(完整)【省级联考】2018年广东省高考数学一模试卷(理科)

1、2018 年广东省高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12 个小题，每小题5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1 已知集合A= x| 11x121 ，则 AB=（）， B= x| xA x| 1 x1 B x| 0 x1 C x| x 1D x| 0x22 设复数 z=a+4i（aR），且（ 2i） z 为纯虚数，则 a=（）A 1 B1 C2 D 23 如图为射击使用的靶子，靶中最小的圆的半径为1，靶中各图的半径依次加1，在靶中随机取一点，则此点取自黑色部分（ 7 环到 9 环）的概率是（）ABCD4 已知函数 f（x）满足，则函数 f（ x）

2、的图象在 x=1 处的切线斜率为（）A0B9C18D275 已知 F 是双曲线 C：=1（a0， b0）的一个焦点，点F 到 C 的一条渐近线的距离为2a，则双曲线 C 的离心率为（）A2BCD26的展开式中， x3 的系数为（）A120 B160 C100 D807 如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）第 1页（共 26页）A48+8B96+8C96+16 D48+168 已知曲线，则下列结论正确的是（）A把 C 向左平移个单位长度，得到的曲线关于原点对称B把 C 向右平移个单位长度，得到的曲线关于y 轴对称C把 C 向左平移个单位长度，

3、得到的曲线关于原点对称D把 C 向右平移个单位长度，得到的曲线关于y 轴对称9 大衍数列，来源于乾坤谱中对易传 “大衍之数五十 ”的推论主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和， 是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题其规律是：偶数项是序号平方再除以 2，奇数项是序号平方减 1 再除以 2，其前 10 项依次是 0，2，4，8，12，18， 24，32，40， 50， ，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100 项而设计的， 那么在两个 “”中，可以先后填入（）第 2页（共 26页）An 是偶数， n 100Bn 是

4、奇数， n100Cn 是偶数， n 100Dn 是奇数， n10010在 ABC 中，角A， B， C 所对的边分别为a， b ， c，若A=，且2bsinB+2csinC=bc+a则 ABC的面积的最大值为（）ABCD11 已知抛物线 C： y2=x，M 为 x 轴负半轴上的动点， MA，MB 为抛物线的切线， A，B 分别为切点，则的最小值为（）ABCD12 设函数，若互不相等的实数a，b，c，d 满足 f（a）（ ）（）（），则a+2b+2c+2d 的取值范围是（）=f b=f c=f d2AB（98，146） CD（98，266）二、填空题（每题5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸

5、上）13 已知单位向量，的夹角为 30°，则 | =第 3页（共 26页）14 设 x，y 满足约束条件，则 z=x+y 的最大值为15 已知 sin10 +mcos10°°=2cos140 °，则 m=16 如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 6cm，该纸片上的正方形 ABCD的中心为 O，E，F，G，H 为圆 O 上的点， ABE， BCF， CDG， ADH 分别是以AB，BC， CD， DA 为底边的等腰三角形沿虚线剪开后，分别以 AB，BC，CD，DA 为折痕折起 ABE， BCF， CDG，ADH，使得 E，F，G， H 重合，得到一个四棱锥

6、当该四棱锥的侧面积是底面积的2 倍时，该四棱锥的外接球的体积为三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 .第 17-21 题为必考题，每道试题考生都必须作答 .第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 . （一）必考题：共 60 分.17（ 12.00 分）已知公差不为零的等差数列 an 满足 a1=5，且 a3，a6，a11 成等比数列（ 1）求数列 an 的通项公式；（ 2）设，求数列 bn的前n项和 nS18（12.00 分）“微信运动 ”是一个类似计步数据库的公众账号用户只需以运动手环或手机协处理器的运动数据为介，然后关注该公众号， 就能看见自己与好友每日

