线性代数在数学建模中地的应用举例

1、实用标准文案线性代数在数学建模中的应用举例1 基因间“距离”的表示在 ABO血型的人们中， 对各种群体的基因的频率进行了研究。 如果我们把四种等位基因 A1， A2， B， O区别开，有人报道了如下的相对频率，见表 1.1 。表 1.1基因的相对频率爱斯基摩人 f 1i班图人 f2 i英国人 f 3 i朝鲜人 f 4 iA10.29140.10340.20900.2208A20.00000.08660.06960.0000B0.03160.12000.06120.2069O0.67700.69000.66020.5723合计1.0001.0001.0001.000问题一个群体与另一群体的接近程

2、度如何？换句话说，就是要一个表示基因的“距离”的合宜的量度。解有人提出一种利用向量代数的方法。首先，我们用单位向量来表示每一个群体。为此目的，我们取每一种频率的平方根，记xkif ki . 由于对这四种群44体的每一种有f ki1 ，所以我们得到xki21. 这意味着下列四个向量的每个i 1i1都是单位向量 . 记x11x21x31x41a1x12, a2x22, a3x32x42x13x23, a4.x33x43x14x24x34x44精彩文档实用标准文案在四维空间中，这些向量的顶端都位于一个半径为1 的球面上 .现在用两个向量间的夹角来表示两个对应的群体间的“距离”似乎是合理的 .如果我们

3、把 a1 和 a2 之间的夹角记为，那么由于| a 1|=|a 2|=1 ，再由内只公式，得 cosa1 a2而0.53980.32160.00000.2943.a1, a20.17780.34640.82280.8307故cosa1 a20.9187得23.2 °.按同样的方式，我们可以得到表1.2.表 1.2基因间的“距离”爱斯基摩人班图人英国人朝鲜人爱斯基摩人0°23.2 °16.4 °16.8 °班图人23.2 °0°9.8 °20.4 °英国人16.4 °9.8 °0

4、6;19.6 °朝鲜人16.8 °20.4 °19.6 °0°由表 1.2可见，最小的基因“距离”是班图人和英国人之间的“距离” ，而爱斯基摩人和班图人之间的基因“距离”最大.2Euler的四面体问题问题 如何用四面体的六条棱长去表示它的体积？这个问题是由 Euler （欧拉）提出的 .解 建立如图 2.1 所示坐标系，设 A，B，C三点的坐标分别为（a1,b 1,c 1）,( a2 ,b 2,c 2) 和（ a3,b 3 ,c 3），并设四面体 O-ABC的六条棱长分别为 l , m,n, p, q, r. 由立体几何知道，该四面体的体积V

5、等于以向量 OA,OB ,OC 组成右手系时， 以它们为棱的平行精彩文档实用标准文案1六面体的体积 V6 的6 . 而a1b1c1V6OA OB OC a2b2c2 .a3b3c3a1b1c1于是得6V a2b2c2 .a3b3c3将上式平方，得a1b1c1a1b1c136V 2a2b2c2a2b2c2a3b3c3a3b3c3a12b12c12a1a2b1b2c1c2a1a3b1b3c1c3a1a2b1b2c1c2a22b22c22a2a3b2 b3c2c3 .a1 a3b1b3c2 c3a2a3b2b3c2 c3a32b32c32根据向量的数量积的坐标表示，有OA OA a12b12c12

6、, OA OB a1a2b1b2 c1c2 ,OA OC a1a3b1b3c1c3 , OB OB a22b22c22OB OC a a b b cc, OCOCa2b2c2.232323333于是OA OAOA OBOA OC36V 2OA OBOBOBOB OC.（2.1 ）OA OCOBOCOC OC由余弦定理，可行OA OB p q cosp2q 2n2.2同理OA OCp2r 2m2 , OB OCq2r 2l 2 .22将以上各式代入（ 2.1 ）式，得精彩文档实用标准文案p2p2q2n2p 2r 2m22236V2p2q 2n2p2p2r 2l 2（2.2 ）22.p2r 2m2

