）知四边形APMQ是平行四边形，平行四边形APMQ是菱形12已知： P 是正方形 ABCD的边 BC上的点，且BP=3PC， M是 CD的中点，试说明： ADM MCP解答： 证明：正方形ABCD， M为 CD中点， CM=MD=AD BP=3PC， PC= BC= AD= CM PCM=ADM=90°， MCP

28、 ADM13如图，已知梯形ABCD中， AD BC，AD=2， AB=BC=8， CD=10（ 1）求梯形 ABCD的面积 S；（ 2）动点 P 从点 B 出发，以 1cm/s 的速度，沿 B? A? D? C方向，向点 C 运动；动点Q从点 C 出发，以 1cm/s 的速度，沿 C? D? A 方向，向点 A 运动，过点 Q作 QE BC 于点 E若 P、 Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为 t 秒问：当点 P 在 B? A 上运动时，是否存在这样的t ，使得直线PQ将梯形 ABCD的周长平分？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由；在运动过程中， 是

29、否存在这样的t ，使得以 P、A、D为顶点的三角形与CQE相似？若存在，请求出所有符合条件的t 的值；若不存在，请说明理由；在运动过程中，是否存在这样的t ，使得以P、 D、 Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在， 请求出所有符合条件的 t 的值； 若不存在， 请说明理由解答：解：（ 1）过 D 作 DHAB 交 BC于 H 点，AD BH，DH AB，四边形ABHD是平行四边形DH=AB=8； BH=AD=2 CH=8 2=6 CD=10，222DH+CH=CD DHC=90° B=DHC=90°梯形 ABCD是直角梯形精品文档精品文档 SABCD= （

30、 AD+BC） AB= ×（ 2+8）× 8=40（ 2） BP=CQ=t， AP=8 t ， DQ=10t ， AP+AD+DQ=PB+BC+CQ， 8 t+2+10 t=t+8+t t=3 8当 t=3 秒时， PQ将梯形 ABCD周长平分第一种情况： 0 t 8 若 PAD QEC则 ADP= C tan ADP=tan C= =解得： t=， t= 8（不合题意舍去） t=第二种情况： 8 t 10 时 DP=DQ=10t 当 8 t 10 时，以 DQ为腰的等腰DPQ恒成立第三种情况： 10 t 12 时 DP=DQ=t 10当 10 t 12 时，以 DQ为腰的

31、等腰 DPQ恒成立=， t=综上所述， t=或 8t 10 或 10 t 12 时，以 DQ为腰的等腰若 PAD CEQ则 APD= C tan APD=tan C= = ，= t=第二种情况： 8 t 10， P、 A、 D三点不能组成三角形；第三种情况： 10 t 12 ADP为钝角三角形与Rt CQE不相似； t=或 t=时， PAD与 CQE相似第一种情况：当0t 8 时过 Q点作 QE BC，QH AB，垂足为E、 H AP=8 t ，AD=2，PD= CE= t ， QE= t ， QH=BE=8t ，BH=QE= t PH=tt=t PQ=，DQ=10 t ： DQ=DP，10

32、t=，解得 t=8 秒： DQ=PQ，10 t=，化简得： 3t 2 52t+180=0DPQ成立14已知矩形 ABCD，长 BC=12cm，宽 AB=8cm，P、Q分别是 AB、BC上运动的两点若 P 自点 A 出发，以 1cm/s 的速度沿 AB方向运动， 同时， Q自点 B 出发以 2cm/s 的速度沿 BC方向运动，问经过几秒，以 P、 B、Q为顶点的三角形与 BDC相似？精品文档精品文档解答： 解：设经x 秒后， PBQ BCD，由于 PBQ= BCD=90°，（ 1）当 1=2 时，有：，即；（ 2）当 1=3 时，有：，即，经过秒或 2 秒， PBQ BCD15如图，在