7、行走的步数，并在同一排行榜上得以体现现随机选取朋友圈中的50 人，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：步数 /步030003001600060018000800110000 以上10000男生人数 /127155第 4页（共 26页）人女性人数 /03791人规定：人一天行走的步数超过8000 步时被系统评定为 “积极性 ”，否则为 “懈怠性 ”（ 1）以这 50 人这一天行走的步数的频率代替 1 人一天行走的步数发生的概率，记 X 表示随机抽取 3 人中被系统评为 “积极性 ”的人数，求 P（X2）和 X 的数学期望（ 2）为调查评定系统的合理性，拟从这 50 人中先抽取 10 人

8、（男性 6 人，女性 4 人）其中男性中被系统评定为 “积极性 ”的有 4 人，“懈怠性 ”的有 2 人，从中任意选取 3 人，记选到 “积极性 ”的人数为 x；其中女性中被系统评定为 “积极性 ”和 “懈怠性 ”的各有 2 人，从中任意选取 2 人，记选到 “积极性 ”的人数为 y；求 xy 的概率19（ 12.00 分）如图，在直角梯形 ABCD中， ADBC，AB BC，且 BC=2AD=4，E，F 分别为线段 AB，DC 的中点，沿 EF把 AEFD折起，使 AE CF，得到如下的立体图形（ 1）证明：平面 AEFD平面 EBCF；（ 2）若 BDEC，求二面角 FBDC 的余弦值20

9、（ 12.00 分）已知椭圆的离心率为，且C 过点（ 1）求椭圆 C 的方程；（ 2）若直线 l 与椭圆 C 交于 P，Q 两点（点 P，Q 均在第一象限），l 与 x 轴， y轴分别交于 M， N 两点，且满足（其中 O 为坐标原点）证明：直线 l 的斜率为定值21（ 12.00 分）已知函数 f（ x） =（ x 2）ex+a（lnxx+1）第 5页（共 26页）（ 1）讨论 f（x）的导函数 f'（ x）零点的个数；（ 2）若函数 f（ x）的最小值为 e，求 a 的取值范围（二）选考题：共10 分.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 选

10、修 4-4：坐标系与参数方程 1：（x 2）2+（y4）2，以坐标22（ 10.00 分）在直角坐标系 xOy 中，圆 C=20原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， C2： =（ 1）求 C1 的极坐标方程和2 的平面直角坐标系方程；C（ 2）若直线 C3 的极坐标方程为 =，设 C2 与 C1 的交点为 O、M，C3与 C1 的交点为 、，求OMN的面积O N 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f （x）=3| xa|+| 3x+1| ，g（x）=| 4x 1| | x+2| （ 1）求不等式 g（x） 6 的解集；（ 2）若存在 x1，x2R，使得 f （x1）和

11、g（x2）互为相反数，求 a 的取值范围第 6页（共 26页）2018 年广东省高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12 个小题，每小题5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 已知集合21 ，则 AB=（）1A= x| 11x1 ， B= x| xA x| 1 x1B x| 0 x1 C x| x 1D x| 0x2【分析】 解不等式得出集合A、B，根据交集的定义写出A B【解答】 解：集合 A= x| 1 1 x 1 = x| 0x2 ，B= x| x21 = x| 1x1 ，则 AB= x| 0x1 故选： B【点评】 本题考查

12、了解不等式与交集的运算问题，是基础题2 设复数 z=a+4i（aR），且（ 2i） z 为纯虚数，则 a=（）A 1 B1C2D 2【分析】 把 z=a+4i（aR）代入（ 2 i）z，利用复数代数形式的乘法运算化简，由实部为 0 且虚部不为 0 求得 a 值【解答】解： z=a+4i（aR），且（ 2i）z=（2i）（a+4i）=（ 2a+4）+（8a）i 为纯虚数，解得 a=2故选： D【点评】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题3 如图为射击使用的靶子，靶中最小的圆的半径为1，靶中各图的半径依次加1，在靶中随机取一点，则此点取自黑色部分（7 环到 9 环）的概率

