线性代数公式定理

1、线代公式定理章一、行列式1、n阶行列式（1）（定义)由自然数1，2，···，n组成的一个有序数组称为一个n阶排列，记为j1j2jn.（2）（定义)在一个排列中，若一个较大的数排在一个较小的数的前面，则称这两个数构成一个逆序.一个排列中所有逆序的总数称为这个排列的逆序数.用t(j1j2jn)表示排列j1,j2,jn的逆序数.逆序数是偶数的排列称为偶排列，逆序数是奇数的排列称为奇排列。(3)（定义）把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动，就得到一个新的排列，这种变换称为排列的一个对换。（4）（定理）一次对换改变排列奇偶性。（5）（推论）任何一个n阶排列都可以通

2、过对换化成标准排列,并且所作对换的次数的奇偶性与该排列的奇偶性相同。（6）三阶行列式的计算：I沙路法 II对角线法则（7）三角行列式的计算：下（上）三角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积，即2、行列式的性质（1）(性质)行列式与它的转置行列式相等,即。（2）(性质)如果行列式某一行(列)元素有公因数 k, 则 k 可以提到行列式符号外边。（3）（推论）如果行列式中某一行(列)元素全为零, 那么行列式等于零。（4）(性质)如果行列式中两行（列）互换，那么行列式只改变一个符号。（5）(推论)若行列式中有两行(列)相同, 则行列式的值为零。（6）(推论)如果行列式中两行（列）的对应元素成比例，那么

3、行列式值为 0。（7）(性质)如果行列式某行(列)的各元素都可以写成两数之和, 则此行列式等于两个行列式的和。（8）(性质)如果将行列式中某行（列）的各元素同乘一数k后，加到另一行（列）的各对应元素上，则行列式的值不变。（9）（性质）若aij=aji(i,j=1,2,n) ,则称行列式 D为对称的； 若 aij=-aji(i,j=1,2,n) ,则称行列式D为反对称. 由定义易知,在反对称行列式中, aii=0(i=1,2,n)。3、行列式的展开与计算（1）（定义）在n阶行列式 D=|aij|n中，划掉元素 aij所在的第 i行和第 j列后,留下的元素按照原来的顺序组成的 n-1阶行列式称为元

4、素 aij的余子式,记为Mij。称为元素aij的代数余子式。·（2）（定理）n阶行列式 D=|aij|n等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即（3）定理1.3.2 n阶行列式D=|aij|n中某一行(列)的各个元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于0.即 （4）两个重要公式：（5）（定义）在n阶行列式D中,任取k行、k列(1£k £n-1)，由这些行和列交叉处的元素按照原来的相对位置所构成的k阶行列式N，称为D的一个k阶子式. 在行列式D中去掉k阶子式N所在的行和列以后，剩下的元素按原来的顺序构成的n-k阶行列式M, 称为N的

5、余子式若N所在的行序数为i1,i2,ik,所在的列序数为j1,j2,jk ,则称为N的代数余子式。（6）(拉普拉斯(Laplace)定理) 在 n 阶行列式 D 中任意选取k行（列） (1£ k £ n-1) , 则由这 k个 行（列）中的一切 k 阶子式 N1,N2,Nt与它们所对应的代数余子式 A1,A2,At乘积之和等于D，即 其中 。4、克莱姆法则（1）(克莱姆(Cramer)法则) 如果线性方程组（1.4.1）的系数行列式 D0,则方程组有唯一解，并且解可以用行列式表示为，其中Dj (j=1,2,n)是把系数行列式 D中第 j列的元素用方程组（1.4.1）右端的常

