最优捕鱼策略

1、1996年A题 最优捕鱼策略为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业、林业资源）的开发必须适度。一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益。考虑对某种鱼（鯷鱼）的最优捕捞策略：假设这种鱼分4个年龄组，称1龄鱼，4龄鱼。各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07，11.55，17.86，22.99（克），各年龄组鱼自然死亡率均为0.8（1/年），这种鱼为季节性集中产卵繁殖，平均每条4龄鱼的产卵量为1.109´105（个），3龄鱼的产卵量为这个数的一半，2龄鱼和1龄鱼不产卵。产卵和孵化期为每年的最后3个月，卵孵化并成活为1龄鱼，成活率（1龄鱼条数与产卵

2、总量n之比）为1.22´1011/(1.22´1011 + n)。渔业管理部门规定，每年只允许在产卵孵化期前的8个月内进行捕捞作业。如果每年投入的捕捞能力（如渔船数、下网次数等）固定不变，这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比，比例系数不妨称捕捞强度系数。通常使用13mm网眼的拉网，这种网只能捕捞3龄鱼和4龄鱼，其两个捕捞强度系数之比为0.42:1，渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。1） 建立数学模型分析如何实现可持续捕获（即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变），并且在此前提下得到最高的年收获量（捕捞总重量）。 2）某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年，合同要求5

3、年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏。已知承包时各年龄组的鱼群的数量分别为：122，29.7，10.1，3.29（´109条），如果仍用固定努力量的捕捞方式，该公司应采取怎样的策略才能使总收获量最高.12基本假设:1、  鱼群生活在稳定的环境中，不考虑鱼群的迁入和迁出，也不考虑鱼群的空间分布；2、  1龄鱼、2龄鱼、3龄鱼、4龄鱼均可以在一年即一个周期的任意时间内死亡；3、成活的i龄鱼(i=1,2,3)每经过一年即一个周期变为(i+1)龄鱼，而4龄鱼不变；4、 假设相邻两个年龄组的鱼群在相邻两年之间的变化是连续的，即第T年底第i年龄组的鱼的条数等于第T+1年初第i+

4、1年龄组的鱼的条数；5、 各年龄组鱼的平均重量和自然死亡率稳定，不考虑由于饲养技术、环境等因素引起变化；6、 只考虑采用固定努力量捕捞方式下的捕捞策略。主要符号说明：符号意义说明单位r对4龄鱼的捕捞强度 变量1/年t时间变量年t时刻i龄鱼的数量(i=1,2,3,4)变量条n33龄鱼在第四季度的平均产卵量未知量个n44龄鱼在第四季度的平均产卵量未知量个平衡捕捞时各j龄鱼年初的数量(j=1,2,3,4)未知量条模型建立:一、各龄鱼的变化规律解之得：一年内的捕捞量f(r)为(单位:g)：对于平衡捕捞，有：四龄鱼经过一年后还是四龄鱼由可得： 由将 对承包五年的情况，分两种情形处理。第一种：假定五年中捕

5、捞强度r 一直保持不变，且第年初的各龄鱼数与平衡捕捞时的年初值的偏离不超过的倍（如0.05即5）：第二种：假定五年中各年的捕捞强度不同，设ri为第i年的捕捞强度，且第年初的各龄鱼数与平衡捕捞时的年初值的偏离不超过的倍（如0.05即5）：模型求解:(1)最高的年收获量r =17.0243 最大年捕捞量3.8767e+009可持续捕捞鱼群的大小(条)： N1 1.1951 N2 0.5370 N3 0.2413 N4 0.0009(2)五年r不变时的结果r= 17.1446 捕捞量1.6011e+009N1 0.9989 N2 0.9987 N3 0.9997 N4 0.9500(3)五

6、年r变动时的结果r= 13.0018 13.9406 21.6540 21.5971 17.2248 捕捞量1.6290e+009N1 0.9989 N2 0.9500 N3 0.9500 N4 0.9500附: MATLAB程序%最优捕鱼策略,2005年八月调试通过.function fishf()global x0 x=zeros(6,4);r1=0;r2=100;r,v1=fminbnd(fish1,r1,r2);%解第1问.ee=exp(-0.8);x10=f1(r);x0(1)=x10;x0(2)=x10*ee;x0(3)=x10*ee*ee;x0(4)=x10/(1-exp(-0.

7、8-2*r/3)*exp(-2.4-0.84*r/3);rw1=-v1x0pause; r2,v2=fmincon(fish2,10,0,100,fish2con);%解第2问,五年的r不变时.r2w2=-v2x=f2(r2);x_x0=x(6,:)./x0pause; r0=10 10 10 10 10;vlb=0 0 0 0 0;vub=150 150 150 150 150;r3,v3=fmincon(fish3,r0,vlb,vub,fish3con);%解第2问,五年的r不同时.r3w3=-v3x=f3(r3);x_x0=x(6,:)./x0 function f=fish1(r)c