13、是（）第 7页（共 26页）ABCD【分析】 根据几何概型的定义分别求出满足条件的面积，作商即可【解答】 解：由题意此点取自黑色部分的概率是：P=，故选： A【点评】本题主要考查几何概型的概率计算， 求出黑色阴影部分的面积是解决本题的关键4 已知函数 f（x）满足，则函数 f（ x）的图象在 x=1 处的切线斜率为（）A0B9C18D27【分析】根据题意，分析可得函数的解析式，求出其导数 f （x）=24x26，计算可得 f （1）的值，结合导数的几何意义分析可得答案【解答】 解：根据题意，函数f（x）满足，则 f（x）=8x3 6x，其导数 f （ x）=24x2 6，则有 f （1）=24

14、 6=18，即函数 f（x）的图象在 x=1 处的切线斜率为 18；故选： C【点评】 本题考查利用导数求函数切线的方程，注意先求出函数的解析式5 已知 F 是双曲线 C：=1（a0， b0）的一个焦点，点F 到 C 的一条渐近线的距离为2a，则双曲线 C 的离心率为（）A2BCD2第 8页（共 26页）【分析 】根 据题意，由双 曲线 的几 何性 质，分析 可得 b=2a， 进而 可得c=a，由双曲线的离心率公式计算可得答案【解答】解：根据题意， F 是双曲线 C：=1（ a 0， b 0）的一个焦点，若点 F 到 C 的一条渐近线的距离为2a，则 b=2a，则 c=a，则双曲线 C 的离心

15、率 e=，故选： C【点评】 本题考查双曲线的几何性质，注意双曲线的焦点到渐近线的距离为b6的展开式中， x3 的系数为（）A120 B160 C100 D80【分析】利用多项式乘以多项式展开，然后分别求出两项中含有x3 的项得答案【解答】 解：=， x（1+2x）5的展开式中含 x3 的项为，的展开式中含 x3 的项为的展开式中， x3 的系数为 40+80=120故选： A【点评】本题考查二项式系数的性质， 关键是熟记二项展开式的通项， 是基础题7 如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）第 9页（共 26页）A48+8B96+8C96+1

16、6 D48+16【分析】 由三视图可得，该几何体是长方体截去两个半圆柱，即可求解表面积【解答】 解：由题意，该几何体是长方体截去两个半圆柱，表面积为： 4×6×2+2（4×64）+2× 2×4=96+8，故选： B【点评】本题考查了圆柱和长方体的三视图，结构特征，面积计算，属于基础题8 已知曲线，则下列结论正确的是（）A把 C 向左平移个单位长度，得到的曲线关于原点对称B把 C 向右平移个单位长度，得到的曲线关于 y 轴对称C把 C 向左平移个单位长度，得到的曲线关于原点对称D把 C 向右平移个单位长度，得到的曲线关于 y 轴对称【分析】 直接

17、利用三角函数的图象平移逐一核对四个选项得答案【解答】 解：把 C 向左平移个单位长度，可得函数解析式为 y=sin 2（x+） =sin（ 2x+ ）=cos2x，得到的曲线关于 y 轴对称，故 A 错误；把 C 向右平移个单位长度，可得函数解析式为 y=sin 2（x） =sin（ 2x）=cos2x，第10页（共 26页）得到的曲线关于y 轴对称，故 B 正确；把 C 向左平移个单位长度，可得函数解析式为 y=sin 2（x+ ） =sin（2x+ ），取 x=0，得 y=，得到的曲线既不关于原点对称也不关于y 轴对称，故 C 错误；把 C 向右平移个单位长度，可得函数解析式为y=sin

