(完整)九年级数学锐角三角函数(带答案)(2)

1、锐角三角函数与解直角三角形【考纲要求】1. 理解锐角三角函数的定义、性质及应用，特殊角三角函数值的求法，运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题 . 题型有选择题、填空题、解答题，多以中、低档题出现；2. 命题的热点为根据题中给出的信息构建图形，建立数学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题 .【知识网络】【考点梳理】考点一、锐角三角函数的概念如图所示，在 Rt ABC中， C 90°， A 所对的边的邻边， B 所对的边 AC记为 b，叫做 B 的对边，也是叫做斜边BC记为 a，叫做 A 的对边，也叫做 B A 的邻边，直角 C 所对的边 AB 记为 c，BcaAbC锐角 A

2、 的对边与斜边的比叫做A 的正弦，记作sinA ，即 sin AA的对边a ；斜边c锐角 A 的邻边与斜边的比叫做A 的余弦，记作cosA，即 cos AA的邻边b ；斜边c锐角 A 的对边与邻边的比叫做A 的正切，记作tanA ，即 tan AA的对边a .A的邻边b同理 sin BB的对边b ； cos BB的邻边a ； tan BB的对边b 斜边c斜边cB的邻边a要点诠释：(1) 正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化(2)sinA， cosA ， tanA分 别 是 一 个 完

3、 整 的 数 学 符 号 ， 是 一 个 整 体 ， 不 能 写 成1，不能理解成sin 与 A，cos 与 A， tan 与 A 的乘积书写时习惯上省略A 的角的记号“”，但对三个大写字母表示成的角( 如 AEF)，其正切应写成 “ tan AEF”，不能写成 “tanAEF”；另外，、2、常写成、(3) 任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在(4) 由锐角三角函数的定义知：3当角度在0°A90°之间变化时， tanA 0考点二 、特殊角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出0°、 30°、 45°、 60&

4、#176;、 90°角的各三角函数值，归纳如下：要点诠释：(1) 通过该表可以方便地知道 0°、 30°、 45°、 60°、 90°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若4，则锐角(2) 仔细研究表中数值的规律会发现：sin 0、5、sin90的值依次为0、1，6而cos0、cos90的值的顺序正好相反，、7、的值依次增大，其变化规律可以总结为：当角度在 0° A90°之间变化时，正弦、正切值随锐角度数的增大 ( 或减小 ) 而增大 ( 或减小 )

5、 余弦值随锐角度数的增大 ( 或减小 ) 而减小 ( 或增大 ) 考点三 、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt ABC中， C=90°(1)互余关系：，8；(2) 平方关系：；(3)倒数关系：或9；(4) 商数关系：要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便考点四 、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素( 直角除外 ) 求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5 个元素，即三条边和两个锐角.设在 Rt ABC中， C=90°， A、 B、 C所对的边分别为a、

6、b、 c，则有：三边之间的关系：a2+b2=c2( 勾股定理 ).锐角之间的关系：A+ B=90° .边角之间的关系：10，11，.， h 为斜边上的高 .要点诠释：(1) 直角三角形中有一个元素为定值( 直角为 90° ) ，是已知的值 .(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系( 如不等关系 ).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.考点五、解直角三角形的常见类型及解法已知条件解法步骤Rt ABC两两直角边 (a ， b)由12边求 A， B=90° A，由斜边，一直角边( 如 c， a)求 A， B=90&#

7、176; A，13 B=90° A，锐角、邻边( 如 A，b)，一边一直角边一和一锐角 B=90° A，角锐角、对边( 如 A，a)，14 B=90° A，斜边、锐角 ( 如 c， A)，要点诠释：1在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算 . 2若题中无特殊说明， “解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边 .考点六、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题

8、中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.解这类问题的一般过程是：(1) 弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型 .(2) 将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系， 把实际问题转化为解直角三角形的问题 .(3) 根据直角三角形( 或通过作垂线构造直角三角形) 元素 ( 边、角 ) 之间的关系解有关的直角三角形 .(4) 得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：15(1) 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角， 用字

