高等数学教学设计_导数

1、3.15数概念单元教学设计、教案头单元标题：导数概念单兀教学学时4在整体设计中的位置第15、16次授课班级上课地点教学目标能力目标知识目标素质目标?能够变速直线运动速度、切线斜率?能够抽象出导数概念?能够利用导数概念计算导数?能够计算高阶导数?能够总结基本函数的导数运算公式导数概念左右导数计算导数?深刻思维能力?团结合作能力?语言表达能力能力训练任务及案例任务1理解变速直线运动速度、切线斜率任务2抽象导数概念任务3简单计算导数、高阶导数任务4总结基本函数的导数运算公式案例1 (电流强度模型)电流强度模型 设在时间0, t0这段时间通过导线横截面的电流是Q Q(t),利用导数概念分析电流强度案例

2、2 (细杆的线密度模型)设一根质量非均匀分布的细杆放在X轴上，在0,X上的质量是x的函数m=m(x)，求杆上点x0处的线密度教学材料高等数学教材侯风波主编高等教育 高等数学习题集天德主编科技 高等数学应用205例心灿主编高等教育 经济数学基础顾静相主编高等教育、教学设计步骤教学容教学 方法教学 手段学生 活动时间 分配1(告知)本单兀学习目标：瞬时速度，切线斜率导数概念，高阶导数述板书识记5分钟2(引入任务1)(1)瞬时速度设一个物体的路程与时间的函数是s=s(t)，试研究在时刻t0时的瞬时速度+s(tot)-s(t)v t0lim t 0t(2)切线斜率函数y=f(x)在xo处的切线斜率f

3、(xox)-f(x)tanlim x 0x教师 回图 讲解教师 提示学生 认真 听讲 分组 研讨50分钟1Mi/(xsj2hxoxo+ Ax3(任务2)导数通过任务2,抽象出任意函数f=f(x)在x0的导数概念f(xo x)-s(x)f xlxmoxlim f(x)-f(xo)x x0x- x0f(xo x)-s(x)f x0lim x 0x右导数：x. f (x)- f(xo) lim x xox- x)教师 启发 讲解 注思 两个 定义 公式板书师生 研讨50分钟f(Xo X)-S(X)f- x0lim x 0-x左导数：xf(x)-f(xo) lim - -x Mx - x0例求y x3

4、在x=2处的导数例求y sin x在x0处的导数例求y cosx在xo处的导数例设 f(x) x x 1 x 2 x 3 x n,求 f 0例设f (x) x a x淇中 x在x a处连续，求f a例设函数 fx 在 xa处可导，且limh 1,求 f ah 0 f (a 2h) f(a) 44(任务3)高阶导数在一阶导数的基础上再求导就是二阶导数 在二阶导数的基础上再求导就是三阶导数 以此类推一阶导数记作：y dy'dxd 2y二阶导数记作：y ,d-ydx2d 3三阶导数记作：y ,d4dx3八dnyn阶导数记作：yTdx3例计算y x的二阶导数例计算y sin x的二阶导数例 计

5、算y cosx的二阶导数教师 启发 讲解板书师生 研讨40分钟5(任务4)总结基本初等函数的导数运算公式(C)0(x )x 1(sin x)cosx(4)(cos x)sin x22(5)(tan x)sec x(cot x)cscx(7)(8)(secx)secx tanx(cscx)csc x cot xxxxx(a ) a Ina (10) (e ) e(11)11(ln x) 一(log ax)(12)x,xln a(13)(14),.、1,、1(arcsin x) .(arccosx)v1 x2V1 x2(15)(16),、1, 、1(arctan x) (arccot x)21 x