18、2（x ） =sin（ 2x），取 x=0，得 y=，得到的曲线既不关于原点对称也不关于y 轴对称，故 D 错误正确的结论是 B故选： B【点评】 本题考查 y=Asin（x+）型函数的图象变换，考查y=Asin（x+）的图象和性质，是基础题9 大衍数列，来源于乾坤谱中对易传 “大衍之数五十 ”的推论主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和， 是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题其规律是：偶数项是序号平方再除以 2，奇数项是序号平方减 1 再除以 2，其前 10 项依次是 0，2，4，8，12，18， 24，32，40，

19、 50， ，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100 项而设计的， 那么在两个 “”中，可以先后填入（）第11页（共 26页）An 是偶数， n 100Bn 是奇数， n100Cn 是偶数， n 100Dn 是奇数， n100【分析】 模拟程序的运行过程，结合退出循环的条件，判断即可【解答】 解： n=1，s=0，n=2， s=2，n=3， s=4， ，n=99，s=，n=100，s=，n=101100，结束循环，故选： D【点评】 本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题10在 ABC 中，角A， B， C 所对的边分别为a， b ，

20、c，若A=，且2bsinB+2csinC=bc+a则 ABC的面积的最大值为（）第12页（共 26页）ABCD【分析】由正弦定理和余弦定理即可求出a=，再由余弦定理可得： b2+c2 =3+bc，利用基本不等式可求bc3，根据三角形面积公式即可得解【解答】 解：根据正弦定理可得=， sinB=，sinC=， 2bsinB+2csinC=bc+ a，+=bc+a， b2+c2= abc+a2， b2+c2 a2= abc，=cosA= a= ， 3=b2+c2bc，可得： b2+c2=3+bc， b2+c2 2bc（当且仅当 b=c 时，等号成立）， 2bc3+bc，解得 bc3， S ABC=

21、 bcsinA= bc故选： C【点评】本题主要考查了余弦定理， 基本不等式， 三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和计算能力，属于中档题11 已知抛物线 C： y2=x，M 为 x 轴负半轴上的动点， MA，MB 为抛物线的切线， A，B 分别为切点，则的最小值为（）ABCD【分析】设切线 MA 的方程为 x=ty+m，代入抛物线方程得y2 tym=0，由直线与抛物线相切可得 =t2+4m=0，分别求出 A，B，M 的坐标，根据向量的数量积和二次函数的性质即可求出第13页（共 26页）【解答】 解：设切线 MA 的方程为 x=ty+m，代入抛物线方程得 y2 tym=0，由直

22、线与抛物线相切可得 =t2+4m=0，则 A（，），B（，），将点 A 的坐标代入 x=ty+m，得 m=，M（，0），=（，）?（，） =（t 2） 2，则当 t 2=，即 t=±时，的最小值为故选： C【点评】本题考查了直线和抛物线的位置关系， 以及向量的数量积和二次函数的性质，属于中档题12 设函数，若互不相等的实数a，b，c，d 满足 f（a）（ ）（）（），则a+2b+2c+2d 的取值范围是（）=f b=f c=f d2AB（98，146） CD（98，266）【分析】 不妨设 a b c d，利用 f（a）=f（ b） =f（c） =f（d），结合图象可得 c 的范围，

23、且 2a+2b =2，c+d=11，将所求式子转化为 c 的函数，运用对勾函数的单调性，即可得到所求范围【解答】 解：画出函数 f（x）的图象，由 x2 时， f （x）=| 2x+12| ，可得 22a+1=2b+12，可化为 2a+2b=2，当 x2 时， f （x）=x211x+30，可得 c+d=11，令 x211x+30=2，解得 x=4 或 7，由图象可得存在 a， b， c， d 使得 f（a）=f（ b） =f（c）=f（d），第14页（共 26页）可得 4c5，即有 16 2c32，则 2a+2b+2c+2d=2+2c+2d=2+2c+，设 t=2c，则 t+在（ 16， 3

