浙江省湖州市2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题

1、浙江省湖州市2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题评卷人得分1.一、选择题 本大题共在直角坐标系中，直线A. 302.已知数列an满足ai递减数列，又a1A. -50503.r向量aa23A.一24.已知函数A. f 4C. f 05.题号一一三总分得分10道小题。1,J3y 0的倾斜角是B. 45C. 60D. 90anana100B.5050C.2）,且数列a2n i是递增数列，数列a2n是 4950D. 49506,8 ,若a/b，则实数x的值为B.C.D.xax2 bxc,若关于x的不等式f x0的解集为( 1,3),则f 0f 1B.f 1 f 0f 4f 1f 4D.f

2、1 f 4f 0圆心为（1, 1）且过原点的圆的一般方程是22A. x y 2x 2y 1 0B.2x2y22C. x2 y2 2x 2y 0D.2x2y第25页，总15页6.在4ABC中，内角A, B,C所对的边分别是a, b, c.已知 a=5, b=7, c=8,贝U A+C=A. 90B. 120C. 135D. 1507.ax4x 8恒成立，则实数 a的取值范围是A. 2,12B. -2,10C. -4,4D. -4,128.若直线x1 m y 20和直线mx2y4 0平行，则m的值为（）A. 1B. -2C. 1 或一22 D.39.已知an是公差d不为零的等差数列，其前n项和为S

3、n,若a3, a4，为成等比数列,则A. a1d0,dS4 0B.a1d 0,dS4 0C. a1d0,dS4 0D.a1d 0,dS4 010.已知向量r r .a, b的夹角为60°,且 a2,1,b与1a2rb的夹角等于B. 90C. 60D. 30评卷人得分°A. 15011.一、填空题本大题共7道小题。已知0,b 0,ab 8,则 log 2 a log 2 2b 的最大值是12.已知2,5在圆22C： x y 2x 2y m 0上，直线 l： 3x4y 8 0与圆C相交于A, B,则实数m=uuin，BCuuuAB13.题答内线订装在要不请派O 线 O :号O

4、线 O 订 考:订 O 级 班O 装 O 名 姓核 学装 O 外O 内Oxy1 0,已知实数x, y满足 xy1 0,则目标函数z 2x y的最大值是_一 满足条件的实数x, y构成3xy3 0,的平面区域的面积等于14.uuur已知点 A(0,1), B(3,2),向量 AC日 uuruur(4, 3),则向重 AB ,向量BC .15.我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八，请问尖头几盏灯？ ”意思是：一座7层塔共挂了 381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为16.若关于x的方程x2 ax b 0(a，b R )在区

5、间1,3有实根，则a2 (b 2)2最小值是17.在4ABC中，内角A, B, C所对的边分别是a, b,c.若 bsinA asinC , c 1 , B 则 b= 6 '评卷人得分a=18.解答题本大题共5道小题已知数列an的前n项和为Sn,且满足a1 1 , an Sn n 1 (n N)(I )求a2,a3的值，并求数列an的通项公式；(n )设数列的前n项和为Tn求证：n Tn 2 ( n N ). an2 219.已知等比数列an的各项为正数，Sn为其前n项的和，a3=8, &=14 .(I )求数列an的通项公式；(n)设数列 bn an是首项为1,公差为3的等差

6、数列，求数列bn的通项公式及其前 n项的和Tn20.如图所示，4ABC是边长为1的正三角形，点 Pi, P2, P3四等分线段BC.题答内线订装在要不请派【详解】在直角坐标系中，直线x J3y 0的斜率为1=3,等于倾斜角的正切值,3uuu uuur uur uur(i )求 AB AP AP AP2 的值；uuur 1 uuu uuur(n)若点Q是线段AP3上一点，且 AQ AB mAC ,求实数m的值. 1221.已知直线l过点(1,3),且在y轴上的截距为1 .(I )求直线l的方程；22()若直线l与圆c： x a y a5相切，求实数a的值.22.urrurr在ABC中，内角A,B