6、数项b1,b2,bn代替后所得到的 n阶行列式，即 （2）（定义）当线性方程组(1.4.1)右端的常数项 b1,b2,bn不全为零时，称为非齐次线性方程组；当b1,b2,bn全为零时，称为齐次线性方程组。（3）（推论）若齐次线性方程组 的系数行列式D0 ,则它只有唯一的零解。（4）（定理）若齐次线性方程组有非零解，则系数行列式D=0.5、数域(1)(定义)设P是由一些数组成的集合,包含0和1.如果P中任意两个数的和、差、积、商（除数不等于零）仍在P中,那么我们称P是一个数域。(2)（定理）设P为任何一个数域，则Q ÍP。章二、矩阵一、 概念（1）（定义）数域 P 上m×n个

7、数 aij (i=1,2,m; j=1,2,n)排成的m行n列数表称为P上的一个m行n列矩阵，或称为m´n矩阵,简记为(aij) m×n或(aij). 其中aij 称为这个矩阵中第i行第j列的元素.当P是实数域时,称数表为实矩阵,当P是复数域时,称数表为复矩阵。（2）行矩阵、列矩阵：在m´n矩阵A=(aij)中, 如果m=1,这时A=(a11,a12,a1n),称其为行矩阵,也称为n维行向量；如果n=1,这时 称其为列矩阵,也称为m维列向量。零矩阵：所有元素都为零的m´n矩阵 称为零矩阵,记为Om×n或O。（3）在m´n矩阵A=(ai

8、j)中, 当m=n时,称为n阶方阵,简记为(aij)n.（4）对于n阶方阵A,可定义行列式 ，称其为矩阵A的行列式,记为|A|。（5）形如 的矩称为单位阵。（6）非主对角线上元素全为零的n阶方阵称为对角形矩阵,记为 简写为 。（7）当n阶对角形矩阵主对角线上的元素 时,称为数量矩阵 。（8）上(下)三角形矩阵：在n阶方阵(aij)n中,如果主对角线下（上）方的元素全为零,即当i>j时,aij=0 (i,j=1,2, ,n) ,则称之为上（下）三角形矩阵。二、运算（1）（定义）两个矩阵A =(aij)m×n ,B=(bij)s×t ,如果m=s,n=t,称A与B是同型矩

9、阵;若数域P上的同型矩阵A=(aij)m×n 与B=(bij)m×n的对应元素相等,即 aij =bij(i=1,2,m;j=1,2,n),称A与B相等,记作A=B。（2）（定义）设A=(aij)m×n,B=(bij)m×n为数域P上的两个同型矩阵，称矩阵(aij+bij) m×n为矩阵A与B的和,记作 。（3）定义2.2.3 设A=(aij)m×n为数域P上的矩阵,kP.数k与矩阵A的每个元素相乘后得到的矩阵(kaij)m×n称为数k与矩阵A的数量乘积,简称为数乘,记作 。（4）矩阵的加法与数乘称为矩阵的线性运算若矩阵A=

10、(aij)m×n,则称矩阵 (-aij)m×n为矩阵A的负矩阵,记为-A。（5）运算律：加法交换律A+B=B+A；加法结合律(A+B)+C=A+(B+C);A+O=O+A=A,这里O是与A同型的零矩阵;A+(-A)=(-A)+A=O；)k(A+B)=kA+kB；(k+l)A=kA+lA；(kl)A=k(lA)=l(kA)；1A=A,0A=O；（6）（定义）设A=(aij)m×k,B=(bij)k×n, C=(Cij)m×n均为数域P上的矩阵,其中称矩阵C是A与B的乘积,记作C=AB。*只有当左乘矩阵A的列数等于右乘矩阵B的行数时,乘积AB才有意

11、义.乘积矩阵AB的行数等于左乘矩阵A的行数，AB的列数等于右乘矩阵B的列数（7）矩阵乘法与数的乘法区别：矩阵乘法不满足交换律；矩阵乘法不满足消去律；两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵；（8）设A,B,C为数域P上的矩阵，kP，它们的乘法满足如下运算规律: 结合律(AB)C=A(BC)；分配律A(B+C)=AB+AC，(B+C)A=BA+CA；k(AB)=(kA)B=A(kB),k为任意常数；（9）定义2.2.5 设A是n阶矩阵,k为正整数,定义k个A的连乘积为A的k次幂,记作Ak,即这里规定A0=E。（10）定理2.1.1 设A、B均为n阶方阵,k为常数,则|kA|=kn|A|，|AB|=|A|B