24、2）递减，可得 g（t ）=t+（ 96，144），则 2+2c+ 的范围是（ 98，146）故选： B【点评】本题考查代数式取值范围的求法， 考查函数性质等基础知识， 考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题二、填空题（每题5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 已知单位向量，的夹角为 30°，则 | =1【分析】 根据单位向量的夹角为30°即可求出的值，从而可求出的值，进而得出的值【解答】 解：单位向量的夹角为 30°；第15页（共 26页），；=；故答案为： 1【点评】 考查向量数量积的运算，以及单位向量的概念14 设 x，y 满足约束条件，

25、则 z=x+y 的最大值为2【分析】画出约束条件的可行域， 利用目标函数的最优解求解目标函数的最大值即可【解答】 解： x，y 满足约束条件的可行域如图，则 z=x+y 经过可行域的 A 时，目标函数取得最大值，由解得 A（4， 2），所以 z=x+y 的最大值为： 2故答案为： 2【点评】本题考查线性规划的简单应用， 考查约束条件的可行域， 判断目标函数的最优解是解题的关键第16页（共 26页）15 已知 sin10 +mcos10°°=2cos140 °，则 m=【分析】由题意可得 m=，再利用三角恒等变换求得它的值【解答】解：由题意可得m=，故答案为：【点评

26、】 本题主要考查三角恒等变换，属于中档题16 如图，圆形纸片的圆心为O，半径为 6cm，该纸片上的正方形ABCD的中心为 O，E，F，G，H 为圆 O 上的点， ABE， BCF， CDG， ADH 分别是以AB，BC， CD， DA 为底边的等腰三角形沿虚线剪开后，分别以 AB，BC，CD， DA 为折痕折起 ABE， BCF， CDG，ADH，使得 E，F，G， H 重合，得到一个四棱锥当该四棱锥的侧面积是底面积的 2 倍时，该四棱锥的外接球的体积为【分析】根据题意，设正方形 ABCD的边长为 x，E，F，G，H 重合，得到一个正四棱锥，四棱锥的侧面积是底面积的 2 倍时，即可求解 x，从

27、而求解四棱锥的外接球的体积【解答】解：连接 OE交 AB 与 I，E，F，G，H 重合为 P，得到一个正四棱锥，设正方形 ABCD的边长为 x则 OI= ，IE=6 由四棱锥的侧面积是底面积的2 倍，可得，第17页（共 26页）解得： x=4设外接球的球心为Q，半径为R，可得OC=，OP=，该四棱锥的外接球的体积V=故答案为：【点评】 本题考查的知识点是球的体积，其中根据已知求出半径是解答的关键三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 .第 17-21 题为必考题，每道试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 .（一）必考题：共60 分.17（

28、 12.00 分）已知公差不为零的等差数列 an 满足 a1=5，且 a3，a6，a11成等比数列（ 1）求数列 an 的通项公式；（ 2）设，求数列 bn的前n项和 nS【分析】（1）公差 d 不为零的等差数列 an满足1 ，且3， 6， 11 成等比数a =5aaa列可得=a3 11，即（5+5d）2（）（），解得： ?a= 5+2d5+10dd（ 2）n1利用错位相减法即可得出=（ 2n+3） ?3【解答】 解：（1）公差 d 不为零的等差数列 an满足 1，且3611成等a =5a，a，a比数列 =a3?a11，即（ 5+5d）2=（5+2d）（5+10d），化为： d2 2d=0，解

29、得： d=2 an=5+2（ n 1） =2n+3第18页（共 26页）（ 2）=（ 2n+3） ?3n1数列 bn 的前 n 项和 Sn=5+7× 3+9×32+（2n+3）?3n 1 3Sn=5×3+7×32+ +（2n+1）× 3n 1+（2n+3）× 3n， 2Sn=5+2（3+32+ +3n 1）（ 2n+3）× 3n×（）×=5+22n+33n，解得 S（） n1n= n+1 3【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、错位相减法， 考查了推理能力与计算能力，属于中档题18（12

