高考数学玩转压轴题专题4.2与球相关的外接与内切问题

1、专题4.2与球相关的外接与内切问题如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.考查学生的空间想象能力以及化归能力 .研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，解决 这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.并且还要特别注意多面 体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作 用。当三棱锥有三条棱垂直或棱长相等时，可构造长方体或正方体。与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋

2、转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决.如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作.当球与多面体的各个面相切时，注意球心到各面的距离相等即球的半径，求球的半径时，可用球心与多面体的各顶点连接，球的半径为分成的小棱 锥的高，用体积来求球的半径。二.解题策略 类型一 构造法（补形法）例1,若三校推的三个俯醐两垂鱼口侧梭长均为布，则其外接球的表面积是.【答案】9解 据题意可知，读三棱带的三条倒棱两两垂育.，把这个三棱锥可以补 成一个棱长为了的正方体，于是正方体的外接球就是二棱锥的外接球.设其夕楼球的半径为五.则有（2及=传y+（生丫+（3）、9.二卡二/故其夕楼球的表面枳S

3、 = 4在4 = 9伍【指点迷津】当一三棱锥的三侧棱两两垂直时，可将三棱锥补成一个长方体，将问题转化为长方体（正方 体）来解。长方体的外接球即为该三棱锥的外接球。【例2】一个四面体的所有棱长都为 22 ,四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A. 3万 B. 4k C.D. Gjt【答案】A【解析】解析：由于所有棱长都相等，所以构造一个正方体.再寻找 棱长相等的四面体，如图2,四面体满足条件，即AB二AD=AE=BD=DE = BE = 正，由此可求得正方体的棱长为1,体对 角线为由，从而外接球的直径也为石，所以此球的表面积便可 求得，故选A.【指点迷津】当一四面体或三棱锥的棱长相等时，可

4、以构造正方体，在正方体中构造三棱锥或四面体，利 用三棱锥或四面体与正方体的外接球相同来解即可。【举一反三】1、如图所示，设 A, B, C, D为球。上四点，AB, AC, AD两两垂直，且 AB= AC=，3,若AD= R（R为球。的 半径），则球。的表面积为（）An B. 2 n C. 4 n D. 8 n【答案】D【解析】因为 AB AC AD两两垂直，所以以 AB AC AD为棱构建一个长方体，如图所示，则长方体的各 顶点均在球面上，AB= AG= ® 所以A上乖,AD= RDE 2R,则有F2+6=（2R）2,解得r= V2,所以球的表面积S= 4兀F2 = 8兀.故选D2

5、、如图所示，已知三棱锥 A BCD勺四个顶点 A, B, C, D都在球O的表面上，ACL平面BCD BCL CD且AG= 8 BG= 2, CD= <5,则球O的表面积为（）A. 12 兀 B.7tt C.9tt D.8tt【答案】A【解析】由Ad平面BCD Bd CD知三棱锥 A-BCM以补成以 AC BC CD为三条棱的长方体，设球 O的半 径为 R,则有（2 R） =aC+ bC+cD= 3+ 4+5=12,所以 S球=4 兀 R= 12 兀.故选 A。3、在三棱锥 A-BC加，AB= CD= 6, AC= BD= AD= BC= 5,则该三棱锥的外接球的表面积为 .【答案】43

6、兀【解析】依题意得，该三棱锥的三组对棱分别相等，因此可将该三棱锥补形成一个长方体，设该长方体的a2+ b2= 6：得 a2+b2+c2=43,即（2R2=a2长、宽、高分别为 a、b、c,且其外接球的半径为 R,则b2+c2=52,c2+a2=52,+ b2+c2=43,易知R即为该三棱锥的外接球的半径，所以该三棱锥的外接球的表面积为4兀口=43兀.类型二正棱锥与球的外接【例3】正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为A. 8 B . 16 C . 9 D4274【答案】A【解析】如图"正四棱推P 六5/富为其高，中总=4四=2国二/己=&quo

7、t;£设球心为。，连结 £01,退球半径为广.在火达W9E中，由勾股定理得0/ =旦三+。此二#=卜舒 十（4/押得"亍/gf 81二该球的表面积为4g4之=见 被选足M 4【指点迷津】求正棱锥外接球的表面积或体积，应先求其半径，在棱锥的高上取一点作为外接球的球心, 构造直角三角形，利用勾股定理求半径。【举一反三】1、在三锥P ABC中，PA= PB=PC=/3，侧棱PA与底面ABC所成的角为60° ,则该三棱锥外接球的体积为八4B. C. 4 D.【答案】D鼻，如图7所示，过尸点作底面北U的垂康垂足为6 设丹为外接球的球心.隹播达斤49因ZA4O =

