《矩阵论》戴华_科学出版社_课后习题答案

1、第一章第一章第6题实数域r上的全体n阶对称（反对称）矩阵，对矩阵的加法和数k乘法。解：实数域r i:的全体n阶矩阵，对矩阵的加法和数鼠乘法构成r i:的线性空间/txn .记v = arnkat = a,1¥ = a/a gat =-a以为，对任®的 a，b a，at =a，br =b、则+ 即 j +所以 v 对加法运算是封w的；对任®的aeytker,ar =a,则即以厂，所以v对数 乘运算封闭：所以，v是的一个线性子空闻，故v构成实数域r上的一个线性空阆. 同理可证，w也足一个线性空间.p4l第一章第8题（参考pio例题1.2.5）证明：存在使得+102 +

2、 k/ty + k4a4 = 04：+o：+；obw"kx +k2 + k3+k4=ok' + a2 + 夾，=0 ! + ar, + a4 = 0 kt+k2+ kt =0得i =ij =aj = a:4 =0所以，a2, a3, 04线性无关p42第i章第12拽解：因a=x6zi+x2axya 3+x4«4即x+x2+x+x4=1xi+x2+xr2xxy+x2x.=-2x2=3x3=,x广1所以 a 的屯w为x，a：2，jci，xj =-2,3,1,-1im2第一s第13题答案rx)=3+2xnd (泰勒展开)r(x)-2(n-l)，2fix)=2(n-ixn-

3、2)x-5 戶(x>2(n-l)!f(b,(x)=of(l)=5 fr(l) =2(n-l) fl； 1 =2(n-lxn-2) fc-')(1)=：2(n-l)!f(x)=fu)+ fr(l)(x-lh hl)(x-1)2+fdxx-l)"-' 2!(n -1)?二 5+2(nd)(n-2 片 2+2卜”!(«一1>!2(2； (x-1)2 +2c；：(' (x-lf1取 fw=3+2xnd在® 1. (x-1). (x-1)2.-(x-l)”1 下的生标为教材p42习题14：求基=(1,0,0,0/, a2 = (0，1，0

4、,0) a3=(o,o，l，o) a4 = (o,o,o，1)f，到基p. =(2j,-l,l)r, /72=(03,l»0) a=(5,3,2，l/, a=(w3)r 的过度矩阵， 确定向u = (x1,x2,xj,x4)ra基我.py. ft,，下的坐标.井求一非零向fib使它 在这两组堪下的坐标相同.所涉知识点：基，过度矩阵及其应用，参岑例题例1 3.3-p16ii14分析：设过渡矩阵为r(p、，pl，卩3, pl，a i，a（i） = （«|，a2，6/”tz4）12131*p' =2a +kz2 +-la3 + l«4 /?2=0ai+3a2+l

5、a3+0a4= 5at + 3a2 + 2a3 + la4 a +6a2 +la? +3a42对比以卜.两式.w得过渡矩阵r= j 10 5 63 5 61 2 60 1 3设=(x"x2，x3,x4r在基pr 戶”a，卜的坐标为p = (f>l a，b3，b4 ) 则21-1向s = (xl>x2>xj>x4)r为任s给定向最，b b2bxflx +b202 +b3fl2 +b4fl4» 即右=-二v麄a任息给记的一个向诺，该向a的甸个分嚴可以吞做已知a.向钻b2b3为给定已知向x3a-在幕代，凡，a, a下的坐标，其坐标可以看做圮方程afl=的解

6、，其中矩阵0 5 6 3 3 61 2 1 0 i 3 «fl = (b>b2b4)为要求w。方程afi = 4是非齐次线性方程组，该方程有解的充要条件是 r(a) = r(a)m得该方程组的解即可确定向= (x,x29x59x4)t在堆从，fl”久，凡下 的坐样.21-103106613rx(4-r> 戈i0<4-r)xr(4-r«4-r) xii=23,4 x,是在初等和交换的过中受換而来的。为给定的肉徵的坐标 k然由卜.式可知：/?=(««>©没某一非零句w为a = (a,h,x3，x4)向玖ai«a,，