7、, C所对的边分别是a,b,c.已知ma,c 2b , ncosC,cos A，且mn(i)求角A的大小;uuu 1 uur(n )若AB ' AC 2 ,求ABC面积的最大值.3试卷答案1.A先根据直线的方程，求出它的斜率，可得它的倾斜角.故直线x J3y 0的倾斜角是30° ,故选A .【点睛】本题主要考查直线的倾斜角和斜率的求法。2.A【分析】线 线 O 订 O 装 O :号 考:级 班:名 姓核 学O 订 O 装 O 外 内 根据已知条件可以推出，当 n为奇数时，an 0,当n为偶数时，an 0,因此an an 1 n2去绝对 n 12值可以彳#到，an an 1 (

8、 1) n，利用累加法继而算出结果.【详解】Q a2 al 22,即a2 1 4 ,a25或3,又a1a2 ,a23.Q数列a2n 1为递增数列，数列a2n为递减数列，当n为奇数时，an 。，当n为偶数时，an 0 ,n 12an an 1( 1) n .a100(ai00a99 )(a99a98)(a98a97 )(a2 a1)1002992982 972 962 952L2212(1009922_ 22)(9897 ) (96952)L_ 22(21 )(1009998 97 963 ：2 1)100 11005050 .故选 A. 2【点睛】本题主要考查了通过递推式求数列的通项公式，数列

9、单调性的应用，以及并项求和法的应用。3.C【分析】利用向量平行的坐标表示，即可求出。rrr【详解】Q 向量 a (2,x), b (6,8), a/b，即 2 8 6x 0解得x .故选C . 3【点睛】本题主要考查向量平行的坐标表示。4.B由题意可得a 0,且1, 3为方程ax2 bx c 0的两根，运用韦达定理可得a , b , c的关系，可得f(x)的解析式，计算f(0), f (1), f (4),比较可得所求大小关系.【详解】关于x的不等式f(x) 0的解集为(1,3),可得a 0,且 1, 3为方程ax2 bx c 0的两根，bc可得 1 31 3 ,即 b 2a, c 3a ,a

10、a2f (x) ax 2ax 3a, a 0,可得 f (0) 3a , f(1) 4a, f (4)5a,可得 f (4)f(0) f (1),故选 B .【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质、函数与方程的思想，以及韦达定理的运用。5.D【分析】根据题意，求出圆的半径，即可得圆的标准方程，变形可得其一般方程。【详解】根据题意，要求圆的圆心为 (1, 1),且过原点，且其半径r. 12 (1)2 ,2，则其标准方程为(x 1)2 (y 1)2 2,变形可得其一般方程是 x2 y2 2x 2y 0,故选D .【点睛】本题主要考查圆的方程求法，以及标准方程化成一般方程。6.B【分析】1由已知二

11、边，利用余弦定理可得cosB 2 ,结合b c, B为锐角，可得B ,利用三角形内角和定理即可求A C的值.题答内线订装在要不请派【详解】在 ABC中，Q a 5, b 7, c 8,由余弦定理可得：cosB22,2a c b2ac25 64 49 12 5 82， 线 线 O 订 O 装 O : 号 考:级 班:名 姓核 学O 订 O 装 O 外 内 Qb c,故B为锐角，可得B 60 ,A C 180 60120，故选 B .【点睛】本题主要考查利用余弦定理解三角形以及三角形内角和定理的应用。7.D【详解】2 x12 x1ax4x 8恒成立,xx即为2 x12 x18(4a)x恒成立，xx

12、一118 .一一当x 0时，可信4 a, x 2 x 2 的取小值,x由1x T x1x下 x-a xx1-2 x当且仅当x2取得最小值8,即有当x 0时，可得4ax1x由1x - xx1 x8度 x2xx x18c 8 c 88-x 2x 2j2x8,xx xYx '4 a, 8,则 a4；1 8 ,一一x -2 -的取大值，x x88-2J2x - 8 , xx当且仅当x2取得最大值 8,即有4 a8,则a, 12,综上可得 4a 12 .故选D .【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和分类讨论思想，以及基本不等式 的应用，意在考查学生的转化思想、分类讨论思

