第五节+多元复合函数与隐函数微分法ppt课件

1、证略证略第五节第五节 多元复合函数与隐函数微分法多元复合函数与隐函数微分法定理定理 如果函数如果函数)(tu 及及)(tv 都在点都在点t t可可导，函数导，函数),(vufz 在对应点在对应点),(vu具有连续偏具有连续偏导数，则复合函数导数，则复合函数)(),(ttfz 在对应点在对应点t t可导，且其导数可用下列公式计算：可导，且其导数可用下列公式计算： uvtz一、多元复合函数的偏导数一、多元复合函数的偏导数.ddddddtvvztuuztz 1 1、复合函数的中间变量均为一元函数的情形、复合函数的中间变量均为一元函数的情形 uvwtz以上公式中的导数以上公式中的导数 称为全导数称为全

2、导数.tzdd类类似似地地, ,若若中中间间变变量量为为三三个个, ,),(wvufz , ,)(tu , , )(tv , ,)(tw , ,则则复复合合函函数数)(),(),(tttfz 的的导导数数为为 .ddddddddtwwztvvztuuztz 设设vuz 2, ,xvxue ,sin , ,求求xzdd. . 解解例例1 1xvvzxuuzxzdddddd xxuecos2 .e2sinxx xvvzxuuzxz ， yvvzyuuzyz .2 2、复合函数的中间变量均为多元函数的情形、复合函数的中间变量均为多元函数的情形定定理理 设设),(vufz 具具有有连连续续偏偏导导数数

3、, ,),(yxu , , ),(yxv 可可偏偏导导, ,则则复复合合函函数数),(),(yxyxfz 可可偏偏导导, , 且且有有 链式法则如图示链式法则如图示uvxzy vz,xv yz uz链式法则如图示链式法则如图示uvxzy xz uzxu yu vz.yv 2 2、复合函数的中间变量均为多元函数的情形、复合函数的中间变量均为多元函数的情形定定理理 设设),(vufz 具具有有连连续续偏偏导导数数, ,),(yxu , , ),(yxv 可可偏偏导导, ,则则复复合合函函数数),(),(yxyxfz 可可偏偏导导, , 且且有有 xwwzxvvzxuuzxz ,zwvuyxywwz

4、yvvzyuuzyz .类类似似地地, ,设设),(wvufz , ,),(yxu , ,),(yxv , , ),(yxw , ,则则复复合合函函数数),(),(),(yxyxyxfz 的的偏偏导导数数为为 设设vzusine ，而，而xyu ，yxv ， 解解1cosesine vyvuu,)cos()sin(eyxyxyxy 1cosesine vxvuu.)cos()sin(eyxyxxxy 例例2 2求求 xz 和和 yz . xvvzxuuzxz yvvzyuuzyz 设设 tuvzsin ，而而 tue ，tvcos ， 解解tztvvztuuztz ddddddttuvtcos

5、sine tttttcossinecose .cos)sin(cosetttt 例例3 3.ddtz求求全全导导数数解解例例4 4设设22 ,yxuxyuz , ,求求yzxz ,. . xfxuufxz yuxxy 2，323yyx yuufyfyz yxyxu2 .323xyx 令令 xyuuyxfz ),(, , 或用求导法则，或用求导法则，)(xuxuyxz 等等，)3(22yxy 设设)sin(sinsinxyfxu , ,其其中中f可可微微，求求证证 证证例例5 5.coscoscoscosyxyxuxyu xu )cos()(cosxvfx ,)(1 cosvfx yu ,cos

6、)(yvf 所以所以yxuxyucoscos xyvfcoscos)( 记记,sinsinxyv yxvfcoscos)(1 .coscosyx 设设)(xyxFz , ,其其中中F可可微微，求求证证 证证例例6 6.lnzyzyyxzx xz xuuFxuF )()(yz 所以所以记记,xyu ,ln)()(yyuFxuFx ,)(1 xxyuFxyuuFx )(yzyyxzx lnyyuFxuxFxln)()(2 yyuFxxln)(2 .)(zyxFx 设设) (xyxyfz , ,f有有二二阶阶连连续续导导数数, ,求求 解解例例7 7. , ,2yxzyzxz xz , )(2xyy