8、60T,"=/r也/。=立7 P0 = -,又A AHO为直偌三角形、22ffl 7AH = PH = r,A AH2 = AO1 +羽a / =（避），+（N-r尸，二,= L，： = "xl3 =-?r 22332、球。的球面上有四点S,A,B,C,其中Q A,B,C四点共面， ABC是边长为2的正三角形，平面 SAB，平面ABC则锥S ABC的体积的最大值为（）A平B.小C. 2小D. 4【答案】A【解析】（1）由于平面SABL平面ABC所以点S在平面ABC±的射影H落在AB上，根据球的对称性可知，当S在“最高点: 即 H为AB的中点时，SH最大，此时棱锥

9、S-ABC勺体积最大.因为 ABC1边长为2的正三角形，所以球的半径 r = OC= |cH=|x x 2=马£ 3323人 人以13在 RtASHO, OH= -OC=23所以 SH= 4 乎 2_ 3 = 1 ,故所求体积的最大值为 1X乎* 22X 1 =号. 3433、把一个皮球放入如图 10所示的由8根长均为20 cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点，则皮球的半径为（）A. 10,3cm B. 10cm C.10.2cm D. 30cm【答案】B解,加图11所示，由题意球心在AF上，球心为5过0作旺的垂线ON垂足为此。埠R绷二R,因为各个棱酢为置

10、I，所以 WAJI=10, EP=20, BNl=lO, AB=1CN,设/E用二 口，在员Abpm中，且#=瓦，十尸所工所以产豺=10j5 ,在处Apai中，尸跳二月取？十W尸，所以= 1 .在 RA ABP 中sin a, =1 0,在 &£A ONP 中sin "= 2,所以BP 202OP OP巴=1,所以在期中，dMJj。一川l巴班以 炉=。班-总式）2+10。，解得，R = 10或30 （舍），所以，以=10小阳故选艮类型三直棱柱的外接球【例4】直三棱柱 ABC AB1cl的各顶点都在同一球面上，若 AB AC AA1 2, BAC 120 , 则此球的

11、表面积等于 。答案：2M【解析】在 ABC中AB AC 2, BAC 120 ,可彳导BC 23 ,由正弦定理，可得 ABC外接圆半径r=2,设此圆圆心为 0 ,球心为0,在RT 0B0中，易得球半径R J5 ,故此球的表面积为 4 R2 20 .【指点迷津】直棱柱的外接球的球心在上、下底面的外接圆的圆心的连线上，确定球心，用球心、一底面 的外接圆的圆心，一顶点构成一个直角三角形，用勾股定理得关于外接球半径的关系式，可球的半径。【举一反三】1、已知直三棱柱 ABCAiBiCi的各顶点都在同一球面上，若AB= AC= AA= 2, / BAC= 90 ° ,则该球的体积等【答案】砧兀【

12、解析】设该球的球心为 O, ABC所在圆面的圆心为 0,则 OOL平面 ABCS. OO= 1.在 ABC4 因为 AB= AC= 2, / BAC= 90 ,所以ABC外接圆的半径 ri i ， = /BC= 2<AB+ AC =J2,所以该球的半径R=2、已知三棱柱ABC2+ i2=V3,所以该球的体积V= % R= 43 兀.3AiBiCi 的6个顶点都在球O的球面上，若AB3, AC 4, AB AC, AAi i2,则球O的半径为A.3-i72B. 2、i0C.D.3. i0由球心作面5ABC的垂线，则垂足为 BC中点M=计算AM支,2由垂径定理，OM=6所以半径R=J(|)2

13、62i3、爪一,选 C.23、正四棱柱ABCD AiBGDi的各顶点都在半径为 R的球面上，则正四棱柱的侧面积有最值,样 如图品 截面图为长方形月和耳外接圆.球心为耳纥的中点a 则K = Q4,设正四棱柱的侧棱长为8,底面边长为口，则AC =七 AE =立为OE= 士，炉=(3 + 222图4 = 2, + 则正四棱柱的则面积:S 二 Aab 二衣 2+ 2配）= 4虚炉，故侧面积有最大值，为46炉，当且仅当。二北8时等号成立.三.强化训练1、矩形ABCD中，AB 4, BC 3,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角 B AC D ,则四面体 ABCD的外接球的体积是A. 125 B.12【答