6、1 x学生 讨论 总结30分钟5(案例)案例应用案例1电流强度模型 设在时间0,t0这段时间通过导线横截面的电流是 Q Q(t),利用导数概念分析电流强度案例2细杆的线密度模型设一根质量非均匀分布的细 杆放在x轴上，在0,x上的质里是x的函数m=m(x)，求杆上点x0处的线密度学生 分组 自主 学习 法学生 讨论35分钟作业默写基本初等函数导数公式课后 体会3.2 求与法则单元教学设计、教案头单元标题：求导法则单兀教学学时8在整体设计中的位置第17-20次授课班级上课地点教学目标能力目标知识目标素质目标?能够掌握导数的四则运算并运用?能够掌握复合函数求导数法则并运用?能够掌握反函数求导法则并运

7、用?能够掌握隐函数求导法则并运用?能够掌握对数求导法则并运用?能够掌握参数方程求导法则并运用导数运算法则6条?深刻思维能力?团结合作能力?语言表达能力能力训练任务及案例任务1导数的四则运算任务2 复合函数求导数法则任务3 反函数求导法则任务4隐函数求导法则任务5 对数求导法则任务6 参数方程求导法则案例 1 f(x) xsinx ,求 f (x), f (x) 1 cosx案例2 (注水问题)若水以2立方米/分的速度灌入一个高为 10米的、底面半径是 5米的圆锥形水槽中，问当水深为 6米时，水位的上升速度是多少？案例3求方程x a8st(0 t 2 )所确定的一阶导数或的值，再求二阶导数与y

8、csintdxdx案例4求由方程x y-e2x ey 0确定的隐函数的导数教学材料高等数学教材侯风波主编高等教育 高等数学习题集天德主编科技 高等数学应用205例心灿主编高等教育 经济数学基础顾静相主编高等教育、教学设计步骤教学容教学方 法教学手段学生活动时间 分配1(告知)本单兀学习目标：导数的四则运算复合函数求导数法则反函数求导法则隐函数求导法则对数求导法则参数方程求导法则述板书识记10分钟2(引入任务1)导数的四则运算(1)学生阅读教材47页容(2)学生总结导数如何四则运算(3) u(x) v(x) u (x) v (x)u(x)v(x) u (x)v(x) u(x)v (x)u(x)

9、u (x)v(x) -u(x)v(x) 2v(x)v (x)例 y 2x3 x2 1 ,求 y例 y xex 2x,求 y例 y log a x，求 dy dx例y ex sin x ,求母 dx例 y Uxcos4x 4ln x sin, 7求y教师讲 解教师提示学生认真 听讲分组研讨45分钟3(任务2)复合函数求导数(1 )学生阅读49贝咨总结如何求复合函数的导数(2 )设y f (x),则分解成教师启 发讲解板书师生研讨45分钟y f(u),u (x)。所以 yxy Ux(3)例 y sin JX ,求 y例 y Ja2-x2 ,求 yX例 y In tan ,求 y 2例 y sin

10、In J2x 1 ,求 y例假设气体以100立方厘米/秒的速度 注入气球，假定气体的压力不变，那么当半径是10厘米时，气球半径增加的速率 是多少？4（任务3）反函数求导(1)学生阅读52-53页，总结反函数求导的办法曳工dx dx dy例 根据x log a y的导数，求y ax的导数例 根据x sin y的导数求 y arcsin x的导数例 y arctanx,求 y例 y arcsin v'x ,求 y教师启 发讲解板书师生研讨45分钟5（任务4）隐函数求导法(1 )学生阅读55页容总结隐函数求导法 则(2)方程两侧对x求导，遇到含有y的 项，先对y求导，再对x求到，这样得到一个

11、含有y的式子，求出y即可例求由方程xy- e ey 0确定的隐函数的导数y学生分 组自主 学习法教师提示学生讨论45分钟例设曲线3y2x2(x 1),求在2,2处的切线斜率和切线方程例求由方程sin x sin y-xy 2确定的隐函数的导数y。例 求由方程x-y 空x 6确 x sin x sin y定的隐函数的导数dydx6（任务5）对数求导法则(1 )学生阅读56页容总结对数求导法则(2)对数求导事实上是把一些通过乘除 乘方并方构成的复杂函数转化成隐函数， 然后再运用隐函数求导法则求出导数例 y (x -1)V(3x 1)2(x -2),求 y例 y xsinx,求 y一一x例y x ,