7、f yz , )1(xxf yxz 2)()1(2xyyxxf . )11 (2xf 设设 ),(xyzzyxfw ，f 具具有有二二阶阶连连续续偏偏导导数数， 解解 记记, zyxu ;xyzv 记记,),(1uvuff ,),(212vuvuff xwxvvfxuuf ;21fyzf 例例8 8求求 xw 和和 zxw 2. . 同理有同理有,2f ,11f ，22f 等等等等. . zxw2)(21fyzfz ;221zfyzf yzf zf1zvvfzuuf 11;1211fxyf zf2zvvfzuuf 22;2221fxyf 于是于是 zxw21211fxyf 2f y )(222

8、1fxyfyz .)(22221211f yf zxyfzxyf ),(xyzzyxfw , , 21fyzfxw 解解设设),(22yxxyfz , ,f 具具有有连连续续的的二二阶阶 偏导数偏导数, ,求求 yxz 2. . xz ,221fxfy yxz 21f .4)(2221222111fxyfyxfxyf y )2(1211fyfx x2 )2(2221fyfx 例例9 9练习：练习：P324 习题七习题七若若又又有有)(tgx , ,g可可导导，则则复复合合函函数数)(tgfy 的的微微分分为为 二、一阶全微分的形式不变性二、一阶全微分的形式不变性回忆：回忆：结论：结论：的的微微

9、分分形形式式总总是是函函数数是是自自变变量量还还是是中中间间变变量量无无论论)(,xfyx xxfyd)(d 设设)(xfy 可可导导，则则xxfyd)(d , , 而而 ttgxd)(d , 因因此此又又有有 xxfyd)(d , , ,d)()(dttgxfy 此性质称为一阶微分的形式不变性此性质称为一阶微分的形式不变性. . 设设函函数数),(yxfz 可可微微，当当 x,y为为自自变变量量时时，有有全全微微分分 yyzxxzzddd 可以证明，可以证明，当当 x, y 为为 s, t 的的可可微微函函数数，即即),(tsxx ),(tsyy 时时,对对复复合合函函数数),(),(tsy

10、ytsxfz , 仍有公式仍有公式 yyzxxzzddd 这就是说，不论这就是说，不论x,yx,y是自变量还是中间变量，其微是自变量还是中间变量，其微分形式不变，称为一阶微分的形式不变性分形式不变，称为一阶微分的形式不变性. . 二、一阶全微分的形式不变性二、一阶全微分的形式不变性解解例例1010 求下列函数的偏导数和全微分求下列函数的偏导数和全微分. . xyyxze)( )1( e)(ddxyyxz )(dede)(yxyxxyxy )d(de)dd(e)(yxyxxyyxxyxy ,d)1(ed)1(e22yxyxxyxyxyxy 所以所以, )1(e2 yxyxzxy.)1(e2 xy

11、xyzxy解解例例1010 求下列函数的偏导数和全微分求下列函数的偏导数和全微分. . )2ln( )2(2yxxz 所以所以)2ln(dd2yxxz )2ln(dd)2ln(22yxxxyx yxyxxxyx2)2(dd)2ln(222 ,d22d22)2ln(2222yyxxxyxxyx ,22)2ln(222yxxyxxz .222yxxyz 三、隐函数微分法三、隐函数微分法一元隐函数存在定理一元隐函数存在定理 设设函函数数),(yxF满满足足: : 1 1) ) 0),(00 yxF； 2 2) ) 在在点点),(00yxP的的某某一一邻邻域域内内F具具有有连连续续偏偏导导数数yxFF

12、 ,； 3) 3) 0),(00 yxFy, , 则则在在点点),(00yxP的的某某一一邻邻域域内内存存在在惟惟一一的的隐隐函函数数)(xfy , ,满满足足0),( yxF( (当当然然)(00 xfy ) ), ,且且有有连连续续的的导导数数 .ddyxFFxy ( (证略证略) ) 例例1111Kepler方程方程 yxysin )10( . . ，取取yxyyxFsin),( ，0cos1 yFy 故故隐隐函函数数)(xfy 必必定定存存在在( (但但写写不不出出显显式式) ). . 推导推导: : ，0)(,),( xfxFyxF，0dd xyyFxF，0 yF.dd yxFFxy