13、想和运算能力。8.A试题分析：由两直线平行可知满足112m 1 mm 12m考点：两直线平行的判定9.B丁等差数列4,%，4,小成等比数列，(%十 孙二(% +2次% +了")=>%=一，3242'1' S$ = 2叼 口J = 2与一为+3Q)= ；d, = d <0 , dS§ d*, < 0 ,故选 B.333考点：1.等差数列的通项公式及其前 片项和；2.等比数列的概念10.C【分析】根据条件即可求出ab 1,a2 4,b2i,从而可求出,(a-b)2V3,r r 1 r r(a b)?(-a b)2范围即可求出夹角.1 r r ,

14、一 ,与a b的夹角为2,从而可求出cos根据向量夹角的【详解】r2 a4,b2 1i-r 2 a b)F 片2a?)b2r b ra 1211173, (ar 1 rb%abr) 1a221 r a?bb21 r r，-a ,-a b的夹角为21 r r (a b)?(2a b)又0蒯 180,【点睛】本题主要考查向量数量积的定义运用,11.4向量的模的求法，以及利用数量积求向量夹角。【分析】利用对数的运算法则以及二次函数的最值化简求解即可.【详解】a 0, b 0, ab 8,则 log2 a?log2(2b) (log 2 8 log2b)?(1 log 2 b)(3 log2b)?(1

15、 log2b)_23 2log 2 b (log 2 b)题答内线订装在要不请派O 线 O :号O 线 O 订 考:订 O 级 班O 装 O 名 姓核 学装 O 外O 内O24 (1 log2b), 4.当且仅当b 2时，函数取得最大值.【点睛】本题主要考查了对数的运算法则应用以及利用二次函数的配方法求最值。12.-2332；把P点坐标代入圆的方程可得 m的值；由圆的方程可知 AC BC 5,再由弦心距公式可得| AB | 8 ,继而由向量的数量积公式可得解.【详解】把P( 2,5)代入圆C : x22y 2x 2y m 0,解得m 23.即圆C的方程为(x 1)2 (y 1)225,所以 r

16、 AC BC 5, .3 4 8又圆C到直线AB的距离d 33 ,5所以 | AB | 8 ,则 cos ABCuuuv uuuv所以 BC AB AB BC cos(64 25 25 4 ,2 8 55-4ABC) 5 8(-) 5【点睛】本题主要考查圆的一般方程与标准方程的互化，直线与圆相交所得弦长的求法，以及数量积的定义应用。13.(1). 2(2). 2;【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用线性目标函数的最值求法，进行求解即可.【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：(阴影部分).由z 2x y得y 2x z.平移直线y 2x z,x y由丫3x y10八，解得B(1,0),代入目

17、标函数z 2x y得z 2 1 0 23 0即目标函数z 2x y的最大值为2.由图象可知当直线 y 2x z经过点b时，直线y 2x z的截距最小，此时 z最大.x y 1 0点 A(2,3)时，同理 C(0,1),3x y 3 0满足条件的实数x, y构成的平面区域的面积等于:1 3 211 111 32222【点睛】本题主要考查简单线性规划问题的求解方法平移法的应用，以及三角形面积的求法。14.(3,1)(-7,-4)；由点A(0,1), B(3,2),向量AC ( 4, 3),先求出点C坐标为(4, 2),由此利用平面向量坐标运算uuu uuur法则能求出向重 ab和向重 BC -uu

18、ur【详解】Q 点 A(0,1), B(3,2),向量 AC ( 4, 3),uuuuur点C坐标为(4, 2), 向量AB (3,1),向量BC ( 7, 4).【点睛】本题主要考查向量的加减坐标运算。15.3分析：设塔的顶层共有 a1盏灯，则数列an公比为2的等比数列，利用等比数列前n项和公式能求出结果.详解：设塔的顶层共有a1盏灯，则数列an公比为2的等比数列，. a(1 27), , S7=381 ,解得 a1二3.故答案为：3.1 2点睛：本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力题答内线订装在要不请派VJ >)> 上一工。 >)> ,、

19、 打】 】 】 C - - - - 韭 - - - - C 】 】 】 八夕916.一2O 线 O 订O 装 O 外O: 号 考:级 班:名 姓核 学O 线 O 订 O 装 O 内 O【分析】将x2 ax b 0看作是关于a,b的直线方程，则a2 (b 2)2表示点(a,b)到点(0,2)的距离的平方，根据距离公式可求出点到直线的距离最小，再结合对勾函数的单调性，可求出a2 (b 2)2最小值。【详解】将x2 ax b 0看作是关于a,b的直线方程，a2 (b 2)2表示点(a,b)与点(0,2)之间距离的平方，,一.c. x2 2点(。，2)到直线x ax b 0的距离为d ,xx 1一.x