30、.00 分）“微信运动 ”是一个类似计步数据库的公众账号用户只需以运动手环或手机协处理器的运动数据为介，然后关注该公众号， 就能看见自己与好友每日行走的步数，并在同一排行榜上得以体现现随机选取朋友圈中的50 人，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：步数 /步030003001600060018000800110000 以上10000男生人数 /127155人女性人数 /03791人规定：人一天行走的步数超过8000 步时被系统评定为 “积极性 ”，否则为 “懈怠性 ”（ 1）以这 50 人这一天行走的步数的频率代替 1 人一天行走的步数发生的概率，记 X 表示随机抽取 3 人中被系统

31、评为 “积极性 ”的人数，求 P（X2）和 X 的数学期望（ 2）为调查评定系统的合理性，拟从这 50 人中先抽取 10 人（男性 6 人，女性 4 人）其中男性中被系统评定为 “积极性 ”的有 4 人，“懈怠性 ”的有 2 人，从中任意选取 3 人，记选到 “积极性 ”的人数为 x；其中女性中被系统评定为 “积极性 ”和 “懈怠性 ”的各有 2 人，从中任意选取 2 人，记选到 “积极性 ”的人数为 y；求 xy 的概率第19页（共 26页）【分析】（1）由题意得被系统评为“积极性 ”的概率为=，XB（3，），由此能求出 P（X2）和 X 的数学期望（ 2）“xy“包含 “x=3，y=2“，

32、“x=3，y=1“，“x=3，y=0“，“x=2，y=1“，“x=2，y=0“， “ x=1，y=0“，分别求出相应的概率，由此能求出 P（x y）【解答】解：（ 1）由题意得被系统评为 “积极性 ”的概率为 = ，XB（3， ），P（X2）=1（）3=，X 的数学期望 E（X）=3×=（ 2）“xy“包含 “x=3，y=2“，“x=3，y=1“，“x=3，y=0“，“x=2，y=1“，“x=2，y=0“， “ x=1，y=0“，P（x=3，y=2） =，P（x=3，y=1） =，P（x=3，y=0） = ×=，P（x=2，y=1） =×=，P（x=2，y=0）

33、=×=，P（x=1，y=0） =×=， P（ xy）=【点评】本题考查概率的求法， 考查离散型随时机变量的数学期望的求法，考查二项分布、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力， 考查函数与方程思想，是中档题19（ 12.00 分）如图，在直角梯形 ABCD中， ADBC，AB BC，且 BC=2AD=4，E，F 分别为线段 AB，DC 的中点，沿 EF把 AEFD折起，使 AE CF，得到如下的第20页（共 26页）立体图形（ 1）证明：平面 AEFD平面 EBCF；（ 2）若 BDEC，求二面角 FBDC 的余弦值【分析】（1）根据 AEEF，AECF可得 AE

34、平面 BCFE，故而平面 AEFD平面EBCF；（ 2）建立空间坐标系，根据 BD EC求出 AE，求出平面 BDF和平面 BCD的法向量即可得出二面角的余弦值【解答】（1）证明：在直角梯形 ABCD中， ADBC，AB BC，E，F 分别为线段 AB，DC的中点， EFAD， AEEF，又 AE CF，且 EFCF=F， AE平面 EBCF， AE? 平面 AEFD，平面 AEFD平面 EBCF（ 2）解：由（ 1）可得 EA，EB，EF两两垂直，故以 E 为原点建立空间直角坐标系， （如图）设 AE=m，则 E（0，0，0），A（ 0， 0， m），B（ m，0，0），F（0，3，0），

