第四章机械的振动

1、实用标准文案习题四4-1符合什么规律的运动才是谐振动?分别分析下列运动是不是谐振动：(1) 拍皮球时球的运动；(2) 如题 4-1 图所示，一小球在一个半径很大的光滑凹球面内滚动( 设小球所经过的弧线很短) 题4-1 图解：要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件：一，描述系统的各种参量，如质量、 转动惯量、摆长 等等在运动中保持为常量；二，系统是在 自己的稳定平衡位置附近作往复运动；三，在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用或者说，若一个系统的运动微分方程能用d220dt 2描述时，其所作的运动就是谐振动(1) 拍皮球时球的运动不是谐振动第一，球的运动轨道中并不存在一个稳定的平衡位置

2、； 第二，球在运动中所受的三个力：重力，地面给予的弹力，击球者给予的拍击力，都不是线 性回复力(2) 小球在题 4-1 图所示的情况中所作的小弧度的运动，是谐振动 显然， 小球在运动过程中，各种参量均为常量；该系统 ( 指小球凹槽、 地球系统 ) 的稳定平衡位置即凹槽最低点，即系统势能最小值位置点O ；而小球在运动中的回复力为mg sin，如题 4-1 图 (b) 所示题 中所述， S R ，故S0，所以回复力为mg. 式中负号，表示回复RO 点附近的往复运动中所受回复力为线性力的方向始终与角位移的方向相反即小球在的若以小球为对象，则小球在以 O 为圆心的竖直平面内作圆周运动，由牛顿第二定律，

3、在凹槽切线方向上有mR d 2mgdt 2令2g，则有Rd 220dt 24-2劲度系数为 k1 和 k2 的两根弹簧，与质量为m 的小球按题 4-2 图所示的两种方式连接，试证明它们的振动均为谐振动，并分别求出它们的振动周期精彩文档实用标准文案题4-2图解： (1) 图 (a) 中为串联弹簧，对于轻弹簧在任一时刻应有FF1F2 ，设串联弹簧的等效倔强系数为 K串 等效位移为 x ，则有Fk串 xF1k1 x1F2k2 x2又有x x1x2FF1F2xk1k2k串所以串联弹簧的等效倔强系数为k串k1k 2k1k 2即小球与串联弹簧构成了一个等效倔强系数为kk1k 2 /(k1 k2 ) 的弹簧

4、振子系统，故小球作谐振动其振动周期为2mm(k1k2 )T22k1k2k串(2) 图 (b) 中可等效为并联弹簧，同上理，应有FF1F2 ，即 x x1x2 ，设并联弹簧的倔强系数为 k并 ，则有k并 x k1 x1k2 x2故k并 k 1k2同上理，其振动周期为mT2k1k24-3如题 4-3 图所示，物体的质量为m ，放在光滑斜面上，斜面与水平面的夹角为，弹簧的倔强系数为 k ，滑轮的转动惯量为 I ，半径为 R 先把物体托住，使弹簧维持原长，然后由静止释放，试证明物体作简谐振动，并求振动周期精彩文档实用标准文案题4-3图解：分别以物体m 和滑轮为对象，其受力如题4-3 图 (b) 所示，

5、以重物在斜面上静平衡时位置为坐标原点，沿斜面向下为x 轴正向，则当重物偏离原点的坐标为x 时，有mg sinT1m d2 xdt 2T1R T2 RId2 xRT2k( x0x)dt 2式中 x0mg sin / k ，为静平衡时弹簧之伸长量，联立以上三式，有( mRI ) d2 xkxRRdt 2令2kR 2mR2I则有d 2 x2x0dt 2故知该系统是作简谐振动，其振动周期为T22mR2 I ( 2m I / R2 )kR2K4-4 质量为 10 10 3 kg 的小球与轻弹簧组成的系统，按 x0.1cos(82 ) (SI) 的规律3作谐振动，求：(1) 振动的周期、振幅和初位相及速度

6、与加速度的最大值；(2) 最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能，在哪些位置上动能与势能相等?(3) t 2 5s 与 t1 1s 两个时刻的位相差；解： (1) 设谐振动的标准方程为xAcos( t0 ) ，则知：精彩文档实用标准文案A0.1m,8,T21s, 0 2 / 34又vmA0.8m s 12.51 m s 1am2 A63.2 m s 2(2)Fmam0.63NE1 mvm23.16 10 2 J21E pEkE1.5810 2J2当 EkE p 时，有 E2E p ，即1 kx 21( 1 kA2 )222x2 A2 m220(3)(t2t1 )8(51)324-5一个沿

7、x 轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为A ，周期为 T ，其振动方程用余弦函数表示如果 t 0 时质点的状态分别是：(1) x0A ；(2) 过平衡位置向正向运动；(3)过 xA处向负向运动；2(4)过 xA处向正向运动2试求出相应的初位相，并写出振动方程解：因为x0Acos 0v0A sin 0将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下的初位相故有1xAcos( 2t)T23xAcos( 2t3)2T23xA cos( 2t3)3T45xA cos( 2t5)4T4精彩文档实用标准文案4-6一质量为 1010 3 kg 的物体作谐振动，振幅为24cm ，周期为 4.0s ，当 t0

8、时位移为 24cm 求：(1) t 0.5s 时，物体所在的位置及此时所受力的大小和方向；(2) 由起始位置运动到 x 12cm 处所需的最短时间；(3) 在 x 12cm 处物体的总能量解：由题已知A2410 2 m, T4.0s20.5rad s 1T又， t0 时，,00x0A故振动方程为x2410 2 cos(0.5 t) m(1) 将 t 0.5s 代入得x0.524 10 2 cos(0.5 t)m 0.17mFmam2 x1010 3( )2 0.174.2 10 3 N2方向指向坐标原点，即沿x 轴负向(2) 由题知， t0时， 00 ，t t 时 x0A0,故 t,且 v23