7、p2r 2l 2r 222这就是 Euler 的四面体体积公式 .例一块形状为四面体的花岗岩巨石，量得六条棱长分别为l =10m,m=15m,n=12m,p=14m,q=13m,r =11m.则p2 q2 n2p2 r 2 m2p2 r 2 l 295.2110.5,246,2代入（ 2.1 ）式，得196110.54636V 2110.5169951369829 .75.4695121于是V 2 38050.82639 (195m3 )2 .即花岗岩巨石的体积约为3195m.古埃及的金字塔形状为四面体， 因而可通过测量其六条棱长去计算金字塔的体积 .3 动物数量的按年龄段预测问题问题某农场饲

8、养的某种动物所能达到的最大年龄为15 岁，将其分成三个年龄组：第一组， 0 5 岁；第二组， 610 岁；第三组， 1115 岁. 动物从第二年龄组起开始繁殖后代，经过长期统计，第二组和第三组的繁殖率分别为4和3. 第一年龄和第二年龄组的动物能顺利进入下一个年龄组的存活率分别为1和214 . 假设农场现有三个年龄段的动物各100 头，问 15 年后农场三个年龄段的动物各有多少头？问题分析与建模因年龄分组为 5 岁一段，故将时间周期也取为5 年.15 年精彩文档实用标准文案后就经过了 3 个时间周期 . 设 xi(k ) 表示第 k 个时间周期的第i 组年龄阶段动物的数量（ k=1， 2， 3；

9、i =1， 2， 3） .因为某一时间周期第二年龄组和第三年龄组动物的数量是由上一时间周期上一年龄组存活下来动物的数量，所以有x2(k )1x1( k 1) ,x3(k)1x2(k 1)( k 1,2,3).24又因为某一时间周期， 第一年龄组动物的数量是由于一时间周期各年龄组出生的动物的数量，所以有x1( k )4x2(k 1)3x3(k 1)( k1,2,3).于是我们得到递推关系式：x1(k )4x2(k1)3x3k 1,x2k1x1( k1) ,2x3(k )1 x2(k 1) .4用矩阵表示x1(k)043x1(k 1)x2(k)100x2(k 1)(k 1,2,3).x3(k)21

10、0x3(k 1)04则x(k )Lx (k 1)(k1,2,3).其中0431000L100,x (0 )1000 .211000004则有精彩文档实用标准文案x1(k )x( k )x2(k )(k1,2,3),x3(k )04310007000x(1)Lx (0)1001000500 ,21100025000404370002750x (2)Lx (1)1005003500 ,21250125004043275014375x( 3)Lx ( 2)10035001375 .21125875004结果分析15年后，农场饲养的动物总数将达到16625 头，其中 05 岁的有 14375 头，占

11、86.47%，610 岁的有 1375 头，占 8.27%，11 15 岁的有 875头，占5.226%.15 年间，动物总增长16625-3000=13625 头，总增长率为13625/3000=454.16%.注 要知道很多年以后的情况，可通过研究式x(k)Lx (k 1)Lk x (0 ) 中当趋于无穷大时的极限状况得到.关于年龄分布的人口预测模型我们将人口按相同的年限（比如5 年）分成若干年龄组， 同时假设各年龄段的田、 女人口分布相同， 这样就可以通过只考虑女性人口来简化模型 . 人口发展随时间变化，一个时间周期的幅度使之对应于基本年龄组间距（如先例的5 年），令 xi(k ) 是在

12、时间周期k 时第 i 个年龄组的（女性）人口， i =1,2, n. 用 1 表示最低年龄组，用n 表示最高年龄组，这意味着不考虑更大年龄组人口的变化.假如排除死亡的情形， 那么在一个周期内第i 个年龄组的成员将全部转移到精彩文档实用标准文案i +1 个年龄组 . 但是，实际上必须考虑到死亡率，因此这一转移过程可由一存活系数所衰减 .于是，这一转移过程可由下述议程简单地描述：xi( k1)bi xi ( k 1)(i 1,2, n 1),其中 bi 是在第 i个年龄组在一个周期的存活率，因子bi 可由统计资料确定 .惟一不能由上述议程确定的年龄组是x1(k ) , 其中的成员是在后面的周期内出