8、1=0.8/(3*1.109e5*(exp(-1.6/3)-exp(-0.8);c2=0.5*exp(-1.6-0.84*r/3)+(exp(-2.4-2.84*r/3)/(1-exp(-0.8-2*r/3);c3=17.86*0.42/(0.42*r+0.8)*exp(-1.6)*(1-exp(-2*(0.8+0.42*r)/3);c4=22.99/(r+0.8)*(exp(-2.4-0.84*r/3)/(1-exp(-0.8-2*r/3)*(1-exp(-1.6-2*r/3);f=-1.22e9*r*(1-c1/c2)*(c3+c4);return function f=f1(r)c1=0

9、.8/(3*1.109e5*(exp(-1.6/3)-exp(-0.8);c2=0.5*exp(-1.6-0.84*r/3)+(exp(-2.4-2.84*r/3)/(1-exp(-0.8-2*r/3);f=1.22e11*(1-c1/c2);return function x=f2(r)global x0 ee=exp(-0.8);x(1,:)=122 29.7 10.1 3.29*1e9;for i=1:5, n=3*1.109e5/0.8*(exp(-1.6/3)-exp(-0.8); n3=n*x(i,3)*exp(-0.84*r/3); n4=n*x(i,4)*exp(-2*r/3)

10、; x(i+1,1)=1.22e11*(0.5*n3+n4)/(1.22e11+0.5*n3+n4); x(i+1,2)=x(i,1)*ee; x(i+1,3)=x(i,2)*ee; x(i+1,4)=x(i,4)*exp(-0.8-2*r/3)+x(i,3)*exp(-0.8-0.84*r/3);endreturn function g,eg=fish2con(r)global x0 ee=exp(-0.8);x(1,:)=122 29.7 10.1 3.29*1e9;for i=1:5, n=3*1.109e5/0.8*(exp(-1.6/3)-exp(-0.8); n3=n*x(i,3)

11、*exp(-0.84*r/3); n4=n*x(i,4)*exp(-2*r/3); x(i+1,1)=1.22e11*(0.5*n3+n4)/(1.22e11+0.5*n3+n4); x(i+1,2)=x(i,1)*ee; x(i+1,3)=x(i,2)*ee; x(i+1,4)=x(i,4)*exp(-0.8-2*r/3)+x(i,3)*exp(-0.8-0.84*r/3);enda=0.05;g=(1-a)*x0-x(6,:) -(1+a)*x0+x(6,:);eg=;return function g,eg=fish3con(r)global x0 ee=exp(-0.8);x(1,:)

12、=122 29.7 10.1 3.29.*1e9;for i=1:5, n=3*1.109e5/0.8*(exp(-1.6/3)-exp(-0.8); n3=n*x(i,3)*exp(-0.84*r(i)/3); n4=n*x(i,4)*exp(-2*r(i)/3); x(i+1,1)=1.22e11*(0.5*n3+n4)/(1.22e11+0.5*n3+n4); x(i+1,2)=x(i,1)*ee; x(i+1,3)=x(i,2)*ee; x(i+1,4)=x(i,4)*exp(-0.8-2*r(i)/3)+x(i,3)*exp(-0.8-0.84*r(i)/3);enda=0.05;g

13、=(1-a)*x0-x(6,:) -(1+a)*x0+x(6,:);eg=;return function x=f3(r)global x0 ee=exp(-0.8);x(1,:)=122 29.7 10.1 3.29.*1e9;for i=1:5, n=3*1.109e5/0.8*(exp(-1.6/3)-exp(-0.8); n3=n*x(i,3)*exp(-0.84*r(i)/3); n4=n*x(i,4)*exp(-2*r(i)/3); x(i+1,1)=1.22e11*(0.5*n3+n4)/(1.22e11+0.5*n3+n4); x(i+1,2)=x(i,1)*ee; x(i+1

14、,3)=x(i,2)*ee; x(i+1,4)=x(i,4)*exp(-0.8-2*r(i)/3)+x(i,3)*exp(-0.8-0.84*r(i)/3);endreturn function f=fish2(r)global x0 ee=exp(-0.8);x(1,:)=122 29.7 10.1 3.29*1e9;f=0;for i=1:5, fx3=0.01786*0.42/(0.42*r+0.8)*x(i,3)*(1-exp(-1.6-0.84*r)/3)*r; fx4=0.02299/(r+0.8)*x(i,4)*(1-exp(-1.6-2*r)/3)*r; f=f-fx3-fx4

15、; n=3*1.109e5/0.8*(exp(-1.6/3)-exp(-0.8); n3=n*x(i,3)*exp(-0.84*r/3); n4=n*x(i,4)*exp(-2*r/3); x(i+1,1)=1.22e11*(0.5*n3+n4)/(1.22e11+0.5*n3+n4); x(i+1,2)=x(i,1)*ee; x(i+1,3)=x(i,2)*ee; x(i+1,4)=x(i,4)*exp(-0.8-2*r/3)+x(i,3)*exp(-0.8-0.84*r/3);endreturn function f=fish3(r)global x0 ee=exp(-0.8);x(1,:)=122 29.7 10.1 3.29.*1e9;f=0;for i=1:5, fx3=0.01786*0.42/(0.42*r(i)+0.8)*x(i,3)*(1-exp(-1.6-0.84*r(i)/3)*r(i); fx4=0.02299/(r(i)+0.8)*x(i,4)*(1-exp(-1.6-2*r(i)/3)*r(i); f=f-fx3-fx4; n=3*1.109e