12、|。（要求A,为同型矩阵）（11）（定义）设 m×n矩阵，将矩阵A的行列互换,而不改变其先后次序得到的n×m矩阵 称为矩阵的转置矩阵，记为AT(或A)。（）设A,B为数域P上的矩阵,kP,矩阵的转置满足如下运算规律: (AT)T=A；(A+B)T=AT+BT；(kA)T=kAT (k为任意常数)；|AT|=|A|（A为方阵）；(AB)T=BTAT；（）（定义）设A=(aij)是n阶方阵,如果AT=A,即aij=aji(i,j=1,2,n)，则称A为对称矩阵;如果AT=-A,即aij=-aji(i,j=1,2,n)，则称A为反对称矩阵显然在反对称矩阵中,主对角线上的元素均为零

13、三、逆矩阵(1)(定义)设A是n阶方阵,若有一个n阶方阵B,使得AB=BA=E,则B称为A的逆矩阵,A称为可逆矩阵,或非奇异矩阵;定义中A与B的地位是等同的,所以B也是可逆矩阵, 并且A是B的逆矩阵。(2) 定理2.3.1 若A是一个n阶可逆矩阵, 则它的逆矩阵是唯一的(3)（定义）设A=(aij)n×n,Aij为的行列式|A|中元素aij的代数余子式,称 为矩阵A的伴随矩阵。(4)（定理）n阶方阵A可逆的充分必要条件是|A|¹0,且A可逆时,有 。 (5)（推论）设A与B都是n阶方阵,若AB=E, 则A, B都可逆,并且 A-1=B,B-1=A。（6）（性质）若A可逆,则

14、A-1可逆,且(A-1)-1=A（7）（性质） 若A可逆, 则|A-1|=|A|-1.（8）（性质）若A可逆, 则(AT) -1=(A-1)T（9）（性质）若n阶矩阵A,B都可逆, 则AB可逆,且(AB)-1=B-1A-1。（10）（性质）若A可逆,数k0,则(kA)-1 = k-1A-1。（11）（性质）若A可逆,且AB=O,则B=O（12）性质7 若A可逆,且AB=AC,则B=C（13）矩阵方程AX=C,XA=C,AXB=C 其中A、B均为可逆矩阵.则上述矩阵方程分别有唯一解X=A-1C， X=CA-1， X=A-1CB-1（14）（定义）设A为实数域R上的方阵,如果它满足AAT=ATA=

15、E,则称A为正交矩阵。（15）（定理）实数域R上的方阵A为正交矩阵的充分必要条件是A-1=AT。 (16)正交矩阵的性质：若A为正交矩阵,则|A|=1或|A|=-1；正交矩阵的逆矩阵及转置矩阵仍为正交矩阵；若A、B是同阶正交矩阵,则AB也是正交矩阵;) 正交矩阵的每行(列)元素的平方和等于1, 不同两行(列)的对应元素乘积之和等于0。四、分块矩阵（1）定义2.4.1 设A是一个矩阵,用贯穿于的纵线和横线按某种需要将其划分成若干个阶数较低的矩阵,这种矩阵称为A的子块或子矩阵,以这些子块为元素构成的矩阵称为A的分块矩阵。（2）分块矩阵的运算：设A,B为m×n矩阵,将A,B采用同样的方法进

16、行分块,得到则有（k为常数）若分块矩阵 ，则有（3）分块矩阵的乘法：设矩阵A=(aij)m×s,B=(bij)s×n,用分块矩阵计算A,B的乘积AB时, 一定要使A的列的分法与B的行的分法一致,这样不仅可以保证A,B作为分块矩阵可乘,而且它们相应的各子块间的乘法也有意义,即其中矩阵A的子块Aik为mi×sk(i=1,2,r, k = 1,2,p ) 矩阵,矩阵 B 的子块 Bkj 为sk×nj (k=1,2,p; j=1,2,q ) 矩阵,且则其中 为mi×nj矩阵(i=1,2,r，j=1,2,q)。（4）定义2.5.2 设A为n阶方阵,如果它