14、案】 C125 C.91256D.1253解二由题意分析可知，四面体的外接球的球心蒂在C的卬点,此时满足3=0Z）=0S = 8C,_5 . 4 _3 125.1.R 二一，/-7TR JF. 22362、棱长为1的正方体 ABCD AB1C1D1的8个顶点都在球 O的表面上，E, F分别是棱 AA , DD1的中点，则直线EF被王O截得的线段长为（）A. g B . 1 C. 1 亨 D. 72【答案】D解:由题意可知，球为正方体的外接球.平面 就面所得扇面的半径R = 四1 = t面必,直3尸被球O截得的线思为球的截面国的直径2&2 23、如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器

15、，容器高8cm,将一个球放在容器口 ，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度，则球的体积为A. 50 cm33C.匹加d,啊Lem?33【解析】设正方体上底面所在平面截球得小圆M则圆心M为正方体上底面正方形的中心.如图.设球的半径为 R,根据题意得球心到上底面的距离等于(R- 2) cm,而圆M的半彳仝为4,由球的截面圆性质,得 R2= (R 2) 2+42,.故选A.解出R=5,所以根据球的体积公式，该球的体积V=则这个几何体外接球的表面积为(.32 兀 D4视图【解析】 该几何体为一个四棱锥，其外接球的球心为底面正方形的中心，所以半径为2/2,表面积为4兀

16、X (242= 32兀.故选Co5、已知四棱锥 S-ABCD勺所有顶点在同一球面上，底面ABCM正方形且球心 O在此平面内，当四棱锥的体积取得最大值时,其表面积等于16+16室,则球O的体积等于()A.4啦兀16啦兀32 J2兀 64也兀一°C.D.B.【解析】由题意，当此四犊链的体积取得最大值时，四棱锥为正四棱锥,设球。的半径为尺，则窗,50=凡.二瑟=限，则有何尸+应R，+#=16+1&氏 解得，球。的体三棱城加C外接球的表面积是正三棱椎补形为正方体.球的半役6、将半径都为1的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（）A. 3 2 6 B. 2

17、+3 C. 4+2 D. 4 3263 333【答案】C解工"容器四面体"中密这四个小球,以四个小球为球心为顶点构成了一个愫长为2的“球心正四面体这个四面体的高是“单位正四面钵刀高（理）的，倍甲为辿.“球心正四面体”的底面到“容器正四33面体用的地面为小球半径L而“球心正四面体制顶点至11厘容器正四面体净的顶点的距离为3月或半径的3倍），于是“容器正四面体*的高为®+ 3 + 1,选择C.应个？、球半径的3倍R是这样想的:做一个小 3球的外切正四面体，这个小球球心与外切正四面体的中心重合，而正四面体的中心到顶点的距离是中心到地面距离的3倍。7、在正三棱锥 S AB

18、C中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且 AM MN ,若侧棱SA 2J3,则正三棱车B S ABC外接球的表面积是。【答案】36W：如图6,正三棱锥对接相互垂直.即je_L阿，又SB；I MN- MN L以工又MN工儿区二AW_L平面于是S8 _L平面&SB J.温貂_LSG从而&4 _LSC.此时正三桂链S-M3。的三条侧棱互相垂亘并且相等，故符R=避的R = 3r. S = 4寿衣=36% 2O的球面上，SC是王O的直径.若平面 SCA8、【2017课标1,文16】已知三棱锥 S-ABC勺所有顶点都在球，平面SCB SA=AC SB=BC三B S-ABC的体积为9,则球O

19、的表面积为 【答案】36【解析】试题分析:取SC的中点5,连接Q4QE因为鼠f=WC=劭=8。所以以因为平面SAC 平面SBC所以OA 平面SBC设OA r11 1VA SBC S SBC 0A 2r r 33 2所以lr3 9 r 3,所以球的表面积为 4 r2 36 3SAB9、球。的球面上有四点 S, A, B, C,其中O, A, B, C四点共面， ABC是边长为2的正三角形，平面，平面ABC则锥S ABC的体积的最大值为（3A r B./3C. 2V3D. 4【答案】AK解析】8由于平面皿，平面相。所以点S在平面仪腔上的射影丹落在地匕根据球的对称性可 知1当5在“最高点”,即H为"的中点时'最大,此时棱锥的体积最大.因为&d£C是边长为2的正三角形,所以球的半径片。华融=青乂噂乂2=竿.在R1ASH0中,0五二仙二坐， 的浙7 （鸣2-南1 =1, 故所求俾积的最大值为永孚X中又1=卓10、矩形 ABCD 中，AB4