35、C（m，4，0）， D（0，2，m），=（ m， 2， m）， DBEC， m2+8=0， m=2=（2，2，2），设面 DBF的法向量为，则，即，令 y=4 可得：=（3， 4，），同理可得平面 CDB的法向量为，第21页（共 26页） cos=由图形可知二面角FBDC 为锐角，二面角 F BD C 的余弦值为【点评】本题考查了面面垂直的判定， 二面角的计算与空间向量的应用， 属于中档题20（ 12.00 分）已知椭圆的离心率为，且C 过点（ 1）求椭圆 C 的方程；（ 2）若直线 l 与椭圆 C 交于 P，Q 两点（点 P，Q 均在第一象限），l 与 x 轴， y轴分别交于 M， N 两点

36、，且满足（其中 O 为坐标原点）证明：直线 l 的斜率为定值【分析】（1）由椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程、 a， b， c 的关系，解方程可得 a，b，即可得到所求椭圆方程；（ 2）由题意可设直线 l 的方程为 y=kx+m，（m0），P，Q 的坐标为（ x1，y1），（ x2，y2），联立椭圆方程，消去 y，可得 x 的方程，运用判别式大于 0 和韦达定理，以及三角形的面积公式，化简整理，解方程可得直线的斜率，即可得证【解答】 解：（1）由题意可得=，+=1，a2b2 =c2，第22页（共 26页）解得 a=2， b=1， c=，故椭圆 C 的方程为+y2=1；（ 2）证明：由题意可得直

37、线 l 的斜率存在且不为 0，设直线 l 的方程为 y=kx+m，（m0），P，Q 的坐标为（ x1，y1），（x2，y2），令 x=0，可得 y=m，即 | MO| =| m| ，令 y=0，可得 x= ，即 | NO| =| ，则 SPMO=| MO| ?| y1， QMO=| MO| ?| y2|，|S PNO= | MO| ?| x1 ， QNO= | NO| ?| x2 ，S|S|由，可得=，即有 2=2，可得=，即=（）2=k2，由 y=kx+m 代入椭圆+y2 ，=1可得（ 1+4k2） x2+8kmx+4（ m2 1）=0，则 =64k2m2 16（1+4k2）（m21） 0，

38、即为 1+4k2 m20，x1+x2=，x1x2=，y1y2=（kx1+m）（ kx2+m）=k2x1x2+km（ x1+x2） +m2=k2?+km（）+m2第23页（共 26页）=，可得=k2?，即有 4k2=1（ m0），可得 k=（舍去），则直线 l 的斜率为定值【点评】本题考查椭圆方程和性质， 主要是离心率和基本量的关系， 考查直线方程和椭圆方程联立， 运用判别式和韦达定理， 同时考查三角形的面积的求法， 以及化简整理的运算能力，属于中档题21（ 12.00 分）已知函数 f（ x） =（ x 2）ex+a（lnxx+1）（ 1）讨论 f（x）的导函数 f'（ x）零点的个数

39、；（ 2）若函数 f（ x）的最小值为 e，求 a 的取值范围【分析】（1）令 f （x）=0 可得 x=1 或 xexa=0，讨论 a 的范围得出方程 xex a=0 的根的情况，从而得出结论；（ 2）讨论 a 的范围，分别得出 f（x）的最小值，从而得出结论【解答】 解：（1）f （ x） =（ x 1）ex+a（ 1）=（x0），令 g（x） =xexa（x0）， g（x）=（ x+1）ex0， g（ x）在（ 0，+）上单调递增， g（ x） g（ 0） = a当 a0 或 a=e 时， f （ x） =0 只有 1 个零点，当 0ae 或 ae 时， f （x）有两个零点（ 2）当 a0 时， xex a 0，则 f （x）在 x=1 处取得最小值 f（ 1） = e，当 a0 时， y=xex a 在（ 0，+）上单调递增，则必存在正数x0，使得 x0 ，ea=0若 ae，则 x0 ，故函数f（ ）在（0， ）和（0， ）上单调递增，在（1，1x1x+x0）上单调递减，第24页（共 26页）又 f（ 1） = e，不符合题意；若 0ae