13、 yxFFxy dd，0),( yxF等式两边对等式两边对x x求导，求导， 例例1212设设2esinxyyx , ,求求xydd. . 解法解法1 1所以所以,e2yFxx 设设2esin),(xyyyxFx , , ,2cosxyyFy .2cosedd2xyyyFFxyxyx 方程两边关于方程两边关于x x求导求导, ,得得 ，yxyyyyx 2ecos2解得解得.2cose2xyyyyx 例例1212设设2esinxyyx , ,求求xydd. . 解法解法2 2二元隐函数存在定理二元隐函数存在定理 设设函函数数),(zyxF满满足足: : 1 1) ) 0),(000 zyxF；

14、2 2) ) 在在点点),(000zyxP的的某某一一邻邻域域内内F具具有有连连续续偏偏导导数数zyxFFF ,； 3 3) ) 0),(000 zyxFz, , 则则在在点点),(000zyxP的的某某一一邻邻域域内内存存在在惟惟一一的的隐隐函函数数),(yxfz , , 满满足足0 ),(, yxfyxF( (当当然然),(000yxfz ) ), ,且且有有连连续续的的偏偏导导数数 ( (证略证略) ) ，zxFFxz .zyFFyz ),(zyxF 两两边边对对x求求偏偏导导, ,得得 0 xzFFzx, 而而0 zF zxFFxz . 两两边边对对y求求偏偏导导, ,得得 0 yzF

15、Fzy, , 而而0 zF zyFFyz . 0),(, yxfyxF, 推导推导: : ，0),( zyxF，zxFFxz .zyFFyz 例例1313解法解法1 1设设隐隐函函数数),(yxzz 由由方方程程yzxz2sin 确确定定， 求求 yzxz ,. . 设设yzxzzyxF2sin),( ， ,2xyzFx ,sin2zxzFy ,cos2yxzFz 所以所以，yxzxyzFFxzzx2cos2 .cos22yxzzxFFyzzy 方程两边关于方程两边关于x x 求偏导数求偏导数, , ，xzyxxyzxzz 22cos例例1313解法解法2 2设设隐隐函函数数),(yxzz 由

16、由方方程程yzxz2sin 确确定定， 求求 yzxz ,. . ;cos2 2yxzxyzxz 方程两边再关于方程两边再关于y y 求偏导数求偏导数, , ，yzyxzxyzz 22cos.cos 22yxzzxyz 方程两边求全微分方程两边求全微分, , ，zyxyzxxxyzzzddd2dcos22 例例1313解法解法3 3设设隐隐函函数数),(yxzz 由由方方程程yzxz2sin 确确定定， 求求 yzxz ,. . 解得解得 ,dcosdcos2d222yyxzzxxyxzxyzz 从而从而,cos2 2yxzxyzxz .cos22yxzzxyz 例例1414解解由由方方程程1

17、543 zxzyz确确定定隐隐函函数数),(yxzz ， 求求)0 , 0(xz , ,)0 , 0(yz . . 视视z为为yx,的的二二元元函函数数),(yxzz , , 方程两边关于方程两边关于x x 求偏导数求偏导数, , ，05434342 xzzxzzxzxzzy当当0 yx时时, ,1 z， 代入上式得代入上式得，051 xz;51 )0,0( xz例例1414解解由由方方程程1543 zxzyz确确定定隐隐函函数数),(yxzz ， 求求)0 , 0(xz , ,)0 , 0(yz . . 视视z为为yx,的的二二元元函函数数),(yxzz , , 方程两边关于方程两边关于y

18、y 求偏导数求偏导数, , ，05434323 yzzyzzxyzzyz将将0 yx, ,1 z代代入入， ，051 yz.51 )0,0( yz设设),(yxfz 由由方方程程0e yxzxxyz所所确确定定，求求zd。 例例1515解解对方程两边微分，对方程两边微分，解得解得0)ddd(ededdd xyzxxxyzyxzyxz.dde1e )1(1dyxxxzyxzyxz 设设04222 zzyx，求求 22xz . 例例1616视视z为为yx,的的二二元元函函数数),(yxzz , ,方方程程两两边边关关于于x求求偏偏导导, ,得得 zxxz 2, 解解0422 xzxzzx22xz 2)2()2(zxzxz 2)2(2)2(zzxxz .)2()2(322zxz 例例1717解解已知已知xyuu e，求，求yxu 2， 设设xyuzyxFu e),(， ,yFx ,xFy ,e1uuF 所以所以，uuxyFFxue1 ，u