17、的分块矩阵具有如下形式其中Ai (i =1,2,s)为ni 阶方阵 则称A为准对角形矩阵。 （5）设A,B同型方阵，且子块同型，则有1.2.3. |A|=|A1|A2|As|；4.若|Ai|¹0(i =1,2,s),则五、初等变换与初等矩阵（1）（定义）矩阵A的下列变换称为它的初等行（或列）变换：（三种初等变换分别简称为互换、倍乘、倍加。矩阵的初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初等变换）1. 互换矩阵A的第 i行与第 j行（或第 i列与第 j列）的位置，记为 ri«rj(或ci«cj );2. 用常数 k0去乘矩阵 A的第 i行(或第 j列)，记为kri(或 kc

18、j );3.将矩阵 A的第 j行（或第 j列）各元素的 k倍加到第 i行(或第 i列)的对应元素上去，记为 ri+krj(或ci+kcj );（2）定义2.5.2 如果矩阵A经过有限次初等变换化为矩阵 B, 则称 A与 B等价，记为 AB ，或 A®B。（3）等价是矩阵间的基本性质: 1.自反性：AA： 2.对称性：若 AB, 则 BA;3.传递性： 若AB, BC, 则AC；（4）（定义）如果矩阵A满足下列条件：若有零行，则零行全在矩阵A的下方； A的各非零行的第一个非零元素的列序数小于下一行中第一个非零元素的列序数； 则称 A为行阶梯形矩阵，或阶梯形矩阵。如果矩阵A除满足上述条件

19、、外，还满足条件：各非零行的第一个非零元素均为1，且所在列的其它元素都为零，则称 A为简化的阶梯形矩阵。（5）阶梯形矩阵的一般形式为（6）上述矩阵中,bk(1£k£r)为非零常数，*号表示某一常数。（7）定理2.5.1 任何非零矩阵都可以通过初等行变换化为阶梯形。（8）定理2.5.2 任意非零矩阵A=(aij)m×n都与它的标准形等价,即存在矩阵 使得 ，其中Er为 r阶单位矩阵,1£r£min m,n。（9）（定义）由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵（三种变换方式对应三种类型的初等矩阵：分别称为互换、倍乘、倍加初等矩阵）。（1

20、0）初等矩阵的性质：初等矩阵的转置矩阵仍为同类型的初等矩阵；初等矩阵都是可逆矩阵；初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵，且 （11）（定理）设A是一个 m×n矩阵, 对 A作一次初等行变换，相当于在 A的左边乘以相应的 m阶初等矩阵；对 A作一次初等列变换，相当于在 A的右边乘以相应的 n初等矩阵。（由这个定理，矩阵的初等变换和矩阵乘法建立了联系）（12）（定理）m´n矩阵A与B等价Û有m阶初等矩阵P1,P2,Ps与n阶初等矩Q1,Q2,Qt ,使得 。若记P= P1,P2,Ps，Q=Q1,Q2,Qt ，则 P为 m阶可逆矩阵， Q为 n阶可逆矩阵，于是得到以下推论： 推

21、论：m´n矩阵A与B等价Û存在m阶可逆矩阵P与n阶可逆矩阵 Q ,使得。 推论：对于任意非零m´n矩阵AÛ存在m阶可逆矩阵 P与 n阶可逆矩阵Q,使得 。 推论：若A为n阶可逆矩阵，则A E。 推论：推论4 n阶矩阵 A可逆的充分必要条件是它可表示成有限个初等矩阵的乘积。（）可利用下面的方式求的逆矩阵。六、矩阵的秩（）（定义）在矩阵A中,任取k行,k列(1kmin(m,n),由这些行列交叉处的k2个元素按原来的顺序构成的k阶行列式,称为矩阵A的一个k阶子式。（）（定义）若在m×n矩阵A中,有一个r阶子式不为零,而所有的r+1阶子式(若存在的话)

