线性代数期末复习的题目

1、实用标准文案线性代数复习题一、 判断题 ( 正确在括号里打 ，错误打 )1. 把三阶行列式的第一列减去第二列，同时把第二列减去第一列，这样得到的新行列式与原行列式相等，亦即abcabbacabcabbac.( )abcabbac2. 若一个行列式等于零，则它必有一行（列）元素全为零，或有两行（列）完全相同，或有两行（列）元素成比例 .()3.若行列式 D 中每个元素都大于零， 则 D 0.()4.设A, B,C都 是n阶 矩 阵，且 ABCE，则CABE.()5.若矩阵 A的秩为 r，则 A的 r 1 阶子式不会全为零 .()6.若矩阵 A与矩阵 B等价，则矩阵的秩 R( A) = R( B)

2、.()7.零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合.()8.若 向 量 组 1, 2, .s. ,线 性 相 关 ， 则 1 一 定 可 由 2 ,.,s线性表示.()9.向量组 1, 2,.,s 中，若 1与 s 对应分量成比例，则向量组1, 2,., s 线性相关 .()10.12s s, ,., (3) 线性无关的充要条件是：该向量组中任意两个向量都线性无关.()11.当齐次线性方程组的方程个数少于未知量个数时，此齐次线性方程一定有非零解.()12.齐次线性方程组一定有解.()13.若为可逆矩阵A 的特征值，则1为A 1的特征值.()14.方程组(EA) x 0 的 解 向 量 都 是

3、 矩 阵A 的属于特征值的特征向量.()15.n 阶方阵 A有 n个不同特征值是A可以相似于对角矩阵的充分条件.()精彩文档实用标准文案16.若矩阵A与矩阵B相似，则R(A)R(B).()二、单项选择题1.设行列式a11a12m,a13a12a11a12a13()a21a 22a23a21n, 则行列式a22a 23a21(A ) mn(B)(mn)( C) n m( D) mn3862.行列式 512的元素 a21 的代数余子式 A21 的值为 ( )107(A)33(B )33(C) 56(D )5610x13.四阶行列式1111中 x 的一次项系数为()11111111(A )1(B)

4、1(C) 4(D )4a11a12.a1nan1an2.ann4.设 D1a21a22.a 2n, D2an 1,1an 1,2.an 1,n , 则 D2 与 D1 的关系是 ( ). . . .an1an2.anna11a12.a1nn (n1)(D) D2 ( 1)n (n 1) D1(A) D2D1(B) D2D1(C) D2(1)2D1ab0000ab005.n 阶行列式 Dn的值为 ()000abb000a(A ) a nbn(B) a nbn(C) a n(1) n1bn(D ) n(a b)1236.已知A10 1 2,则A*( )001(A)1(B) 2(C) 2(D) 37

5、.设 A 是 n 阶方阵且 A5 ，则 (5AT) 1()(A ) 5n 1(B) 5n 1(C) 5 n 1(D) 5 n精彩文档实用标准文案8.设 A 是 mn 矩阵， B 是 nm矩阵 ( mn) ，则下列运算结果是m阶方阵的是 ()(A) AB(B) AT BT(C) BA(D) ( A B)T9.A 和 B 均为 n 阶方阵，且 ( AB) 2A 22 ABB2 ，则必有 ()(A) AE(B) BE(C) AB(D) ABBA10.设 A、B 均为 n 阶方阵，满足等式ABO ，则必有 ()(A) AO 或 BO(B) ABO(C) A0 或 B0(D)A B011.设 A 是方阵

6、，若有矩阵关系式ABAC ，则必有 ()(A) AO(B) BC 时 AO(C) AO 时 BC(D) A 0时BCa11a12a13a21a22a2312.已知方阵Aa21a22a23, Ba11a12a13，以及初等变换矩阵a31a32a33a31a11a32a12 a33a13010100P1100, P2010，则有 ()001101(A ) AP1P2B(B) AP2 P1 B(C) P2P1A B(D) P1P2A B13.设 A、B 为 n 阶对称阵且 B 可逆，则下列矩阵中为对称阵的是( )(A )AB 1B 1 A(B) AB 1B 1A(C) B 1AB(D) ( AB)2