13、生的，他们是后面的周期内成员的后代，因此这个年龄组的成员取决于后面的周期内各组的出生率及其人数 .于是有方程x1( k )a1 x1( k 1) a2 x2k 1an xn(k 1) ,（3.1 ）这里 ai (i1,2, , n) 是第 i 个年龄组的出生率，它是由每时间周期内，第i 个年龄组的每一个成员的女性后代的人数来表示的，通常可由统计资料来确定.于是我们得到了单性别分组的人口模型，用矩阵表示便是x1( k )x2(k )x3(k )xn(k )或者简写成a1a2a3an 1anx1( k 1)b10000x2(k1)0 b2000x3(k1),000bn 10xn(k 1)x(k)L

14、x( k 1).（3.2 ）矩阵a1a2a3an 1anb10000L 0b2000000bn 10称为 Leslie矩阵 .由（ 3.2 ）式递推可得x( k )Lx ( k 1) Lk x(0)这就是 Leslie模型 .精彩文档实用标准文案4 企业投入产生分析模型问题 某地区有三个重要产业，一个煤矿、一个发电厂和一条地方铁路 . 开采一元钱的煤，煤矿要支付 0.25 元的电费及 0.25 元的运输费 . 生产一元钱的电力，发电厂要支付 0.65 元的煤费， 0.05 元的电费及 0.05 元的运输费 . 创收一元钱的运输费 , 铁路要支付 0.55 元的煤费及 0.10 元的电费 . 在

15、某一周内，煤矿接到外地金额为 50000 元的定货，发电厂接到外地金额为 25000 元的定货，外界对地方铁路没有需求 . 问三个企业在这一周内总产值多少才能满足自身及外界的需求？数学模型 设 x1 为煤矿本周内的总产值， x2 为电厂本周的总产值， x3 为铁路本周内的总产值，则x1(0 x10.65 x20.55 x3 )50000 ,x2(0.25x10.05x20.10x3 )25000,（4.1 ）x3(0.25x10.05x20 x3 )0,即x100.650.55x150000x20.250.050.10x225000 .x30.250.050x30即x100.650.55500

16、00Xx2, A0.250.050.10,Y25000 .x30.250.0500矩阵 A 称为直接消耗矩阵， X 称为产出向量，Y 称为需求向量，则方程组（4.1 ）为XAXY,即(E A)X Y，（4.2 ）其中矩阵 E 为单位矩阵，（ E-A）称为列昂杰夫矩阵，列昂杰夫矩阵为非奇异矩阵 .精彩文档实用标准文案x100投入产出分析表设 B( EA) 1E, CA 0x20 , D=（ 1， 1，1） C.00x3矩阵 B 称为完全消耗矩阵， 它与矩阵 A 一起在各个部门之间的投入产生中起平衡作用 . 矩阵 C 可以称为投入产出矩阵，它的元素表示煤矿、电厂、铁路之间的投入产出关系 . 向量

17、D 称为总投入向量，它的元素是矩阵C 的对应列元素之和，分别表示煤矿、电厂、铁路得到的总投入.由矩阵 C，向量 Y， X 和 D，可得投入产出分析表4.1.表 4.1投入产出分析表单位：元煤矿电厂铁路外界需求总产出煤矿c11c12c13y1x1电厂c21c22c23y2x2铁路c31c32c33y3x3总投入d1d2d3计算求解按（ 4.2 ）式解方程组可得产出向量X，于是可计算矩阵 C 和向量D，计算结果如表 4.2.表 4.2 投入产出计算结果单位：元煤矿电厂铁路外界需求总产出煤矿036505.9615581.5150000102087.48电厂25521.872808.152833.00

18、2500056163.02铁路25521.872808.150028330.02总投入51043.7442122.2718414.52精彩文档实用标准文案5 交通流量的计算模型问题图 5.1 给出了某城市部分单行街道的交通流量（每小时过车数）.假设：（1）全部流入网络的流量等于全部流出网络的流量； （2）全部流入一个节点的流量等于全部流出此节点的流量 . 试建立数学模型确定该交通网络未知部分的具体流量 .建模与计算由网络流量假设，所给问题满足如下线方程组：x2x3x4300x4x5500x7x6200x1x 2800x1x5800x7x81000x9400x10x9200x10600x8x3x