22、都为零,则称r为矩阵A的秩,记为R(A)=r。特别的，零矩阵的秩规定为零。（*：如果矩阵A的所有的r +1阶子式都为零,那么A的所有高于r +1阶的子式(若存在的话)也必然为零.因此R(A)是A中不为零的子式的最高阶数）（）由定义以上可以看出,在矩阵A中,若存在一个r阶子式不为零,则R(A)r,若所有的r+1阶子式都为零,则R(A)r。（）对于矩阵A=(aij)m×n,显然有 。由矩阵秩的定义，显然阶梯形矩阵的秩等于矩阵中非零行的行数。（）（定理）n阶方阵A的秩为n的充分必要条件是A为可逆矩阵。 即R(A)=n Û A可逆。（6） 对于n阶方阵A,若R(A)=n,则称A为满

23、秩矩阵,若R(A)<n,则称A为降秩矩阵。（7）（定理）初等变换不改变矩阵的秩。（8）任意非零矩阵A都可以经过有限次初等变换化为标准形 它的标准形是唯一的,并且R(A)=r。（9）)（推论）两个同型矩阵A与B等价的充分必要条件是 R(A)=R(B)。 （10）推论2 设A为m×n矩阵,P和Q分别为m阶与n阶可逆矩阵,则有：（11）R(A+B)R(A)+R(B)，R（AB）（），（）。章三、向量组的线性相关性一、向量的概念与运算（）（定义）由数域P上的n个数组成的有序数组 (a1,a2,an)，称为P上的一个n维向量，记为，即= (a1,a2,an)。 （）=(a1,a2,an)

24、称为n维行向量，称为n维列向量。 （）在线性方程组中，令 ， ， ，x =(x1,x2,xn)T则方程组可写作Ax=b，并记 ， 称为增广矩阵。二、 向量组的线性相关性（1）（定义）设1 , 2 , , m, 都是数域P上的n维向量，如果存在数域P上的数k1,k2, ,km，使得 ，则称是向量1,2, ,m的线性组合，或称可由向量组1，2, ,m线性表出(示)。 （2）判断一个向量组是否线性相关，往往把其转化为对线性齐次方程组是否有非零解的讨论。系数行列式为零，该方程组有非零解，故向量组1,2,3,4线性相关；系数行列式不为零，该方程组无非零解，故向量组1,2,3,4线性不相关。（3）（定理）

25、向量组1,2, ,m(m2)线性相关，其中至少有一个向量可由其m-1余个向量线性表出。（4）推论 向量组1,2, ,m(m2)线性无关的充分必要条件是：其中每一个向量都不能由其余向量线性表出。（5）定理3.2.2 若向量组1,2, ,m线性无关，而1,2, ,m, 线性相关，则可由1,2, ,m线性表出，而且表法唯一。（6）定理3.2.3 向量组1,2, ,m线性相关的充要条件是R(A)<m 。（7）定理3.2.3向量组1,2,n线性相关的充要条件是R(A)<n 。（8）推论1 m×n矩阵A的m个行向量线性无关的充要条件是R(A)=m；m×n矩阵A的n个列向量线

26、性无关的充要条件是R(A) =n.（9）推论2 如果一个向量组中向量的个数 m大于向量的维数n, 则该向量组线性相关；特别地,任意n+1个n维向量必定是线性相关的.（10）推论3 设i=(i1,i2, ,in)，i= 1, 2, , n，则(1) n个维向量线性无关的充分必要条件是: （2 ） n个维向量线性相关的充分必要条件是:（11）性质1 含有零向量的向量组必线性相关。（12）性质2 向量组若有一个部分组线性相关，则整个向量组也线性相关。(13) 性质3 若向量组线性无关，则它的任意一个部分组也线性无关。 (14)(性质)若向量组 线性相关, 则去掉最后r个分量(1r<n)后, 所