33、 ABC中， AB=10cm，BC=20cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向 B 点以 2cm/s 的速度移动， 点 Q从点 B 开始沿 BC边向点 C 以 4cm/s 的速度移动， 如果 P、Q分别从A、 B 同时出发，问经过几秒钟， PBQ与 ABC相似设经解过秒后 t 秒后， PBQ与 ABC相似，则有 AP=2t ， BQ=4t， BP=10 2t ，答 当 PBQ ABC时，有 BP：AB=BQ： BC，：即（ 10 2t ）： 10=4t ： 20，解得 t=2.5 （ s）（ 6 分）当 QBP ABC时，有 BQ：AB=BP： BC，即 4t ： 10=（ 10 2t ）

34、： 20，解得 t=1 所以，经过2.5s 或 1s 时， PBQ与 ABC相似（ 10 分）解法二：设 ts 后， PBQ与 ABC相似，则有， AP=2t ，BQ=4t， BP=10 2t 分两种情况：（ 1）当 BP与 AB对应时，有=，即=，解得 t=2.5s（ 2）当 BP与 BC对应时，有=，即=，解得 t=1s所以经过1s 或 2.5s 时，以 P、B、 Q三点为顶点的三角形与ABC相似16如图， ACB= ADC=90°， AC= ， AD=2问当 AB的长为多少时，这两个直角三角形相似解答： 解： AC=， AD=2，CD=要使这两个直角三角形相似，有两种情况：1）

35、当 Rt ABC Rt ACD时，2）有=， AB=3；3）当 Rt ACB Rt CDA时，4）有=，AB=3故当 AB 的长为 3 或 3时，这两个直角三角形相似17已知，如图，在边长为a 的正方形ABCD中， M是 AD的中点，能否在边AB上找一点 N（不含 A、B），使得 CDM与 MAN相似？若能，请给出证明，若不能，请说明理由解答： 证明：分两种情况讨论：若 CDM MAN，则=边长为 a， M是 AD的中点， AN= a若 CDM NAM，则边长为 a， M是 AD的中点，AN=a，即 N点与 B 重合，不合题意所以，能在边 AB 上找一点N（不含 A、B），使得 CDM与 MA

36、N相似当 AN= a时， N 点的位置满足条件18如图在 ABC中，C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点 Q从 B 出发，沿 BC方向以 2cm/s 的速度移动， 点 P 从 C出发，沿 CA方向以 1cm/s 的速度移动 若 Q、P 分别同时从 B、C 出发，试探究经过多少秒后，以点C、P、 Q为顶点的三角形与CBA相似？精品文档精品文档解答：解：设经过 x 秒后，两三角形相似，则 CQ=（ 8 2x） cm， CP=xcm，（ 1 分） C= C=90°，当或时，两三角形相似 （ 3 分）（ 1）当时， x=；（4 分）（ 2）当时， x=（5 分）所以，经过秒或

37、秒后，两三角形相似 （6 分）点评： 本题综合考查了路程问题，相似三角形的性质及一元一次方程的解法19如图所示，梯形 ABCD中， AD BC， A=90°， AB=7， AD=2， BC=3，试在腰 AB 上确定点 P 的位置，使得以 P，A，D为顶点的三角形与以 P，B，C为顶点的三角形相似解答： 解：（ 1）若点 A， P， D 分别与点B， C， P 对应，即 APD BCP， = ， = ， AP27AP+6=0， AP=1或 AP=6，检测：当AP=1时，由 BC=3， AD=2， BP=6， = ，又 A= B=90°， APD BCP当 AP=6时，由 BC

38、=3， AD=2， BP=1，又 A= B=90°， APD BCP（ 2）若点 A， P， D 分别与点 B，P， C 对应，即 APD BPC=，= ，AP=检验：当AP=时，由 BP=， AD=2， BC=3，=，又 A= B=90°， APD BPC因此，点 P 的位置有三处，即在线段AB距离点 A 的 1、 6 处20 ABC和 DEF是两个等腰直角三角形， A= D=90°， DEF的顶点 E 位于边BC的中点上（ 1）如图 1，设 DE与 AB 交于点 M， EF 与 AC交于点 N，求证： BEM CNE；（ 2）如图 2，将 DEF绕点 E 旋转