9、2 st/323(3) 由于谐振动中能量守恒，故在任一位置处或任一时刻的系统的总能量均为E1kA21m2 A22211010 3()2 (0.24)2227.1 10 4J4-7有一轻弹簧， 下面悬挂质量为 1.0g 的物体时， 伸长为 4.9cm 用这个弹簧和一个质量为 8.0g 的小球构成弹簧振子，将小球由平衡位置向下拉开1.0cm 后 ，给予向上的初速度v05.0cm s 1，求振动周期和振动表达式解：km1 g1.0 10 3 9.8 0.2 N m 1x14.9 10 2精彩文档实用标准文案而 t0 时， x01.010 2 m,v05.0 10 2 m s-1(设向上为正 )又k0

10、.25,即T21.26sm8 103Ax02( v0 ) 2(1.010 2)2(5.0102) 25210 2 mtan 0v05.01025x01.01021,即 045x2 10 2 cos(5t5)m44-8图为两个谐振动的xt 曲线，试分别写出其谐振动方程题4-8 图解：由题 4-8 图 (a) ， t0 时， x00, v00,03 , 又 , A 10cm,T 2s22即rad s 1T3故xa0.1cos(t)m2由题 4-8 图 (b) t 0时， x0A , v00,0523t10 时， x1 0,v10,12255又112536故xb0.1cos(5t5)m63m 的物体

11、4-9一轻弹簧的倔强系数为k ，其下端悬有一质量为M 的盘子现有一质量为从离盘底 h 高度处自由下落到盘中并和盘子粘在一起，于是盘子开始振动精彩文档实用标准文案(1) 此时的振动周期与空盘子作振动时的周期有何不同?(2) 此时的振动振幅多大 ?(3) 取平衡位置为原点，位移以向下为正，并以弹簧开始振动时作为计时起点，求初位相并写出物体与盘子的振动方程解： (1) 空盘的振动周期为2M，落下重物后振动周期为2M mk，即增大k(2) 按 (3)所设坐标原点及计时起点，t0 时，则 x0mg 碰撞时，以 m, M 为一系统k动量守恒，即m2gh(m M )v0则有v0m2ghmM于是A2v0)2m

12、g2(m2 2gh)2x0()(mM )kmg1(m2khkM ) g（3） tan 0v02kh(第三象限 ) ，所以振动方程为x0( Mm) gxmg 12khcosktarctan2khk( m M ) gm M(M m) g4-10有一单摆，摆长 l1.0m ，摆球质量 m1010 3 kg ，当摆球处在平衡位置时，若给小球一水平向右的冲量Ft1.010 4 kgm s1 ，取打击时刻为计时起点 (t0) ，求振动的初位相和角振幅，并写出小球的振动方程解：由动量定理，有Ftmv0vFmt 1.0 10 40.01m s-11.010 3按题设计时起点，并设向右为x 轴正向，则知 t0

13、时， x00,v0 0.01ms 1 003 / 2又g9.83.13rad s 1l1.0精彩文档实用标准文案2v0)2v00.013.2103mAx0(3.13故其角振幅A3.2 10 3 radl小球的振动方程为3.210 3 cos(3.13t3) rad20.20m ，位相与第一振动4-11 有两个同方向、同频率的简谐振动，其合成振动的振幅为的位相差为，已知第一振动的振幅为0.173m ，求第二个振动的振幅以及第一、第二两振6动的位相差题4-11 图解：由题意可做出旋转矢量图如下由图知A22A12A22 A1 Acos30(0.173) 2(0.2)22 0.1730.23 / 20

14、.01A20.1m设角 AA O为 ，则1A2A12A222 A1 A2 coscosA12A22A2( 0.173)2(0.1) 2(0.02) 2即2A1 A220.173 0.10即，这说明， A1 与 A2 间夹角为，即二振动的位相差为.2224-12 试用最简单的方法求出下列两组谐振动合成后所得合振动的振幅：x15 cos(3t)cmx15 cos(3t)cm(1)3(2)3x27)cmx24)cm5cos(3t5 cos(3t33解： (1)2172 ,33精彩文档实用标准文案合振幅AA1A2 10cm(2) 4,33合振幅A04-13一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，振动

15、方程为x10.4 cos(2t6) mx20.3 cos(2t5)m6试分别用旋转矢量法和振动合成法求合振动的振动幅和初相，并写出谐振方程。解：A1 sin1A2 sintanA2 cosA2 cos 1(5)66A合A1A20.1m0.4sin50.3 sin326620.4 cos530.3 cos666其振动方程为x0.1cos(2t)m6( 作图法略 )* 4-14如题 4-14 图所示，两个相互垂直的谐振动的合振动图形为一椭圆，已知x 方向的振动方程为 x6 cos 2 tcm ，求 y 方向的振动方程题 4-14 图解：因合振动是一正椭圆，故知两分振动的位相差为2或 3；又，轨道是按顺时针方向旋2转，故知两分振动位相差为. 所以 y 方向的振动方程为2y 12 cos(2 t)cm2精彩文档实用标准文案解 : (1)振动是指一个孤立的系统( 也可是介质中的一个质元) 在某固定平衡位置附近所做的往复运任一质元离开平衡位置的位移既是坐标位置x ，又是时间t 的函数，即yf (x,t )