9、母表示 .坡度 ( 坡比 ) ：坡面的铅直高度h 和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则16，如图，坡度通常写成=的形式 .17(2) 仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图 .(3) 方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图中，目标方向 PA， PB， PC的方位角分别为是40°， 135°， 245° .18(4) 方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图中的目标方向线OA， OB， OC，OD的方向角分别表示北偏东30°

10、;，南偏东45°，南偏西80°，北偏西 60° . 特别如：东南方向指的是南偏东 45°，东北方向指的是北偏东 45°，西南方向指的是南偏西 45°，西北方向指的是北偏西 45° .要点诠释：1解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.2非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解 . 例如：3解直角三角形的应用题时，首先弄清题意( 关键弄清其中名词术语的意义) ，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.【典型例题

11、】类型一、 锐角三角函数的概念与性质1 (1) 如图所示，在ABC中，若 C 90°， B 50°， AB 10，则 BC的长为 ()A10· tan50 °B 10· cos50 °C 10· sin50 °D 10sin 50°(2) 如图所示，在 ABC中， C 90°， sinA 3 ，求 cosA+tanB 的值519(3) 如图所示的半圆中， AD是直径，且 AD3， AC2，则 sinB 的值等于 _【思路点拨】(1) 在直角三角形中， 根据锐角三角函数的定义， 可以用某个锐角的三

12、角函数值和一条边表示其他边(2) 直角三角形中，某个内角的三角函数值即为该三角形中两边之比知道某个锐角的三角函数值就知道了该角的大小，可以用比例系数k 表示各边(3)要求 sinB 的值，可以将B 转化到一个直角三角形中【答案与解析】(1) 选 B(2) 在 ABC， C 90°，BC3sin AAB5设 BC 3k，则 AB 5k(k 0) 由勾股定理可得 AC 4k，4k4k32cos A tan B3k5k15(3) 由已知， AD是半圆的直径，连接 CD，可得 ACD 90° B D，所以 sinB sinD AC2 AD3【总结升华】已知一个角的某个三角函数值，求

13、同角或余角的其他三角函数值时，常用的方法是：利用定义，根据三角函数值，用比例系数表示三角形的边长；(2)题求 cosA 时，还可以直接利用同角三角函数之间的关系式sin 2 A+cos 2 A 1，读者可自己尝试完成举一反三：【变式 】 Rt ABC中， C=90°， a、 b、 c 分别是 A、 B、 C 的对边，那么c 等于 ()(A) acosAbsin Bab(C)sin Bsin A(B)asin Absin B(D)abcosAsin B【答案】选 B.过点 C 作 CD AB 于 D, 在 Rt ACD中 ,ADADcos A, 所以 AD=bcosA,同理 ,BD=a

14、cosB, 所以ACbc=AB=AD+BD=bcosA+acosB,又 A+ B=90°, 所以 cosA=sinB,cosB=sinA,所以 c=asinA+bsinB.类型二、特殊角的三角函数值202解答下列各题：(1) 化简求值： tan 60° tan 45° sin 45° sin 30°； sin 60° cos30° cos45°(2)在 ABC中， C 90°，化简12sin A cos A 【思路点拨】第 (2) 题可以先利用关系式 sin 2 A+cos 2 A 1 对根号内的式子进行

15、变形，配成完全平方的形式【答案与解析】解 (1)tan 60° tan 45° sin 45°sin 30°sin 60° cos30° cos45°3113313123132221 - 32 3(2)12sin A cos Asin 2 Acos2 A2sin Acos A(sin Acos A) 2|sin Acos A | ，cos Asin A (0°A° 1 2sin A cos A45 )sin AcosA (45°A°90 )【总结升华】由第 (2) 题可得到今后常用的一

16、个关系式：1± 2sin cos =(sin ± cos ) 2例如，若设 sin +cos t ，则 sincos1 (t 2 1) 2举一反三：【变式 】若 sin 23 ， cossin， (2 ， 为锐角 ) ，求 tan( 2)的值.23【答案】 sin 23，且 2 为锐角，2 2 60°， 30° cossin12，22 45°2123 tan( ) tan 30°333 (1) 如图所示，在ABC中， ACB 105°， A 30°， AC 8，求 AB 和 BC的长；(2) 在 ABC中， ABC

