线线角,线面角,二面角的一些题目

1、实用标准文案线线角与线面角习题新泰一中闫辉一、复习目标1. 理解异面直线所成角的概念 , 并掌握求异面直线所成角的常用方法2. 理解直线与平面所成角的概念，并掌握求线面角常用方法3. 掌握求角的计算题步骤是“一作、二证、三计算”, 思想方法是将空间图形转化为平面图形即“降维”的思想方法.二、课前预习1.在空间四边形 ABCD中， AD=BC=2, E、 F 分别为 AB、 CD的中点且 EF=3， AD、BC所成的角为.2.如图 , 在长方体 ABCD-AB C D 中 ， B C 和 CD 与底面所成的角分别为 60，则异面直和 45111111线 B1C 和 C1D所成角的余弦值为( )6

2、(B).623(A).(C).(D).AD43663. 平面与直线 a 所成的角为, 则直线 a 与平面内所有直线所成的角的取值范BC3围是4. 如图 ,ABCD是正方形 ,PD平面 ABCD,PD=AD,则 PA与 BD所成的角的度数为(A).30(B).45(C).60(D).90A5. 有一个三角尺ABC, A=30 , C=90,BC 是贴于桌面上 ,当三角尺与桌面成45 角时 ,AB 边与桌面所成角的正弦值是三、典型例题BC例 1.(96 ·全国 ) 如图 , 正方形 ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60 角 , 求异面直线 AD与 BF 所成角的余弦值 .A 1

3、D 1B 1PC1DCAB备课说明 :1. 求异面直线所成的角常作出所成角的平面图形. 作法有 :平移法 : 在异面直线的一条上选择“特殊点”, 作另一条直线平行线或利用中位线 . 补形法 : 把空间图形补成熟悉的几何体, 其目的在于容易发现两条异面直线的关系.2. 解立几计算题要先作出所求的角, 并要有严格的推理论证过程, 还要有合理的步骤.DCABFE例 2. 如图在正方体 AC 中 , (1)求 BC 与平面 ACCA 所成的角 ;(2) 求 AB 与平面 ACB所成11111111的角 .备课说明 : 求直线与平面所成角的关键是找直线在此平面上的射影, 为此D 1C 1必须在这条直线上

4、找一点作平面的垂线. 作垂线的方法常采用: 利用平面垂直的性质找平面的垂线. 点的射影在面内的特殊位置 .A 1B 1DCAB精彩文档实用标准文案例 3. 已知直三棱住 ABC-A1B1C1,AB=AC, F 为棱 BB1 上一点 ,BF FB1=2 1, BF=BC= 2a . (1)若 D为 BC的中点 ,E 为线段 AD上不同于 A、D的任意一点 , 证明： EF FC1; (2)试问 : 若 AB=2a ,在线段 AD上的 E 点能否使 EF 与平面 BB1C1C成 60角 , 为什么 ?证明你的结论 .备课说明 : 这是一道探索性命题 , 也是近年高考热点问题, 解决这类问题 , 常

5、假设命题成立 , 再研究是否与已知条件矛盾AC,从而判断命题是否成立 .EDBA 1FC 1B 1四、反馈练习1 设集合 A、 B、C 分别表示异面直线所成的角、平面的斜线与平面所成的角、直线与平面所成的角的取值范围 , 则(A)A=B=C(B)A=BC(C)ABC(D) BAC.2 两条直线a , b 与平面所成的角相等 , 则直线 a , b 的位置关系是(A) 平行(B) 相交(C) 异面(D)以上均有可能 .3 设棱长为1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中， M、 N 分别为 AA1 和 BB1 的中点，则直线CM和 D1N 所成角的正弦值为.4 已知 a 、b 是一对异面直线

6、， 且 a 、b 成 60o 角，则在过空间任意点P 的所有直线中， 与 a 、b 均成 60o 角的直线有条 .5 异面直线 a 、 b 互相垂直，c 与 a 成 30o 角，则 c 与 b 所成角的范围是.在平面o则 PC 与平面所成的角6 ACB=90内 ,PC 与 CA、 CB 所成的角 PCA= PCB=60,为.7 设线段a内,CA ,BD 与成 30角 ,BD AB,C、D 在同侧 ,CA=BD=b .AB= ,AB 在平面求: (1)CD的长 ;(2)CD与平面所成角正弦值 .CDAB精彩文档实用标准文案课前预习1. 60 2.A3. 3, 4.C5.624典型例题例 1 解:

7、 CBAD CBF为异面直线 AD与 BF所成的角 . 连接 CF、CE设正方形 ABCD的边长为,则BF=2aCB AB, EB AB CEB为平面 ABCD与平面 ABEF所成的角aFC=2a cos CBF= 2 CBE=60 CE=4=sin OC1B= OB = 1例 2 解:(1)设所求的角为, 先证 BD平面ACC1A1, 则 sin. 故=30o.(2) A1BC1 是正三角形 , 且 A1B1=B1C1=BB1.BC1 2棱锥 B1-A 1BC1 是正三棱锥 . 过 B1 作 B1H平面 A1BC, 连 A H,B AH 是直线 A B 与平面A C B 所成的角 . 设 A

8、 B = a则 A B= 2a 得11111111111A1H= 6 a . 故 cos B1A1H= A1 H =6. 所求角为 arccos63A1B1 33例 3 解 :(1) 连接 OF,容易证明 AD面 BB1C1C, DF 是 EF 在面 B1C1CB的射影 , 且 DF FC1, FC1EF.(2) AD面 BB C C,EFD是EF 与平面 BBC C 所成的角 . 在 EDF 中 , 若11113515aa3a15a3aEFD=60 , 则 ED=DF·tan60=·=. >., AB=BC=AC=2 , AD=E 在 DA的延长线上 , 而不在线段

9、 AD上 ; 故线段 AD上的 E 点不可能使 EF与平面 BBC C成 6011 角 .反馈练习1.D 2.D3.454. 35. 60 ,90 6. 4597. 解 :(1)作 DD于 D , 连接 AD,BD .CA, CA DD . 四边形 CAD D 是直角梯形, CAD=D DA=90 ,AB,AB DD. 又 AB BD, AB平面 BDD,BD平面 BDD.AB BD. DBD是 BD与3b . 在所成的角 , DBD=30,BD= b ,DD = b ,BD =22ABD中 ,AB= a ,BD=3b, AD=AB2BD2=a2 3b 22, ABD =90. 在 CAD4D

10、中， CD= AD '2(AC D 'D)2a2b 2.(2) 作 DC DC交 CA于 C, CDA是 CD与所成的角 ,sinCDA= AC 'bb 2.C' D'2 a 2精彩文档实用标准文案线面角与面面角练习一、知识与方法要点：1斜线与平面所成的角就是斜线与它在平面内的射影的夹角。求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，即确定过斜线上一点向平面所作垂线的垂足，这时经常要用面面垂直来确定垂足的位置。若垂足的位置难以确定，可考虑用其它方法求出斜线上一点到平面的距离。2二面角的大小用它的平面角来度量，求二面角大小的关键是找到或作出它的平面角(

11、 要证明 ) 。作二面角的平面角经常要用三垂线定理， 关键是过二面角的一个面内的一点向另一个面作垂线，并确定垂足的位置。若二面角的平面角难以作出，可考虑用射影面积公式求二面角的大小。3判定两个平面垂直，关键是在一个平面内找到一条垂直于另一个平面的直线。两个平面垂直的性质定理是：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面二、例题例 1正方体 ABCD-A1B1 C1D1 中， M为 C1D1 中点(1) 求证： AC1平面 A1BD(2) 求 BM与平面 A1BD成的角的正切值解： (1)连 AC， C1C平面 ABCD， C1CBD又 AC BD， AC1BD同理

12、AC1 A1B A1B BD=B AC1平面 A1BD(2) 设正方体的棱长为 a ，连 AD1，AD1 交 A1D 于 E，连结 ME，在 D1AC1 中， ME AC1，AC1平面 A1BD ME平面 A1BD连结 BE，则 MBE为 BM与平面 A1BD成的角在AC13Rt MEB 中， MEa ，22226ME2BEaa2a ， tan MBE26BE2例 2如图，把等腰直角三角形ABC以斜边 AB 为轴旋转，使 C点移动的距离等于 AC时停止，并记为点 P（ 1）求证：面ABP面 ABC；（ 2）求二面角C-BP-A 的余弦值证明（ 1）由题设知AP CP BP点 P 在面 ABC的