12、求y例 yx-1 (x 1)11电y (x 2)10(2x-8)21 '求 dx学生分 组自主 学习法教师提示学生讨论45分钟7（任务6）参数方程求导(1 )学生阅读57页总结参数方程求导法x (t)(2)设参数方程()y (t)dy则y dy也 dx dxdtx v1t例设参数方程1 2 ,求yy V2t-gt小 “ x a(t-sint)一例设0 t 2,求y a(1-cost)学生分 组自主 学习法教师提示学生讨论45分钟y8(案例)案例应用案例 1 f(x) xsinx ,求 f (x), 1 cosxf (x)案例2若水以2立方米/分的速度灌入一个局为10米的、底面半径是 5

13、米的圆 锥形水槽中，问当水深为6米时，水位的 上升速度是多少？x acost _案例3求方程(0 t 2 )y bsint所确定的一阶导数dy的值，再求二阶导 dx数党dx2案例4求由方程x y-eey 0确定的隐函数的导数学生自 行讨论 解决50分钟作业59 页 1 2 3 4 5 6课后 体会3.3 微分单元教学设计、教案头单元标题：微分单兀教学学时4在整体设计中的位置第21、 22次授课班级上课地点教学目标能力目标知识目标素质目标?能够掌握微分的概念?能够掌握微分和导数的关系及公式表达?微分在近似计算公式中的应用微分概念微分公式微分近似计算公式?深刻思维能力?团结合作能力?语百表达能力能

14、力训练任务及案例任务1 微分的概念及公式表达任务2 微分的近似计算案例1 (机械零件加工)有一个球体机械加工零件，要使他的体积从972兀立方厘米增加到973兀立方厘米，试估计其半径的增力口了月多少？案例2 (机械零件近似)有一个机械零件长是 365 ,现在要加工边长，但是不知道将具体近似值，请计算出来。案例3求y (3x-l)100的微分。并计算f(2)的近似值教学材料高等数学教材侯风波主编高等教育 高等数学习题集天德主编科技 高等数学应用205例心灿主编高等教育 经济数学基础顾静相主编高等教育、教学设计步骤教学容教学 方法教学 手段学生 活动时间 分配1(告知)本单兀学习目标：掌握微分的概念

15、掌握微分和导数的关系及公式表达微分在近似计算公式中的应用述板书识记5分钟2(引入任务1)微分概念(1)学生阅读60-61页资料，理解微分的含义(2)所谓的微分，就是随着自变量的改变量x,函数值的该变量 y。 y = f (x) x ,也即dy f (x)dx例计算卜列函数的微分(1) y x8 6x2 1(2) y ex 2sinx(3) y sin Jx2(4) x xy-sin y 0例 y arctanx ,求 dy例 y arcsin & ,求 dy微分和导数比较：教师 讲解教师 提示学生 认真 听讲 分组 研讨40分钟廊£亲st（a J>r-三 rtt ala

16、 r）- - sec jIa i.sc j - - 0 r=i r/1口=（n4巾篷人上 上._ Iinn r> j （kto-t.1 -:上；/T?豆t） - 1.i+yv iiifra&： xi 率. 7li丁i一:而3）二宜虱肃si -Ji,% j . rlu: rtlr出Cff 仆一 & E J3a.1 一d Bl Yh d * -7=Ky<Arr - - /F?jj*i 卜，-hLt1 -43（任务2）微分的近似计算 学生总结近似计算 (1)首先要搞清楚设计的关系式，自变量和因变量(2 ) y f (x0) xf(x)f(Xo) f (Xo)(X-Xo)例假设一机械正方形薄片，边长是 X厘米，现在机 械薄片边长从X 2增加到X 2.2,求薄片面积的 增加。设s=x2是薄片面积，则 s=s (2)0.2 =0.8平 方厘米例(膨胀问题)设一个铜质正方体