39、，使得 DE与 BA的延长线交于点 M，EF 与 AC交于点 N，于是，除（ 1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论解答： 证明：（ 1） ABC是等腰直角三角形， MBE=45°， BME+ MEB=135°又 DEF是等腰直角三角形，DEF=45° NEC+MEB=135° BEM= NEC，（4 分）而 MBE=ECN=45°， BEM CNE（ 6 分）（2）与（ 1）同理 BEM CNE，（ 8 分）又 BE=EC，（ 10 分）则 ECN与 MEN中有，又 ECN= MEN=45°， ECN ME

40、N（ 12 分）21如图， 在矩形 ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，点 P 沿 AB边从点 A 开始向 B 以 2cm/s 的速度移动； 点 Q沿 DA边从点 D 开始向点 A 以 1cm/s 的速度移动 如果 P、Q同时出发，用 t （秒）表示移动的时间，那么当 t 为何值时，以点 Q、A、P 为顶点的三角形与 ABC相似精品文档精品文档解答：解：以点 Q、 A、 P 为顶点的三角形与 ABC相似，所以 ABC PAQ或 ABC QAP，当 ABC PAQ时，所以，解得： t=6 ；当 ABC QAP时，所以，解得： t=；当 AQP BAC时，=，即=，所以 t= ；当 AQP

41、 BCA时，=，即=，所以 t=30 （舍去）故当 t=6 或 t=时，以点Q、A、 P 为顶点的三角形与ABC相似22如图，路灯（P 点）距地面8 米，身高 1.6 米的小明从距路灯的底部（O点） 20米的 A 点，沿 OA所在的直线行走14 米到 B 点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？解答： 解： MAC=MOP=90°， AMC= OMP， MAC MOP，即，解得， MA=5米；同理，由 NBD NOP，可求得NB=1.5 米，小明的身影变短了51.5=3.5米23阳光明媚的一天， 数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度 （这棵树底部可以到达，顶部不易到

42、达） ，他们带了以下测量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案（ 1）所需的测量工具是：；（ 2）请在下图中画出测量示意图；（ 3）设树高 AB的长度为 x，请用所测数据（用小写字母表示）求出x解答： 解：（ 1）皮尺，标杆；（ 2）测量示意图如图所示；（ 3）如图，测得标杆 DE=a，树和标杆的影长分别为 AC=b， EF=c， DEF BAC，（7 分）24问题背景在某次活动课中，甲、 乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的

43、影长为60cm乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为900cm丙组：如图 3，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为 200cm，影长为 156cm任务要求：（ 1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；（ 2）如图 3，设太阳光线 NH与 O相切于点 M请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径 （友情提示：如图 3，景灯的影长等于线段 NG的影长；需要时可采用等式 1562+2082=2602）解答： 解：（ 1）由题意可知： BAC= EDF=90°， BCA= EFD ABC DEF，即，（2 分） DE=1200（cm）所以，学校旗杆的高

44、度是 12m（ 3 分）精品文档精品文档（ 2）解法一：与类似得：，即， GN=208（ 4 分）在 Rt NGH中，根据勾股定理得：2222NH=156 +208 =260， NH=260（ 5 分）设 O的半径为 rcm，连接 OM， NH切 O于 M， OMNH（ 6 分）则 OMN= HGN=90°，又 ONM= HNG， OMN HGN，（7 分），又 ON=OK+KN=OK+（GN GK） =r+8 ，解得： r=12 景灯灯罩的半径是12cm（ 8 分）解法二：与类似得：，即， GN=208（ 4 分）设 O的半径为 rcm，连接 OM， NH切 O于 M， OMNH（ 5 分）则 OMN= HGN=90°，又 ONM= HNG， OMN HGN，即，（6分）MN= r ，又 ON=OK+KN=