高考数学压轴专题2020-2021备战高考《平面向量》难题汇编

1、数学平面向量试卷含答案一、选择题uur uum1.已知VABC是边长为1的等边三角形，若对任意实数 k,不等式|kAB tBC | 1恒成立，则实数t的取值范围是().3、.32.32.3A, ,B.,3333C.2x3D.J3 3【答案】B【解析】【分析】根据向量的数量积运算，将目标式转化为关于k的二次不等式恒成立的问题，由n 0,即可求得结果.【详解】uuu uuuri因为VABC是边长为1的等边三角形，所以 AB BC cos120 ,2uuu uur_ uur _ uuu umr9 uuur 9由 |kAB tBC | 1 两边平方得 k (AB) 2ktAB BC t (BC) 1,

2、即 k2 kt t2 1 0 ,构造函数 f (k) k2 tk t2 1,由题意，t2 4 t2 10 ,解得t2或t32、33故选：B.本题考查向量数量积的运算，以及二次不等式恒成立问题求参数范围的问题，属综合中档 题.uuu uuu2.已知O是平面上一定点，满足 OP 0Auuu/ AB(-uuu| AB | cos BlutAC 、-uu),| AC | cosC0,),则p的轨迹一定通过 ABC的()A.外心【答案】BB.垂心C.重心D.内心【解析】【分析】可先根据数量积为零得出uuu.BC与uuuuuurABAC一. (-uuu -uur)垂直，可得点 P在 BC的图线| AB |

3、 cos B | AC | cosC上，从而得到结论.【详解】uuu uuri Q OP OAuuuuur(-uuuABuuuAC| AB|cosB| AC |cosC),unr uuuOP OAuuu/ AB(-uuu| AB |cosBiumAC 、-uuu),| AC |cosCuuuAPuurABcosB-uuu| AB | cos Buuu uur BA BC uiu uuur BA BCirurAC 、-uu),| AC | cosCcosCuur uuu CA CB ULUi iUUIU ca|cbunrBCuuuAB(-uuu| AB | cos BuurAC、-uuu)| A

4、C |cosCuurBCumBC0,uuuuuu- ABBC 与("r| AB | cosBuurAC-uu)垂直,| AC | cosC3.如图，在VABC中，ADuru uur即 AP BC，点P在BC的高线上，即 P的轨迹过 ABC的垂心.故选：B.本题重点考查平面向量在几何图形中的应用，熟练掌握平面向量的加减运算法则及其几何意义是解题的关键，考查逻辑思维能力和转化能力，属于常考题uruv lUuv i UUUV / iuurv uuv AB , BC V3bD，ad 1，则 AC ADA. 273B. -C.【答案】Duuuv BCuuv -UULVAB ,3BD ,【解析】

5、uuuv uuvAC ABuuuvACuuv ADuuv -ULUV ULUV (AB .3BD) ADuuvABuuuvAD-ULUV UUVV3BD AD ,又ABuuu uuuAB AD 0UUUV UUUVi-UUUV UUUV uULUVULUVAC ADV3BD ADV3BDADcos ADBUUUVBDcos ADBULUV AD4.已知菱形ABCD的边长为2,A. 4B. 6uuv uuvABC 60 ,则 BD CD （）C. 2 3D. 4.3【答案】B【解析】【分析】根据菱形中的边角关系，利用余弦定理和数量积公式，即可求出结果.【详解】如图所示，C120 , ABC 60

6、 , 2 _2 _2 _ _ _cos120 12 ,BD2技且 BDC 30 ,uuurBDuuuruuruuur uur uuur_CD | BD | |CD | cos30 2.36,BD 2 2 2 2 2故选B.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积和余弦定理的应用问题，属于基础题5.在平面直角坐标系中，A 1, 2 ,B a, 1 , C b,0 , a,bR .当A, B,C三点共线时,uurABuuurBC的最小值是()A. 0B. 1D. 2根据向量共线的坐标表示可求得b 12a ,根据数量积的坐标运算可知所求数量积为1,由二次函数性质可得结果由题意得:uur AB a1,1