13、射影 D 应是 ABC的外心，即 D AB PD AB， PD面 ABP，由面面垂直的判定定理知，面ABP面 ABC（ 2）解法 1 取 PB 中点 E，连结 CE、 DE、CD BCP为正三角形， CE BDBOD为等腰直角三角形， DE PB CED为二面角 C-BP-A 的平面角又由（ 1）知，面 ABP面 ABC， DC AB， AB面 ABP面 ABC，由面面垂直性质定理，得 DC面 ABP DC DE因此 CDE为直角三角形31DE13， DE2设 BC 1，则 CE， cos CED22CE332例 3如图所示，在正三棱柱ABCA1B1C1 中， EBB1 ，截面 A1EC侧面

14、AC1 (1) 求证： BE EB1 ；精彩文档实用标准文案(2) 若 AA1A1B1 ，求平面 A1 EC 与平面 A1B1C1所成二面角 ( 锐角 ) 的度数证明：在截面A1EC内，过 E 作 EG A1 C， G是垂足，如图，面 A1 EC面 AC1 ， EG侧面 AC1 取 AC的中点 F，分别连结BF 和 FC，由 AB BC得 BF AC面 ABC侧面 AC1 ， BF侧面 AC1 ，得 BF EG BF 和 EG确定一个平面，交侧面AC1 于 FGBE侧面 AC1 ， BE FG，四边形BEGF是， BEFGBE AA1 ， FG AA1 ， AA1 C FGC解： (2) 分别

15、延长CE和 C1B1交于点 D，连结 A1 D B1 A1 C1 B1 C1 A1 60°， DA1 C1 DA1 B1 B1 A1 C1 90°，即 DA 1 A1 C1 CC1 面 A1 C1 B1 ，由三垂线定理得 DA1 A1 C，所以 CA1 C1 是所求二面角的平面角且A1 C1 C 90°CC1 AA1 A1 B1 A1 C1 ， CA1 C1 45°，即所求二面角为45°说明：如果改用面积射影定理，则还有另外的解法三、作业：1已知平面 的一条斜线 a 与平面成 角，直线 b，且 a,b 异面，则 a 与 b 所成的角为（ A）A

16、有最小值，有最大值B无最小值，有最大值。C有最小值2D有最小值 ，有最大值2，无最大值。2下列命题中正确的是（ D）A过平面外一点作该平面的垂面有且只有一个B过直线外一点作该直线的平行平面有且只有一个C过直线外一点作该直线的垂线有且只有一条D过平面外的一条斜线作该平面的垂面有且只有一个3一条长为 60 的线段夹在互相垂直的两个平面之间，它和这两个平面所成的角分别为45 °和 30°，这条线段的两个端点向平面的交线引垂线，则垂足间的距离是（A）A 30B 20C 15D 124设正四棱锥 S ABCD的侧棱长为2 ，底面边长为3 ，E 是 SA 的中点，则异面直线BE与 SC

17、所成的角是（C）A 30°B 45°C 60°D 90°5正三棱锥的侧面与底面所成的二面角为arctan22，则它的侧棱与底面所成的角为26 A 是 BCD所在平面外的点，BAC=CAB= DAB=60°， AB=3， AC=AD=2.精彩文档实用标准文案（）求证：AB CD；（）求 AB 与平面 BCD所成角的余弦值.7正四面体ABCD中， E 是 AD边的中点，求：CE与底面 BCD所成角的正弦值解过 A，E 分别作 AH面 BCD， EO面 BCD， H，O为垂足，AH2OE， AH， OE确定平面AHD，连结 OC，ECO即为所求 AB

18、=AC=AD， HB=HC=HD BCD是正三角形，H 是 BCD的中心，连结 DH并延长交BC于 F， F 为 BC的中点，2233DHDF3aa ，在 Rt ADH中，3238在四面体ABCD中， DA面 ABC， ABC 90°， AE CD， AF DB求证：（ 1）EF DC；（ 2）平面 DBC平面 AEF证明如图1-83 （ 1）AD面ABC ADBC又ABC 90°BC ABBC面 DAB DB是 DC在面 ABD内的射影 AF DB AF CD（三垂线定理）AE CD CD平面 AEF CD EF（ 2） CD AE， CD EF CD面 AEF CD面 BCD面 AEF面BCD（ 3）由 EF CD， AE CD AEF为二面角B-DC-A 的平面又 AF DB， AF CD， BD CD D AF平面 DBC，二面角题目：例1如图所示，已知 PA面ABC，S PBC,S，二面角PSSABCPBC A的平面角为，求证： S cosS精彩文档ACDB实用标准文案2 如图，在空间四边形ABCD 中，BCD 是正三角形，ABD 是等腰直角