高二数学数列前n项和求法习题

1、学科教师辅导讲义年级：科目：数学课时数：课 题数列前N项和求法总结教学目的熟悉和掌握常用的数列求和方法教学内容【典型例题分析】一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法1、等差数列求和公式：&)na也_均22nai(q 1)2、等比数列求和公式：Snai(1 q )ai anq(1 q1 qqcn ,1,/、cn , 21,八,c/、3、Snk-n(n1)4、Snkn(n1)(2n 1)k 12k 16105、Snk3 -n(n 1)2k 12.123n例1、 已知log 3 x ，求x x xx的刖n项和.log 2 3一 一一 一S。例2、 设

2、Sn= 1+2+3+n, nCN*f(n)的最大值.(n 32)Sn 1二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列an bn的前n项和，其中 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列 .例 3、求和：Sn 1 3x 5x2 7x3(2n 1)xn 1 变式练习：已知a 0,a 1,数列an是首项为a,公比也为a的等比数列，令bnanlgan(nN ),求数列bn的前n项和Sn。三、倒序相加法求和这是推导等差数列的前 n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列(反序)，再把它与原数列相加, 就可以得到n个an).例 4、求 sin21sin

3、2 2 sin2 3 sin2 88 sin2 89 的值变式练习：已知lg(xy尸a ,求S,其中Slgxn lg(xn 1y) lg(xn 2y2)lg yn四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开， 可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和，再将其合并即可 .111例5、求数列的刖n项和：1 1, 4, 7,力-彳 3n 2 ,aaan变式练习1:求数列n(n+1)(2n+1)的前n项和.(备注：Snnk2k 11-n(n 1)(2n 1), Sn 6n312、k-n(n 1)k 12变式练习2:Sn=-1+3-5+7-+(-1)n(2n-1)

4、五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合,使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项公式分解（裂项）如:(1) anf(n 1) f(n)(2)sinlcosn cos(n 1)tan(n 1) tan n（3）an1n(n 1)(4) an(2n)2(2n 1)(2n 1)112 (2n 112n（5）an1n(n 1)(n 2)112 n(n 1)1(n 1)( n一2)(6) ann 21n(n 1) 2n2(n 1) n 1n(n 1)2n 2n 1 (n 1)2n,Sn 1 (n 1)2一 111例6、 求数列 =

5、,=一=，t , 的刖n项和.1.2,23, , -n 、n 1,例7、在数列an中，ann 一一 2,又bn ,求数歹U bn的刖n项的和.n 1an an 1例8、求证:1cos0 cos11cos1 cos21cos12cos88 cos89sin 1、一 一.1111，- 一变式练习：求数列,，,的刖 n项和S1 32 43 5 n(n 2)六、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求 Sn.例 9、求 cos1° + cos2° + cos3° + + cos178&#

6、176; + cos179° 的值.例 10、数列an： a11, a2 3,a32,an 2 an 1 an,求 S2010.变式练习：在各项均为正数的等比数列中，若a5a69,求 10g 3 a1log 3 a2log 3 a10 的值.七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.例 11、求 1 11 111111 1 之和.n个1例12、已知数列an: an(n 1)(n 3) n(n11)(anan 1)的值.【课堂练习】一、，1.*、 1、已知数列an的通项公式为an -

7、n 3(n N )，设Sn为%的前n项和，则S30；22、已知无穷等比数列an的前n项和Sn满足Sn 1 %,则该数列所有项的和为 ；3、数列an中，a1=-60, an+1=an+3,则这个数列前30项绝对值的和是()A、495 B、765C、3105 D、1964、等差数列an的前n项和为Sx若a21自 3,则S4=()A. 12 B. 10 C. 8 D. 65、已知an是等差数列，aa24,a?a828,则该数列前10项和6。等于()6、已知数列 an中的相邻两项a2k 1, a2k是关于x的方程x2 (3k 2k )x 3kg2k 0的两个根，且a2k i < a2k (k1,

8、2,3,L ).(I)求 a1，a2, a5, a7;(II)求数列an的前2n项和S2n。*7、在数列 an 中，a1 2, ani 4an 3n 1 , n N(i)证明数列 an n是等比数列；(n)求数列 an的前n项和Sn ；(出)证明不等式 Sn 104sn,对任意n N皆成立。、填空题（每题1、4,32、3、经过点4, 34、已知直线 a5、2若直线2 m6、7、8、9、绩能教育高二第一学期期末测试卷（时间90分钟。满分110分）4分，共40分）,则与a同方向的单位向量是b 1,k且和向量1,2垂直的直线方程是2aa2 1 x a 1 y4 m 1的倾斜角是在边长为1的正方形AB