7、uuui ,BCQ A,B,C三点共线,uuuABuur 2BC a 1uuu1,即 ABb a ,即 b 1 2a, uurBC的最小值为1.uurBC a 1,1 ,故选：B.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，涉及到向量共线的坐标表示和数量积的坐标运算形式，属 于基础题.6.在 ABC 中，AB 5,BC6,AC 7,AC所在的直线于点uuurAF在向量点E为BC的中点，过点 Buu方向上的投影为（）E作EF BC交A. 23B.-2C. 1D.uuir 由AFuuirAEuur EF1 uuu (AB2uurAC)uuirEF ,uuurEF BC ,得 AFuuurBC12 ,然后套

8、用公式iuuur向重af在向重uuu一BC万向上的投影uur uurAF BC厂口uur ,即可得到本题答案|BC|uuur因为点E为BC的中点，所以 AFuuu uuir 1 uur AE EF -(AB 2uurAC)uuirEF ,又因为EF BC ,uuur所以AFuuurBC1 uuu uuir uuir-(AB AC) BC1 uuir (AB2uuLrAC)uuur (ACuuuAB)1 uuur 2 uuu2AC AB 12 ,2所以向量uuuuuur , 一 uuu 、 , , AF在向重BC万向上的投影为uuirAFuurBCuuur|BC|故选：A.【点睛】r7.已知a4

9、,3本题主要考查向量的综合应用问题，其中涉及平面向量的线性运算及平面向量的数量积, 主要考查学生的转化求解能力.一 一 ，一r，r、，,1，5, 12则向量a在b方向上的投影为16A. 一5【答案】【解析】【分析】B.16516C. 1316 D13先计算出16,再求出b，代入向量a在b方向上的投影r r a b 得r arbr4,3 , b 5,4 5 3 1216 ，则向量r , ra在b万向上的投影为1613，故选：1【点睛】C.本题考查平面向量的数量积投影的知识点.若a,b的夹角为，向量a在b方向上的投影为r a cos8.如图,LLIIV uuv iuuv 山廿山-口AB, CD是半

10、径为1的圆O的两条直径， AE 3EO，则EC?ED的值是（）B. 16A. 一5【答案】B【解析】【分析】1D.C.14根据向量表示化简数量积，即得结果uuv uuv EC?EDuuuvEOuuu/uuu/ uuivOC ? EO ODuuu/ uuu/uiuvEO OC ? EOuuuv OCuuuv2EOuuu/2OC12151115 ,选B.416【点睛】本题考查向量数量积，考查基本分析求解能力，属基础题9.已知 VABC 中，AB 2,BC 3, ABC 60 ,BD 2DC,AE EC ,uuir uuu 贝U AD BE【详解】【答案】C【解析】D.【分析】uuu uum以BA,

11、 BC为基底,uuur uuu将AD,BE用基底表示，根据向量数量积的运算律，即可求解uuur 2 uuur uuur uurBD 2DC, BD - BC, AD BD3uuu 2 uur uur BA BC BA3，AEuuu i uuur i uuuEC, BE -BC BA,22uur uuuAD BE2 uur (产uuu i uurBA) (-BC1 uur2BA)1 uuur2 i urnr uuu i uur2-BC-BC BA -BA362112 36故选:C.本题考查向量的线性运算以及向量的基本定理，考查向量数量积运算，属于中档题uuv10.如图，已知OAuuvOB 1 ,

12、uuu/OC22 , tan aobuuv uuv uu/ imOC mOA nOB，则一等于()【答案】A【解析】C.D.【分析】依题意建立直角坐标系，卞据已知角，可得点 R C的坐标, 的方程，求解即可.利用向量相等建立关于m、OA垂直的直线为y轴,建立直角坐标系如图所示:【详解】以OA所在的直线为x轴，过O作与uuu uuu 因为OA OB1,且 tan AOBcos AOB-,sin AOB 5,、, 3 4A (1, 0) , B (5 5AOC9,则 9=AOB BOC ,4 1 tan 83=7,1 43又如图点C 在/AOB 内，.cos 8=12, sin10e=210UUL