19、61000系数矩阵为精彩文档实用标准文案01110000000001100000000001100011000000001000100000A00000110000000000010000000001100000000010010010100增广矩阵阶梯形最简形式为100010000080001001000000001000000020000011000005000000010100800B00000110010000000000001040000000000016000000000000000000000000其对应的齐次方程组为x1x50x2x50x30x4x50x6x80x7x 80x9

20、0x100x5,x）为自由取值未知量，分别赋两组值为（1,0），（0,1），得齐次方取（8程组基础解系中两个解向量11,1,0, 1,1,0,0,0,0,0,'20,0,0,0,0, 1, 1,1,0,0'精彩文档实用标准文案其对应的非齐次方程组为x1x5800x2x50x3200x4x5500x6x8800x7x81000x9400x10600赋值给自由未知量（ x5, x8）为（ 0,0 ）得非齐次方程组的特解x800,0,200,500,0,800,1000,0,400,600 '于是方程组的通解x*12为任意常数， x 的每一个分量即为交k1 1k2 2 x,

21、其中 k ，k通网络未知部分的具体流量，它有无穷多解.6 小行星的轨道模型问题 一天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道， 他在轨道平面内建立以太阳为原点的直角坐标系， 在两坐标轴上取天文测量单位 （一天文单位为地球到太阳的平均距离： 1.4959787 × 1011m） . 在 5 个不同的时间对小行星作了 5 次观察，测得轨道上 5 个点的坐标数据如表 6.1.表 6.1坐标数据x1x2x3x4x5X 坐标5.7646.2866.7597.1687.408y1y2y3y4y5Y 坐标0.6481.2021.8232.5263.360由 Kepler （开普勒）第一定律知，小行星

22、轨道为一椭圆 . 现需要建立椭圆的方程以供研究（注：椭圆的一般方程可表示为a1x22a2 xya3 y22a4 x2a5 y10 .问题分析与建立模型天文学家确定小行星运动的轨道时，他的依据是轨道上五个点的坐标数据：精彩文档实用标准文案（x1, y 1）,（x2,y 2）,（x3,y 3） ,（x4, y 4） , （x5, y 5）.由 Kepler 第一定律知，小行星轨道为一椭圆. 而椭圆属于二次曲线，二次曲线的一般方程为 a1 x22a2 xya3 y22a4 x2a5 y1 0 . 为了确定方程中的五个待定系数，将五个点的坐标分别代入上面的方程，得a1 x122a2 x1 y1a3 y

23、122a4 x12a5 y11a1 x222a2 x2 y2a3 y222a4 x22a5 y21a1 x322a2 x3 y3a3 y322a4 x32a5 y31a1 x422a2 x4 y4a3 y422a4 x42a5 y41a1 x522a2 x5 y5a3 y522a4 x52a5 y51这是一个包含五个未知数的线性方程组，写成矩阵x122x1 y1y122x12 y1a11x222x2 y2y222x22 y2a21x322 x3 y3y322 x32 y3a31x422x4 y4y422x42 y4a41x522 x5 y5y522 x52 y5a51求解这一线性方程组，所得的

24、是一个二次曲线方程. 为了知道小行星轨道的一些参数 , 还必须将二次曲线方程化为椭圆的标准方程形式:X 2Y21a 2b2由于太阳的位置是小行星轨道的一个焦点 , 这时可以根据椭圆的长半轴 a 和短半轴 b 计算出小行星的近日点和远日点距离 , 以及椭圆周长 L .根据二次曲线理论 , 可得椭圆经过旋转和平移两种变换后的方程如下:X 2Y 2D102CD; 椭 圆 短 半 轴 : bD所 以 , 椭 圆 长 半 轴 : a; 椭圆半焦1 C2 C矩 : ca2b2 .计算求解首先由五个点的坐标数据形成线性方程组的系数矩阵精彩文档实用标准文案33.22377.47010.419911.5281.