9、CD中，若AB a , BC b ,已知向量a 3,4与b 5, 12 ,则a与b的夹角为15AC0平行，则实数ac, a b 2c的值给出30个数：1、2、4、7、，其规律是：第一个数是 1,第二个数比第一个数大 7, 第三个数比第二个数大 2,第四个数比第三个数大 3,以此类推，要 计算这30个数的和，现给出了该问题算法的程序框图，请在判断框（1）处和执行框（2）处，填上合适的词句，使之能完成该问题算法功能。则（1）(2)(2 3 -2)=10、已知I*-PIT>He 3e2, b4g2e2 , c 3e 1金，若以 b、组基，则a可用b、c表示为二.选择题（每题4分，共20分）11

10、、行列式(A)18中的第二行第3列的代数余子式为(B) 612、直线x 2 by （b<0）的倾斜角为（(D)1(A) arctan - b.1arctan-b(B)arctanl barctanl b13、下列命题中正确的是()¥ FI-(A) a?b 0 a 0 或 b 02(C) a b a?b a?b14、已知a、b均为单位向量它们的夹角为(B) a/b a在b上的投影为a(D) a?c b?c a b60°,那么 a 3b ()(A) <7(B) <10(C) <13(D) 415、点M是ABC所在平面内一点，且AM(A)(B)31 丁-A

11、B- AC,则 S abm - S abc44(C) 1(D)-24三、解答题(每题 10分，共50分)16.用行列式解关于 x、y的方程组3x y 9 0(1)x 2y 4 0(2)解方程，并对解的情况进行讨论2ax 2a 3 y a 2a 1x ay 2a17、已知 a 1,2 , b 3,2 , (1)求：当k为何值时,ka b与a 3b垂直;(2)求：当k为何值时，ka b与a3b平行，并判断平行时它们是同向还是反向?18. 4ABC中，已知 A（5,-2）、B（7,3）,且AC边的中点 M在y轴上，BC边的中点 N在x 轴上。求：（1）边AB所在的直线方程的一般式；（2）顶点C的坐标

12、。19、已知向量 a x 1, Jxy 1 , b x 1,7xy 1 , （xy>l），且 a b,1（1）求y f x的解析式； （2）当x 0,一，求y的最小值。4_23n、20、在直角坐标平面中，已知P1（1,2）, P2（2,2 ）尺3,2 ），,Pn（n,2 ）,其中n为正整数,对平面上任一点Ao，记A1为Ao关于点P1的对称点，A2为A关于点P2的对称点，An为An 1关于点Pn的对称点。（1）求向量AA2的坐标；（2）对任意偶数n,用n表示向量Ao An的坐标。1例1.解析：由log3x log 2 3log 3 xlog3 2由等比数列求和公式得Snxx2x3xn用常用

13、公式）x(1xn）2（11?一 一，一1 ,例2.解析：由等差数列求和公式得Sn 1n（n21),Sn11一(n 1)(n 2) (利2用常用公式）Sn f(n) n(n 32)Sn 1n2n2 34n 64164n 34 n(n 8n)2 50150一 81当 vn k,即 n=8 时，f (n)max 一850例3.解析：由题可知， （2nn 1 一一. 一一 1）x的通项是等差数列2n 1的通项与等比数列n 1、一一、x 的通项之积设 xSn 1x 3x2 5x37x4(2n 1)xn（设制错位）得(1 x)Sn1 2x2x2 2x3 2x42xn 1 (2n 1)xn（错位相减）再利用

14、等比数列的求和公式得:(1一 .一 1 xnx)Sn 1 2x 1- (2n 1)xnSn(2n 1)xn 1 (2n 1)xn (1 x) (1 x)2练习：解析：Q an an, bn n an lg a ,Sn(a2a23a3Lnan)lg aaSn(a22a33a4Lnan 1)lg a-得：(1 a)Sn (a a2annan 1)lg a ,Snalg a2 1 (1 n(1 a)na)a例 4.解析：设 S sin21 sin2 2 sin2 32 2sin 88 sin 89将式右边反序得_2 _2 _2 -2_2S sin 89 sin 88 sin 3 sin 2 sin