7、14.设 、B均为n阶方阵，下面结论正确的是()A(A)若 A、B 均可逆，则 A+B 可逆(B)若 A、 B 均可逆，则 AB可逆(C)若均可逆，则可逆(D)若 + 可逆，则A、 B均可逆A+BA BA B15. 下列结论正确的是 ( )(A) 降秩矩阵经过若干次初等变换可以化为满秩矩阵(B) 满秩矩阵经过若干次初等变换可以化为降秩矩阵(C) 非奇异阵等价于单位阵(D) 奇异阵等价于单位阵16. 设矩阵 A 的秩为 r ，则 A 中 ( )(A) 所有 r 1 阶子式都不为 0(B)所有 r 1 阶子式全为 0(C) 至少有一个 r阶子式不为0(D)所有 r 阶子式都不为 017. 设、均为

8、n阶矩阵，且=，以下式子A B CABCE精彩文档实用标准文案(1)BCA= E，(2)BAC=E，(3)CAB=E，(4)CBA=E中，一定成立的是()(A) (1) (3)(B) (2) (3)(C) (1) (4)(D) (2) (4)18.设 A 是 n 阶方阵，且 AsO ( s 为正整数 ) ，则 ( EA)1等于( )(A )1(B) EA 1(C) A A2.As(D) EA . As 1EA31219.已知矩阵 A101 ， A* 是 A的伴随矩阵，则A* 中位于 (1,2) 的元素是 ( )214(A) 6(B) 6(C) 2(D) 220.已知 A为三阶方阵， R( A)

9、 = 1，则 ()(A)R(A )3(B)R(A )2(C)R(A ) 1(D)R(A )021.已知 34 矩阵 A 的行向量组线性无关，则矩阵AT 的秩等于 ( )(A) 1(B) 2(C) 3(D) 422. 设两个向量组 , , ., 和 , , ., 均线性无关，则 ( )12s12s(A) 存在不全为 0 的数 1 , 2 , ., s 使得 .0和 .01 12 2s s1 12 2s s(B)存在不全为0的数 1,2 , .,s 使得1( 11)2 (22 ).s (ss)0(C)存在不全为0的数 1,2 , .,s 使得1( 11)2 (22 ).s (ss)0(D)存在不全

10、为0的数 1,2 , .,s 和不全为0 的数1,2 ,.,s 使得 .0和.01 12 2s s1 12 2s s23. 设有 4 维向量组 , , ., ，则( )126(A) , , ., 中至少有两个向量能由其余向量线性表示1 26(B) , , ., 线性无关1 26(C) , , ., 的秩为 41 26(D) 上述说法都不对24. 设 , , 线性无关，则下面向量组一定线性无关的是( )12 3(A ) 0, 2 , 3( B) 1, 22 , 3精彩文档实用标准文案(C) , , ( D) , , 12233112233125. n 维向量组 , ., (3s n) 线性无关的

11、充要条件是()12s(A) , , ., 中任意两个向量都线性无关1 2s(B) , , ., 中存在一个向量不能用其余向量线性表示1 2s(C) , , ., 中任一个向量都不能用其余向量线性表示1 2s(D) , , ., 中不含零向量1 2s26. 下列命题中正确的是 ( )(A)任意n个+1 维向量线性相关(B)任意n个+1 维向量线性无关nn(C)任意 n+1 个 n 维向量线性相关(D)任意 n+1 个 n 维向量线性无关a11 x1a12 x2.a1n xn027. 已知线性方程组a21 x1a22 x2.a2n xn0.的系数行列式 D =0，则此方程组 ( )a n1 x1a