25、29239.513815.11151.444812.57202.4040A 45.6841 24.6433 3.3233 13.5180 3.646051.3802 36.2127 6.3807 14.3360 5.052055.950450.265611.289614.96006.7200使用计算机可求得(a1, a2 , a3 , a4 , a5 )(0.6143, 0.3440,0.6942, 1.6351, 0.2165)从而a1a20.61430.3440Ca30.34400.6942a2C0.3081,C 的特征值 10.3080, 21.0005a1a2a30.61430.344

26、01.6351Da2a3a50.34400.69420.2165a4a511.63510.21651D1.8203.于是 , 椭圆长半轴 a=19.1834, 短半轴 b=5.9045, 半焦距 c=18.2521. 小行星近日点距和远日点距为hac039313, Hac37.4355最后 , 椭圆的周长的准确计算要用到椭圆积分, 可以考虑用数值积分解决问题, 其近似值为 84.7887.7 人口迁移的动态分析问题对城乡人口流动作年度调查, 发现有一个稳定的朝向城镇流动的趋势:每年农村居民的2.5%移居城镇 , 而城镇居民的1%迁出 . 现在总人口的60%位于城镇 . 假如城乡总人口保持不变

27、, 并且人口流动的这种趋势继续下去 , 那么一年以后住在城镇人口所占比例是多少 ?两年以后呢 ?十年以后呢 ?最终呢 ?解设开始时 , 令乡村人口为 y0 , 城镇人口为 z0 , 一年以后有9751y1,乡村人口y0z01000100城镇人口25 y099 z0z1,1000100或写成矩阵形式精彩文档实用标准文案y19751y0 .1000100z12599z01000100两年以后 , 有975197512y2y1y0 . .10001001000100z22599z12599z010001001000100十年以后 , 有975110y10y0 .1000100z102599z0100

28、0100事实上 , 它给出了一个差分方程 : uk 1Auk . 我们现在来解这个差分方程. 首先9751A 1000 100 ,25991000100k 年之后的分布 ( 将 A 对角化 ):2k52ykk y0119307 7y0zkA520055.z011z01077这就是我们所要的解 , 而且容易看出经过很长一个时期以后这个解会达到一个极限状态y2( y0 z0 )7 .z57总人口仍是 y0 z0 , 与开始时一样 , 但在此极限中人口的5在城镇,而2在乡村 . 无论初始77分布是什么样 , 这总是成立的 . 值得注意这个稳定状态正是A 的属于特征值1 的特征向量 . 上述例子有一些

29、很好的性质 : 人口总数保持不变, 而且乡村和城镇的人口数决不能为负. 前一性质反映在下面事实中 : 矩阵每一列加起来为1; 每个人都被计算在内, 而没有人被重复或丢失 .后一性质则反映在下面事实中: 矩阵没有负元素 ; 同样地 y0 和 z0也是非负的, 从而 y1 和精彩文档实用标准文案z1, y2 和 z2 等等也是这样 .8 常染色体遗传模型为了揭示生命的奥秘 , 遗传学的研究已引起了人们的广泛兴趣 . 动植物在产生下一代的过程中 , 总是将自己的特征遗传给下一代 , 从而完成一种“生命的延续” .在常染色体遗传中 , 后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因 , 形成自己的基因对 .

30、人类眼睛颜色即是通过常染色体控制的 , 其特征遗传由两个基因 A 和a 控制 . 基因对是AA 和 Aa 的人 , 眼睛是棕色 , 基因对是aa 的人 , 眼睛为蓝色 . 由于 AA 和Aa 都表示了同一外部特征, 或认为基因A 支配 a , 也可认为基因a 对于基因 A 来说是隐性的( 或称 A 为显性基因 , a 为隐性基因 ).下面我们选取一个常染色体遗传植物后代问题进行讨论.某植物园中植物的基因型为AA , Aa , aa . 人们计划用AA 型植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代. 经过若干年后 , 这种植物后代的三种基因型分布将出现什么情形?我们假设 an ,bn , cn (n 0,2,2,) 分别代表第 n 代植物中 , 基因型