17、 135°， A 30°， AC 8，如何求 AB和 BC的长 ?(3) 在 ABC中， AC 17， AB 26，锐角 A 满足 sin A12，如何求 BC的长及 ABC的面积？13若 AC 3，其他条件不变呢?【思路点拨】第 (1) 题的条件是“两角一夹边”由已知条件和三角形内角和定理，可知B 45°；过点C 作 CD AB 于 D，则 Rt ACD是可解三角形，可求出CD的长，从而Rt CDB可解，由此得解；第(2) 题的条件是“两角一对边” ；第 (3) 题的条件是“两边一夹角”，均可用类似的方法解决【答案与解析】解： (1)过点 C作 CDAB于 D

18、A 30°， ACD 105°， B 45°AC· sinA CD BC· sin B ，AC g sin A8sin 30° BC4 2sin Bsin 45° ABAD+BD AC· cosA+BC· cosB 8cos30 ° + 42 cos45 ° 44 3 (2)作 CDAB的延长线于 D，则 AB 43 4，BC 4 2(3)作 BDAC于 D，则 BC 25， S ABC204当 AC 3 时， ACB为钝角， BC 25， S ABC 36 【总结升华】对一个斜三角形

19、，通常可以作一条高，将它转化为两个直角三角形，并且要尽量使直角三角形中含有特殊的锐角 ( 如 30°、 45°、 60°的角 ) ，然后通过解直角三角形得到原来斜三角形的边、角的大小类型三、解直角三角形及应用224如图所示， D 是 AB上一点，且 CD AC于 C， S ACD : SCDB2 : 3 ， cos DCB4，5AC+CD 18，求 tanA 的值和 AB 的长【思路点拨】解题的基本思路是将问题转化为解直角三角形的问题，转化的目标主要有两个，一是构造可解的直角三角形；二是利用已知条件通过设参数列方程【答案与解析】解：作 DE AC交 CB于 E，则

20、 EDC ACD90° CDcosDCE4，CE5设 CD 4k(k 0) ，则 CE 5k ，由勾股定理得DE 3k ACD和 CDB在 AB边上的高相同， AD:DB S ACD : SCDB2:3即 AC5 DE53k5k 33 tan ACD4k4AC5k5AC+CD 18， 5k+4k 18，解得 k 2 ADAC 2CD241k 2 41 3AB AD+DB AD+AD 541 2【总结升华】在解直角三角形时，常用的等量关系是：勾股定理、三角函数关系式、相等的线段、面积关系等专题总结及应用一、知识性专题专题 1：锐角三角函数的定义【专题解读】锐角三角函数定义的考查多以选择

21、题、填空题为主例 1 如图 28 123 所示，在 Rt ABC 中， ACB 90°， BC 1，AB 2，则下列结论正确的是()3B tan A 1A sin A223D tan B 3C cosB2分析sinA BC 1， tan A BC 3， cos B BC 1 故选 D.AB2AC3AB223例 2在 ABC 中， C 90°， cosA 3,则 tan A 等于()5A 3B 4C 3D 45543分析在 Rt ABC 中，设 AC 3k，AB 5k，则 BC 4k，由定义可知 tan A BC4k4 故AC3k3选 D.分析在 Rt ABC 中， BC A

22、B 2AC 25242 3， sin A BC3故填 3AB55专题 2特殊角的三角函数值【专题解读】要熟记特殊角的三角函数值例 4计算 | 3| 2cos 45° (3 1)0分析cos 45°2 2解：原式 3 2×2 12 22例 5计算1 9 ( 1)2007 cos 60°2分析cos 60° 1 2解：原式 1 3 ( 1) 1 3 1 222例 6计算 |2 | (cos 60° tan 30° )0 8 分析cos 60° 1 ， tan 30°3， cos 60° tan 30