13、V OC1. C (一，一5 5UUUTOCuuu mOALur nOB， ( m，,7 ) = (m,0)5+ ( - n,- n ) =(m 5 535n，4 、-n) 51即，5故选A.【点睛】 本题考查了向量的坐标运算，建立直角坐标系，利用坐标解决问题是常用的处理向量运算 的方法，涉及到三角函数的求值，属于中档题.rrr , r11.已知向量 m (1,cos 圾 n (sin , 2),且 m,n,则 sin2 e+6cos2。的值为(1A.一2【答案】B【解析】【分析】B. 2C. 2 2D. - 2根据m，n可得tan。，而sin2什6cos2。22sin cos 6cossin

14、2 cos,分子分母同除以cos2。,代入tan。可得答案.【详解】r因为向重m （1, cos ）, it rrn (sin ,0-2),所以m n sin 因为rn X n , 所以 sin 2cos2cos0,即 tan 9=2,所以 sin2 06cos2 o2sincos6cos22tan. 22sin costan212.故选：B.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积与三角恒等变换，还考查运算求解的能力,属于中档题12.在边长为1的等边三角形 ABC中，点P是边AB上一点，且.BP 2PA,则uuv uuvCP CB1A.一3【答案】C【解析】2C.一3D. 1uur uuu uu

15、v利用向量的加减法及数乘运算用CA,CB表示cup,再利用数量积的定义得解.【详解】依据已知作出图形如下:uuv uuv uuvCP CA APuivCAuuvCAuuvCA2 uuv 1 uuv-CA CB.uuv uuv 所以CP CB2 uuv-CA31 uuv 一CB 3uuv CB2 uuv -CA 3uuvCB1 uuv2 -CB 33属于【详解】根据题意作图:AF交椭圆Cy。2 一1/21 1 cos 13 3 33故选C【点睛】本题主要考查了向量的加减法及数乘运算，还考查了数量积的定义，考查转化能力, 中档题.2 X 213.已知椭圆C： 一 y 1的右焦点为F,直线l： X

16、2,点A l , 2一 一什 uwuuv 广1UUv于点 B,右 fa 3FB，则 AF =()A. J2B. 2C. 73D. 3【答案】A【解析】 【分析】、a cuuvuuv ,口4设点 A 2,n, B Xo,yo,易知 F(1,0),根据 FA3FB，得 x0-,3ULUV,B在椭圆上，求得 n=1,进而可求得 AF| v2y。X22将xo, yo代入 y 1 ,222-141o得一 一一 n1 .解得n 1 ,2 33I uuv127, L所以 |AF1 1 2 n "7 亚.故选A【点睛】本题考查了椭圆的简单性质，考查了向量的模的求法，考查了向量在解析几何中的应用; 正

17、确表达出各点的坐标是解答本题的关键.14.如图，在圆0uuu uuu 。中，若弦AB= 3,弦AC= 5,则AO BC的值是A. 8B. - 1C. 1D. 8【答案】D【解析】【分析】【详解】uuuvuuuvuuvuuvuuv uuuv1 uuvuuvuuv uuv因为 AOACCOABBO,所以 AO-(ACBOAB CO),21 uuv uuv uuuv uuuv -(AC AB BO CO), 2,uuuv uuuv uuv 而 BC AC ABuuuv uuv bw uuv BO CO，所以 BCuuiv uuvAO BC1 uuuvuuvuuuvuuuv unvuuvuuuv-(A

18、CABCOBO)(ACABBO4uuuvCO)1 uuv一 (AC 4uuv uuu/uuvuuivuuv uuuvuuuvunvuuuv uuuvAB)(ACAB)(ACAB)(BOCO)(COBO)(ACuuvAB)uuuv uuuv uuv uuv(CO BO)(BO CO)1 uuv 1(AC| 4uuuv uuuv CO ACuuuv 2 uuiv uuuv AB | AC BOuuuv uuv uuv uuuvAC CO AB BOuuuv uuuvAB COuuv uuv uuuv uuv uuuv uuuvCO AB BO AC BO ABuuv 2BO |2uuuv 2 CO