27、得到的向量组: 也线性相关。 三、向量组的秩(1)(定义)如果向量组1,2, ,m的部分组满足条件(I)线性无关;(II) 的任一向量均可由线性表出;则称 是向量组 的一个极大线性无关组。(2)（定理）如果向量组1,2, ,m中的每一个向量均可由向量组 1, 2, , r线性表出，并且m>r，那么向量组1,2, ,m线性相关。 (3)（推论）如果向量组1,2, ,m中的每一个向量均可由向量组 1, 2, , r线性表出，并且1,2, ,m线性无关，那么mr。 (4) 定理 3.3.2 一个向量组中任意两个极大线性无关组所含向量的个数相等。(5)（定义）向量组1,2, ,m的极大线性无关组

28、中所含向量的个数称为这个向量组的秩，记为R1,2, ,m全由零向量组成的向量组的秩规定为零。(6)（定义）设向量组 ，若向量组(A)中的每一个向量可由向量组（B）线性表出，同时向量组（B）中的每一个向量可由向量组(A)线性表出，亦即它们可以互相线性表出，则称向量组(A)与向量组（B）等价。 (7)等价向量组具有如下性质:自反性:任何一个向量组都与它自身等价；对称性:若向量组()与向量组（）等价，则向量组（）也与向量组()等价； 传递性:若向量组()与向量组（）等价，向量组（）也与向量组()等价，则向量组（）也与向量组()等价。(8)等价向量组的下列性质：a:向量组都与它的任一极大线性无关组等价

29、；b:任何两个线性无关的等价向量组所含向量的个数相同;c:任何两个等价的向量组的秩相等。(9)（定理）若向量组（）：可由向量组（）：线性表出,且向量组（）的秩为p ，向量组（）的秩为q，则 pq。（10）（定理）矩阵A的秩等于它的行向量组的秩，也等于它的列向量组的秩。四、向量空间（1）定义3.4.1 设V是数域P上的 n维向量的非空集合，如果",ÎV, kÎP, 满足 则称集合V为数域P上的向量空间.（2）定义3.4.2 设V1，V2是数域P上的两个向量空间，如果V1ÍV2，则称V1是V2的子空间。（3）实数域上任何n维向量的集合构成的向量空间都是Rn的

30、子空间。 单独由一个零向量构成的集合0也是一个向量空间，称为零空间。 （4）在n维向量空间V中，零空间和空间V也是它的子空间，称为它的平凡子空间，除此之外，V的其他子空间称为它的非平凡子空间。 （5）设1, 2 , ,m为一组n维向量，容易证明它的线性组合 是向量空间，称为由向量1, 2 , ,m生成的向量空间，记为L(1, 2 , ,m)。 （6）定义3.4.2 设V是数域P上的向量空间，向量1, 2 , ,mÎV，如果(1) 1, 2 , ,m线性无关；(2) V中任一向量都能由1, 2 , ,m线性表示；则称 1, 2 , ,m为空间V的一组基（或基底），m称为向量空间V的维数

31、，记为dimVm，并称V是数域P上的 m维向量空间。零空间的维数规定为零。 （7）基的等价定义： 设 1, 2 , ,mV，即dimVm (1) 1, 2 , ,m线性无关, 且V中任一向量都能由1, 2 , ,m线性表示; (2) 1, 2 , ,m线性无关； (3) V中任一向量都能由1, 2 , ,m线性表示; (4) 1, 2 , ,m线性无关, 且V中任一向量添加到1, 2 , ,m中线性相关。 （8）若把向量空间V看作一个向量组，那么它的基就是 V的一个极大线性无关组，dimV就是V的秩。(9)若向量空间V的维数是m，那么V中任意 m个线性无关的向量都是V的一组基；对于向量空间V的任一子空间V1，dimV1dimV2。（10）