23、° 0， (cos 60° tan 30° )0 1，23解：原式 21十2 232 1131例 7( 3.14)0 |1 tan 60° |.计算322分析tan 60° 3 .解：原式 8 131 3 2 10.专题 3锐角三角函数与相关知识的综合运用【专题解读】锐角三角函数常与其他知识综合起来运用，考查综合运用知识解决问题的能力.例 8如图 28 124 所示，在 ABC 中， AD 是 BC 边上的高， E 为AC4边的中点， BC 14， AD 12， sin B(1)求线段 DC 的长；(2)求 tanEDC 的值 .分析在 Rt

24、ABD 中，由 sinB AD ，可求得 BD，从而求得 CD 由直 角AB24三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得 DE 1 AC EC，则 EDC C，所以求 tan EDC 可以2转化为求tan C.解： (1) AD 是 BC 边上的高， AD BC在 RtABD 中， sin B AD AB AD 12， sin B 4 ， AB 15， 52222 BD ABAD15129 BC 14， CD 5(2) 在 Rt ADC 中， AE EC， DE 1 AC EC， 2 EDC C tan C AD 12 , tan EDC tan C 12 DC55例 9 如图 28 125 所示

25、，在 ABC 中，AD 是 BC 边上的高，tan B cos DAC .(1)求证 AC BD ；12(2)若 sin C， BC 12，求 AD 的长分析(1)利用锐角三角函数的定义可得AC BD (2)利用锐角三角函数与勾股定理可求得AD 的长证明： (1) AD 是 BC 边上的高， AD BC， ADB 90°， ADC 90°在 Rt ABD 和 Rt ADC 中， tan B AD BD ADADBDAC，cos DAC AD ， tan Bcos DAC，AC， AC BD.解： (2)在 Rt ADC 中， sin C 12 ，设 AD 12k， AC 1

26、3k，13 CD AC 2AD 2 5k BC BDCD ， AC BD， BC 13k 5k 18k2由已知 BC 12， 18k 12，k， AD 12k 12× 2 8 3例 10 如图 28 126 所示，在 ABC 中， B 45°， C 30°， BC 30 30 3 ，求 AB 的长分析过点 A 作 AD BC 于 D，把斜三角形转化为直角三角形，利用AD 是两个直角三角形的公共边，设AD x，把 BD ，DC 用含 x 的式子表示出来，再由BD CD BC 这一等量关系列方程，求得AD ，则 AB 可在 Rt ABD 中求得解：过点 A 作 AD

27、BC 于 D ，设 AD x.25在 RtADB 中， tanB AD，BD ADAD x，BDtan Btan 45在 RtADC 中， tan C AD， CD ADAD 3 xCDtanCtan30又 BD CD BC， BC 30 303 ， x3 x 30 303, x 30在 RtABD 中， sin B AD ，AB AB AD30 30 30 2.sin Bsin 4522专题 4 用锐角三角函数解决实际问题【专题解读】加强数学与实际生活的联系，提高数学的应用意识，培养应用数学的能力是当今数学改革的方向，围绕本章内容，纵观近几年各地的中考试题，与解直角三角形有关的应用问题逐步成

28、为命题的热点，其主要类型有轮船定位问题、堤坝工程问题、建筑测量问题、高度测量问题等，解决各类应用问题时要注意把握各类图形的特征及解法例 13如图 28 131 所示，我市某中学数学课外活动小组的同学利用所学知识去测量沱江流经我市某段的河宽小凡同学在点A 处观测到对岸C 点，测得 CAD 45°，又在距 A 处 60 米远的 B 处测得 CBA 30°，请你根据这些数据算出河宽是多少 ?(结果保留小数点后两位 )分析本题可作CE AB，垂足为E，求出 CE 的长即为河宽解：如图 28 131 所示，过点C 作 CE AB 于 E，则 CE 即为河宽，设 CE x(米 )，则

29、BE x 60(米 )在 RtBCE 中， tan30° CE ，即3 x,EB3x60解得 x 30( 3 1) 81.96(米 )答：河宽约为81 96 米【解题策略】解本题的关键是设 CE x，然后根据 BE ABAE 列方程求解例14 如图28 132 所示，某边防巡逻队在一个海滨浴场岸边的A 点处发现海中的 B 点有人求救，便立即派三名救生员前去营救1 号救生员从 A 点直接跳入海中； 2 号救生员沿岸边 (岸边可以看成是直线)向前跑到 C 点再跳入海中； 3 号救生员沿岸边向前跑300 米到离 B 点最近的 D 点，再跳入海中，救生员在岸上跑的速度都是 6 米秒，在水中游