12、n 2 x2.ann xn0(A)一定有唯一解(B)一定有无穷多解(C)一定无解(D)不能确定是否有解a11 x1a12x2.a1n xnb128.已知非齐次线性方程组a21x1a 22x2.a2n xnb2 的系数行列式D =0，把 D 的第一列.an1 x1an2 x2.a nn xnbn换成常数项得到的行列式D1 0 ，则此方程组 ()(A)一定有唯一解(B)一定有无穷多解(C)一定无解(D)不能确定是否有解29.已知 A为 mn 矩阵，齐次方程组Ax0 仅有零解的充要条件是 ()(A)A 的列向量线性无关(B)A的列向量线性相关(C)A 的行向量线性无关(D)A的行向量线性相关30.已

13、知 A为 mn 矩阵，且方程组Axb 有唯一解，则必有 ()(A ) R( A,b)m(B) R( A, b)n(C) R( A, b)m(D) R( A,b) n31. 已知 n 阶方阵 A不可逆，则必有 ( )(A ) R( A) n(B) R( A)n 1(C)A 0(D) 方程组Ax0 只有零解32.n 元非齐次线性方程组Axb 的增广矩阵的秩为n+1，则此方程组 ()(A) 有唯一解(B)有无穷多解(C) 无解(D)不能确定其解的数量33.已知 1, 2 是非齐次线性方程组 Axb 的任意两个解，则下列结论错误的是( )精彩文档实用标准文案(A) 是 Ax0的一个解(B)1 ( )

14、是 Axb 的一个解12122(C)12 是 Ax0的一个解(D)212 是 Ax b的一个解34.若 v1 , v2 , v3 , v4 是线性方程组 Ax0 的基础解系，则v1v2 v3v4 是该方程组的 ( )(A)解向量(B)基础解系(C)通解(D)A 的行向量35.若 是线性方程组Axb 的解， 是方程 Ax0 的解，则以下选项中是方程Ax b 的解的是 () (C为任意常数 )(A ) C(B) C C( C) C C( D) C 36.已知 mn 矩阵 A 的秩为 n 1 ， 1, 2 是齐次线性方程组Ax 0的任意两个不同的解， k为任意常数，则方程组Ax0 的通解为 ()(A

15、 ) k(B ) k(C)(12)( D) k (12 )12k37. n 阶方阵 A 为奇异矩阵的充要条件是 ( )(A)A 的秩小于 n( B) A0(C)A 的特征值都等于零(D)A 的特征值都不等于零38. 已知 A 为三阶方阵， E 为三阶单位阵， A 的三个特征值分别为 1, 2, 3 ，则下列矩阵中是可逆矩阵的是 ( )(A) AE(B)A E(C) A 3E(D) A 2E39.已知1,2是 n 阶方阵 A 的两个不同特征值，对应的特征向量分别为, ，则( )1 2(A)和 线性相关(B) 和 线性无关1212(C)和 正交(D) 和 的内积等于零121240.已知 A 是一个

16、 n ( 3) 阶方阵，下列叙述中正确的是()(A)若存在数和向量 使得 A，则 是 A的属于特征值的特征值(B)若存在数和非零向量 使得 ( E A)0 ，则是 A 的特征值(C) A 的两个不同特征值可以有同一个特征向量(D) 若1,2,3是 A 的三个互不相同的特征值，, , 分别是相应的特征向量，则123, , 有可能线性相关12341.已知0 是矩阵 A 的特征方程的三重根，A 的属于0 的线性无关的特征向量的个数为k，则必有 ()(A ) k3(B) k 3(C) k3( D) k 342.矩阵 A 与 B 相似，则下列说法不正确的是()精彩文档实用标准文案(A)R( A) =R(

17、 B) (B)A = B(C) AB(D)A与 B 有相同的特征值43. n 阶方阵 A 具有 n 个线性无关的特征向量是 A 与对角阵相似的 ( )(A)充分条件(B)必要条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件44. n 阶方阵 A 是正交矩阵的充要条件是 ( )(A)A 相似于单位矩阵E(B)A 的 n 个列向量都是单位向量(C)ATA 1(D)A 的 n 个列向量是一个正交向量组45.已知 A 是正交矩阵，则下列结论错误的是()(A)A21(B)A必为1(C) A 1AT(D)A的行 ( 列 ) 向量组是单位正交组46. n 阶方阵 A 是实对称矩阵，则 ( )(A)A 相似于单位