15、1(倒序)22.又因为 sin x cos(90 x), sin x cos x 1+(倒序相加)2S (sin 21cos21 ) (sin2 2cos2 2 )得22(sin 89 cos 89 ) = 89S= 44.5练习：解析：将和式S中各项反序排列，得S lgyn lg(xn1y) lg(xn2y2)lgxn将此和式与原和式两边对应相加，得2s=lg(xy)n+lg(xy)n+ ，+lg(xy)n(n+1)项 =n(n+1)lg(xy): lg(xy)=a1S=2n(n+1)a11例 5.解析：设 Sn(1 1) ( 4) ( 7)a a将其每一项拆开再重新组合得11Sn (12a

16、 a(分组)1F) (1 4 7 a(4r 3n 2) a3n 2)当2= 1时,Sn n=22组求和）当a 1时，Sn(3n 1)n a(3n 1)n练习1：解析：设akk(k1)(2k1) 2k3 3k2 knSnk(kk 11)(2k 1)=n(2k3k 13k2k)将其每一项拆开再重新组合得Snk31k2（分组）=2(13 233(1222n2)(1n)2/n (n21)2n(n 1)(2n 1)n(n21)2)=2X=n= Sn=-n （n为奇数）（分组求和）2n(n 1) (n2练习2.解法：按n为奇偶数进行分组，连续两项为一组。 当n为奇数时：Sn=（-1+3）+（-5+7）+（

17、-9+11）+ +（-2n+1）n 1=2X +（-2n+1）=-n当n为偶数时：Sn=(-1+3)+(-5+7)+(-9+11)+ +(-2n+3)+(2n+1) nn （n为偶数）an6.（裂项）Sn1.3（裂项求和）=(，2.1) (,.3 ,2)(、n（裂项）例7.（裂项求和）解析:anbn8(- n数列bn的前n项和Sn8(111-)(221 1(3 4)(1n)= 8(1例8.解析：设S春)18nn 11（裂项）（裂项求和）cos0 cos1cos1 cos 2cos88 cos89sin 1cosn cos(n 1)tan(n1)tan ncos0 cos1cos1 cos2co

18、s88 cos891 ，,cc(tan 1tan0 ) (tan 2tan1 ) (tan 3 sin1tan 2 ) tan 89tan88 1, ccc、(tan 89tan 0 ) sin 1焉 cOt1cos1. 2 dsin 1原等式成立一 -一 11 1练习：解析：1 = 1(1n(n 2) 2111Sn=(1)(2324)六）1”11=(1 22n 142n 22n 4例 9.解析：设 Sn= cosl ° + cos2° + cos3° + + cos178° + cos179°cosn cos(180 n )(找特殊性质项)S

19、n= (cos1° + cos179° ) +( cos2° + cos178° ) + (cos3° + cos177° ) + + (cos89° + cos91 ° ) + cos90°(合并求和)=0例 10.解：设 S201o= a1a2 a3a2010a71, a23, a32, an 2an 1 an 可得a41, a53, a61, a83, a92, a10a6k 11, a6k 23, a6k 3a6k 1a6k 22,1, a112, a6k 4a6k 3 a6k 4a6k 53,

20、a122,1 , a6k 53, a6k 6a6k 6（找特殊性质项）S2002a1 a2 a3a2002（合并求和）(a1 a2 a3a6) (a7 a8a12 )(a6k1 a6k 2a6k 6)(a1993a1994a1998)(a1999a2000 a2001a2002a2003(a2005a2006a 2007a2008a2009 a2010 )0a2004练习：解析：设 Sn 10g 3 allog3 a210g 3al0由等比数列的性质 m n pq amanapaq(找特殊性质项)和对数的运算性质10g a M log a N log a M N 得Sn(log3a1 log

21、3 a10) (log 3 a2 10g 3 a9) (log 3a5 10g 3 a6 )（合并求和）=(log 3 ai aio) (log 3 a2 a9)=log 3 9log3 9log 3 9=1011.（找通项及特征） 1 11 111111n个11 1(1091)（分组求和）112=-(101 102910310n)i(1(log 3 a5 a6)111k个1999k个1-(10k 91)1 10(10n 1)910=(10n 181109n)例 12.解：(n1)(anan（找通项及特征）（设制分组）（裂项）(n 1)(ann 1a n 1)4nM裂项求和）1(3课堂练习:1、 2852、 13、133B 4、B