30、泳的速度都是 2 米 /秒若 BAD 45°， BCD 60°，三名救生员同时从A 点出发，请说明谁先到达营救地点B(参考数据2 1.4， 3 1.7)分析在 Rt ABD 中，已知 A 45°和 AD，可求 AB， BD，在 Rt BCD 中，可利用求出的BD 和 BCD 60°求出 BC，然后根据计算出的数据判断谁先到达解：在 RtABD 中， A 45°， D 90°， AD 300， ABAD300 300 2 .cos452226BD tan 45°，即 BD AD · tan 45° 300A

31、D在 RtBCD 中， BCD 60°， D 90°， BCBD300 200 3 ，CDBD 300 1003 .sin 603tan 60321 号救生员到达B 点所用的时间为3002 150 2 210(秒) ，22 号救生员到达B 点所用的时间为300100 3200 3 50 2503 192(秒 )，6233 号救生员到达B 点所用的时间为300 300 200(秒)62 192 200 210. 2 号求生员先到达营救地点B.【解题策略】本题为阅读理解题，题目中的数据比较多，正确分析题意是解题的关键例 15 如图 28 133 所示，某货船以24 海里 /时的

32、速度将一批重要物资从A 处运往正东方向的 M 处，在点 A 处测得某岛 C 在它的北偏东 60°方向上，该货船航行 30 分钟后到达 B 处，此时再测得该岛在它的北偏东30°方向上；已知在C 岛周围 9 海里的区域内有暗礁， 若货船继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险?试说明理由分析本题可作CD AM 于点 D ，在 Rt BCD 中求出 CD 即可解：过点 C 作 CD AM，垂足为点D，由题意得 CBD 60°， CAB 30° , ACB 30°， CAB ACB ， BC AB 24× 1 12(海里 ) 2在 RtBCD

33、中， CD BC× sin 60° 63 (海里 ) 63 9，货船继续向正东方向航行无触礁危险【解题策略】此题实际上是通过C(半径为 9 海里 )与直线 AM 相离判断出无触礁危险.例 16如图 28 134 所示，某幢大楼顶部有一块广告牌CD ，甲、乙两人分别在相距 8 米的 A， B 两处测得 D 点和 C 点的仰角分别为45°和 60°，且 A，B，F三点在一条直线上，若BE 15 米，求这块广告牌的高度(3 1.73，结果保留整数 )分析由于 CD CE DE，所以可分别在Rt AED 和 Rt BEC 中求 DE ，CE的长，从而得出结论解：

34、 AB 8，BE 15， AE 23在 RtAED 中， DAE 45°， DE AE 23在 RtBEC 中， CBE 60°， CE BE· tan 60° 15 3 ， CD CEDE 15 3 23 3，即这块广告牌的高度约为3 米例 17如图 28 135 所示，某水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽AD 2.5m，坝高 4 m，背水坡的坡度是1： 1，迎水坡的坡度是1： 1.5，求坝底宽BC.27分析 坡度即坡角的正切值，所以分别过 A，D 两点向坝底引垂线，把梯形转化为两个直角三角形和一个矩形解：过 A 作 AEBC 于 E，过 D 作 DF B

35、C 于 F，1由题意可知tanB1， tan C，在 RtABE 中， AE 4， tanB AE 1， BE AE 4，BE在 RtDFC 中， DF AE 4， tanC DF1 ，CF1.5 CF 1 5DF 1.5×4 6又 EF AD2.5， BC BE EF FC 4 2.5 6 12 5答：坝底宽 BC 为 12 5 m【解题策略】背水坡是指AB，而迎水坡是指CD .例 18如图 28 136 所示，山顶建有一座铁塔，塔高CD 30m，某人在点 A 处测得塔底C 的仰角为20°，塔顶D 的仰角为23°，求此人距CD的水平距离AB(参考数据：sin 20° 0.342，cos 20° 0.940，tan 20