20、 2c1,r),又因为 y , )Jx 1，令 t Vx 1J2,JT0 ,7x7Vxly t 1在t 板而 上单调递增，所以dmin 晅，t2229所以a2 (b 2)2的最小值为2 .【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式以及对勾函数单调性的应用，意在考查学生转化思想的的应用。17.1百【分析】由已知及正弦定理可得 b c,即求出b,利用三角形的内角和定理可求A,根据余弦定理可得 a的值.【详解】Q bsin A asinC,由正弦定理可得：ab ac ,即b c ,Qc 1, b 1,一一. _ 2又 Q B, C, AAB,663由余弦定理可得：a Jb2 c2 2bccos A 11

21、2 11 cos- J3.【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形的内角和定理，余弦定理在解三角形中的综合应用。18. ( I ) a2 3, a3 7 , an 2n 1 ( n )见解析【分析】(I )根据和项与通项关系得an 1 1 2(an 1)(n2),利用等比数列定义求得结果 (n)利用放缩法以及等比数列求和公式证得结果【详解】(I) a2 S12 3"S2由 an 1 Sn n得anSnn (n 2),两式相减得an2an1 (n2)故 an1 1 2ana1所以数列an1是以2为首项，公比为2的等比数歹U,因此an2 2n即 an2n1.2时,an1 2n1 2n所以T

22、naia2a3an故Tn又当因此2.2时,an2n12na2a3an题答内线订装在要不请派12n1 时，T1 1121，1<21-Tn2对一切n2* 、N成立.【点睛】本题主要考查了利用Sn和an的关系以及构造法求数列an的通项公式，同时考查利用放缩法O 线 O :号O 线 O 订 考:订 O 级 班O 装 O 名 姓核 学装 O外O 内O证明数列不等式，解题难点是如何放缩，意在考查学生的数学建模能力和数学运算能力。nn3 9 n19. ( I ) an 2 ( n ) bn 3n 2 2Tn 2- n 222【分析】(I )设正项等比数列为的公比为q(q 0且q 1),由已知列式求得首

23、项与公比，则数列an的通项公式可求；(n)由已知求得bn ,再由数列的分组求和即可.【详解】(I )由题意知，等比数列an的公比q 1,且q 0 ,2a3 aiq 8所以 a1 1 q3，S3 141 qca1 18“，口 a12人，解得 ，或 2 (舍去)，q 2 q -3(n)由题意得 bn an1 (n 1) 33n 2,故 bn 3n 2 an 3n 2 2nTnb1b2b3bn(1 4 7233n 2)2 222n(1 3n 2) 2 1 2n则所求数列an的通项公式为an2n.21 213 2n2-n222, 、13120. ( I )1(n)84uuu uuur(I )以AB,

24、AC作为基底，表示出面向量数量积的运算及其运算可得：设uur uuirAP,AP2 ,然后利用数量积的运算法则计算即可求出;(n)由平uuiruur uuur uuurAP3AQABm AC,又 BP33PC ,所以12UULT1 UUUAP3 -ABU UULT3 AC ，4解得m31，4得解.【详解】（I）由题意得UULT3 UUTAR -AB 41 UUUT 1 AC , 4UULTAP21 UUin1 AB 212UULTACUUU UULT则 AB AP1UULT UULTAR AP2UUIT 3AB 4UUT AB1 UULT -AC 434LUU 1AB 4UULTAC12UUTAB1 UULT -AC 29 uur21AB 88UUUT2 3 UUU UULT AC AB AC 49 1 1881 3 141 cos60138（n）因为点Q是线段AP3上一点，所以设，UULTAP3UUUTAQ12UUUABmUULT ACUULT 1 UUT又 BP3 3PC ,所以 AP3 -AB 434UUUTAC ,_ 1身124故，3m -43解得 1 ,因此所求实数m的值为1.m44【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算以及数量积的运算以及平面向量基本定理的应用，属于中档题.4 ,、_21. (I) y 2x 1(n)a 或 a 23（i