19、| )uuv14(AC1uuuv 21 uuiv uuuv uuv uuvAB |2) (AC BO AB CO) 21 uuu/ 2 uuv 24(AC| AB| )1 uuv uuuv uuu/ uuuv uuuv2(ABBC) BO AB CO1 uuiv 24(ac12uuuv 2AB |2)1 uuv (AB2uuuvBCuuuv uuvBC BO)1 uuv 24(AC|uuuv 2AB| )1 uuuvAO 2uuv BCuuiv uuuv 所以AO BC1 uuu/ 22(ACIuuuv 2AB| )8,故选15.如图，圆O是等边三角形 ABC的外接圆,占八、uuurD为劣弧A

20、C的中点，则OD2 uuu 1 uurA. -BA -AC33【答案】AB.2 uur i uuur-BA -ACC.1 uuu 2 uuur-BA -AC4 uuu 2 uur D. -BA -AC连接BO，易知B ,【详解】O,D三点共线，设OD与AC的交点为E ,列出相应式子得出结论解：连接BO易知O,D三点共线,OD与AC的交点为uuur 则ODuurBO2 uuu BE3UUUuurBA BCuuu uuu uuurBA BA AC2 uurBA 31 uuur -AC.3故选：A.DB【点睛】本题考查向量的表示方法,16.已知A, B是圆O:结合几何特点，考查分析能力,属于中档题2

21、y 4上的两个动点,uum|AB|2,uuurOC1 uuu 2 uuu-OA - OB ,若33M是线段AB的中点，则uuur uuuu ,OC OM的值为()B. 2.3C. 2D. 3，一,入 uur uur .、. uuuruur umr 一判断出 OAB是等边三角形，以 OA,OB为基底表示出OM ,由此求得0c OM的值.【详解】圆O圆心为uuu0,0 ,半径为2 ,而| AB | 2,所以 OAB是等边三角形.由于M是线段AB的中点,uuuu 1 uur所以OM -OA21 uuir-OB .所以 2uuurOCuuuuOM1 uurOA 32 uuu -OB3uuu1OA1 u

22、uu OB21 UUU2OA 61 uur uuu 1 uuu 2OA OB -OBo2 cos603.323本小题主要考查用基底表示向量，考查向量的数量积运算, 法，属于中档题.考查数形结合的数学思想方uuu17.若。为 ABC所在平面内任一点，且满足 （OB 则ABC的形状为（）uur uuirOC) (OCumOAuur uurCA AB) 0，A.直角三角形【答案】A【解析】B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形【详解】【分析】利用平面向量加法和减法的三角形法则以及向量数量积的性质即可进行判断uuruuuruuuruururnuuuuuuuuuruuuuuu uuu由 OBOC

23、OCOACAAB0,即 CBACCBCB AB0 ,所以，CB AB,即B ,故ABC为直角三角形.2故选：A.【点睛】本题主要考查了平面向量加法和减法的三角形法则以及向量数量积的性质的简单应用，属 于基础题.2218.已知A, B是圆O：x y 16的两个动点,uuuv 5 uuv 2 uuvAB 4,OC -OA OB ,若 M 分33别是线段AB的中点，则品指（）A. 8 4石【答案】C【解析】 【分析】【详解】uuuur i uuur 由题意OM-OA2uuuv uuuuv5 uuvOC OM-OA3uuu 为 4, AB =B. 8 4.31 uuu-OB ,则22 uuuvi uuvi uuur-OB-OA-OB322uuu uuu4,则OAOB两向量的夹角为C. 12D. 45 uur2 1 uuur2-OA -OB 631 uur uuur-OA OB ,又圆的半径2uur uuruuv2一则