18、矩阵E(B)A 相似于对角矩阵(C) A 1AT(D)A 的 n 个列向量是一个正交向量组47. 已知 A 是实对称矩阵， C是实可逆矩阵， B C T AC ，则 ( )(A)A与 B相似(B)A与 B不等价(C)A 与 B 有相同的特征值(D)A 与 B合同三、填空题1.已知 a31a2 i a13a5k a44是五阶行列式中的一项且带正号，则i =，k =.1232.已知三阶行列式 D456 ， Aij 表示元素 aij 对应的代数余子式，则与 aA21 bA22 cA23789对应的三阶行列式为.1313.已知 05x0 ，则 x =.1224.已知 A， B 均为 n 阶方阵，且 A

19、 a 0, Bb 0 ，则精彩文档实用标准文案( 2A)B T，1AB1.25.已知 A是四阶方阵，且A13，则 A1，3 A*4 A 1.6.已知三阶矩阵A 的三个特征值分别为1, 2,3 ，则4 A 13A*.7.设矩阵 Aa11a12a13， B 是方阵，且 AB有意义，则 B 是阶矩阵， AB是行a21a22a23列矩阵 .8.已知矩阵ij)sn，满足 AC CB ，则 A与 B 分别是，阶矩阵.A, B, C (c9.可逆矩阵 A 满足 A2A2EO，则A1.10.已知 (1,1,1)T , (x, 0, y)T , (1, 3, 2) T ，若 , , 线性相关， 则 x，y 满足

20、关系式123123.a11a1211.矩阵 Aa21a 22 的行向量组线性关 .a31a3212.一个非齐次线性方程组的增广矩阵的秩比系数矩阵的秩最多大.13.设 A 是3 4矩阵， R(A) 3，若 为非齐次线性方程组Axb的两个不同的解，则1, 2该方程的通解为.14.已知 A 是 mn 矩阵， R( A)r (n) ，则齐次线性方程组Ax 0 的一个基础解系中含有解的个数为.121x1115.已知方程组23 a2x22无解，则 a = .1a2x331 x1x2x3016.若齐次线性方程组x1x2x30 只有零解，则需要满足.x1x2x3020117.已知矩阵 A31x可相似对角化，则

21、x =.40518.已知向量 、 的长度依次为2 和 3，则向量内积 , .1419.已知向量 a0, b2 ， c 与 a 正交，且 ba c ，则， c =.23121220.已知 x1为 A5a3的特征向量，则a =，b =.11b2精彩文档实用标准文案21.已知三阶矩阵A 的行列式 A 8 ，且有两个特征值1 和 4，则第三个特征值为.22.设实二次型f ( x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) 的秩为 4，正惯性指数为 3，则其规范形 f ( z1 , z2 , z3 , z4 , z5 )为.23.二次型 f (x1, x2 , x3)2 x1x2 4x2 x33x32

22、 的矩阵为.12024.已知 二 次型f ( x, y, z)的矩阵为235 ，则此二次型050f ( x, y, z).25.已知二次型 f ( x , x2, x )2 x23x2tx22x x2 x x是正定的， 则 t 要满足.131231213四、行列式计算1. 已知 A，B 为三阶方阵，A1, B2 ，求行列式(2 AB* ) 1 A .204231212. 已知行列式 D12，求 5 A11 A21 4 A31 A41 .62910220.102.02，另外两个角落的元素3. 计算 n 阶行列式 Dn，其中主对角线上的元素都是10.2是 1，其它元素都是 0.x a . aax.

23、a4. 计算 n 阶行列式 Dn.aa.x精彩文档实用标准文案210.00121.005. 计算 n 阶行列式 Dn 012.00 .000.12x abcdax bcd6. 计算行列式bx c.adabcx d1 x11111 x117. 计算行列式 D11 y.111111 yx1 3x2.xnx1x2 3.xn.8. 计算行列式 D nx1x2.xn 3五、矩阵计算1202311.设A340ABT；(2) 4A 1 ., B4，求 (1)12120222202.已知A1 42 , B2 5，且 AXB X，求 X.212112013.设A 020，B 均为三阶方阵， E 为三阶单位阵，且

24、 AB E A2B，求 B.101110021344.设B01100213X 满足关系式001, C002， E 为四阶单位阵，且矩阵1100010002X(C B)TE，求X.精彩文档实用标准文案1301205. 已知，求 X61, B，且A 2XAB013.011123k6.设A12k3 ，问：当 k 取何值时， 有 (1) R( A)1；(2) R( A)2 ；(3) R(A) 3.k23六、向量组的线性相关性及计算13451.设 11, 24, 3121, 4，求向量组 1, 2 , 3, 4 的秩和一个最大线性1232231无关向量组，并判断, , , 是线性相关还是线性无关 .12

25、3412132.设 49, 0, 10, ，求此向量组的秩和一个最大无关组，并将其112133470317余向量用该最大无关组线性表示.a1 21 23.当 a 取何值时，向量组1 2 , a , 1 2 线性相关？1231 21 2a1144. 将向量组 12, 23 , 31 规范正交化 .110七、线性方程组的解21301. 给定向量组 1, 3, 0, 1，试判断 是否为 , , 的线性组1022324441233419合；若是，则求出线性表达式.精彩文档实用标准文案4 x12x2x322. 求解非齐次线性方程组3x1 x2 2x3 10 . 11x1 3 x2 8x1x23x3x41

26、3. 求解非齐次线性方程组3x1x23x34x44 .x15 x29x38x40x1x22 x3k4. 当 k 满足什么条件时， 线性方程组 x2x2kx3k 2 有唯一解， 无解，有无穷多解？并在12xx2k 2 x013有无穷多解时求出通解.kx1(k1) x2x315. 当 k 满足什么条件时， 线性方程组kx1kx2 x32有唯一解，无解，有无穷多解？2kx12(k1) x2kx32并在有无穷多解时求出通解.x1x2x3x4x526.已知非齐次线性方程组Ax3x12x2x3x43x5ab 为x22x32 x46x5，问：当 a、b 取何值时，方35x14 x23x33x4x5b程组 A

27、xb 有无穷多个解？并求出该方程组的通解.x1x2x3 07.设方程组 x12 x2ax30 与方程 x12x2x3a1 有公共解，求a 的值 .x4 xa 2 x30128. 设四元非齐次线性方程组Ax b 的系数矩阵 A 的秩为 3，已知 , , 是它的三个解向量，12321且 3， 2，求该方程组的通解 .14233549. 设非齐次线性方程组Axb 的增广矩阵 AA b ， A 经过初等行变换为11012A01131，00003精彩文档实用标准文案则 (1)求对应的齐次线性方程组Ax0 的一个基础解系；(2) 取何值时，方程组 Ax b 有解？并求出通解 .八、方阵的特征值与特征向量2

28、002001.已知A 001, B0y0，若方阵 A 与 B 相似，求 x、 y 的值 .01x001010010003，求 y 的值 .2. 设方阵 A0y的一个特征值为0100123. 已知三阶方阵A 的特征值为1、 2、3 ，求行列式A 13A2 E 的值 .2114.求方阵A020的特征值与对应的特征向量 .4130115.设A101，求可逆矩阵P，使得 P 1 AP 为对角矩阵 .1102206.设A212 ，求正交矩阵P，使得 P 1 AP 为对角矩阵 .0201107. 已知矩阵 A430, 判断是否存在一个正交矩阵P, 使得 P 1AP为对角矩阵 .1020228. 已知矩阵 A234的特征值为1、1、 8 ，求正交矩阵 P，使得 P 1 AP 为对角阵 .243九、二次型精彩文档实用标准文案1. 当 t 取何值时， f ( x , x, x)x24 x24x22tx1x22x x34 x x 为正定二次型？1231231232. 求一个正交变换把二次型f ( x1 , x2 , x3 )2x1x22 x2 x32x3 x1 化成标准