7、a2, a3, a4下的生标为0z=(aiw(zn(z3,a4)x4)f在基ah a00100100(x，,x2,xj,x4 )则又=x、p' x2p2 +x、p、+x"4 = xipl21-10310，化简该式uj得如kit次线5321.z, =x|tz2 = jt2,又3 =x3,x4 =x4 4 卜的屮 th 力(x|，又2, *3,欠4)，由题 w、知：hd 41. a =(x| y xj 9 xy 9x )在基£z|，£z2» ct j与基代，p” a,久下具有相同的坐标，即向扱义在基an a，a，久下的坐标也性方程组:q + ox2

8、+ 5x3 + 6x4 = 0c1+2x2+3x3+6x4=0(丨)，方程组(丨中系数矩阵-lxj +x2 +x, +x4 =0x + 0x2 +x, + 2x4 = 06j，向恐= (xpx2,x3，x4),写成矩阵形式即为：ax = q n).求方程2组（ii）的解就是所求向鼠。对矩阵a做出的行变换如下所示:10 56r2-rl'1 0561 056'10561 -12 36rmr4-rl0 2-2 010 1-1 00 1-101 一-1 1 110 1 (s 7r2.0 16 70 0 7 71 0 120 0-4 -4f4xll40 01 10 0 11晒105610

9、 5 61 00 101 -1 0r2>r301 0 10 10 1->=c00 1 100 1 10 01 100 0 000 0 00 0 b0 0砧然，/i -> c, a c 相似。r(-4) = r(q = 3<w = 4, dct(a)=o,方程 ax = o 有非零解，由上面分析姑得解为：=12=13=14=-1>5所以满足条件的一个非零向为又=（1，1，1，一1）其在基a,. a2, a”与基戽，fi2,戶”戶4下具有相同的坐标。 （注：所解过程如有不对地方，边议各方交流啊!）第27题v = /?4,s = （1,2,2,-）r，（1,1-5,3）

10、r（3,2,8-7）r d =（3,l,l-3）r 解：令3, =（1，2,2,4）么=（lj，-5,3）r,33 =（3,2,8，-7）r取aa =a24-k-21a1,（/?2,i）=（a2,1）+/r21（ai,1）=ox （w）2，（w）（5p5.）pi =5:+ai =（2,3，-3,2厂，久=3,+«-31 +r32/?2，且/?,丄久，久丄及 。=队，a.）（a，（a）（a，久）所以久=a3 - 3从 + 久=（2,-1，-1，- 2），3,，a2,正交化从，戸2，久再取久，使z?4=ai = 1,2,3 令凡=（/p xr 龙3, xszl+2,2+2,3-/4=02

11、zi+3z2-3zj+2z4 =°2z|-z2-z3-2z4 =0取 z=i，z2=- z3 =y，4=丨得氏合 f 8、汐 i r pi = pi _ p、 _ pa _ p美=p = 726*5 =kj = ?26由a = （3，l，l，-3, =z,<. +/2<2 +z,<3+z4c=>zi =抽z2 =0z3=vio z4=0第二章p78第2章第6题（i） 3 （x x2f （2xrx：9 x：+x xi669£卜卜.0卜0卜->=(y(7/ -7/ -7z)c女厂(7/ /'/> = (0 a 汐)v(la '

12、uh 7/ 7/mm01z1-to £vl - 霸分 <'a). (fyh -7/ 'll” 卜dydd cu / '/)e(汐 *z * '> £d ch 4 hla)rpiti-'roio*ri 作令 o*i*i (心力 7/)-(*/ *7/ /，gv roii卜i i0i or卜 麵i卜n*1- roi o'fi- ,a-dc7z ll -7/> w(- a.<? 'a) - (7/-7/)h« (d00irro ou 蠼0*0*1rro (wws、to*i *z者|0>

13、=1 分 £3，1，-1，-10,1,0,-10,0,6,20,0,02缺第8题第二章第九p79 页:102,-121解：(i令3=1252-211即 | ae12.£3,£4 =(£v.£4)a-2("i，"!,) = (a，w4)p，由题u知:1 0 -2 3 0 11 10 0 0 01 01 2.在堪下的矩阵为pap那么，j(，/，"2，"3,74) = a(e”w4)p =(£l9e29£4)ap (2)山线性映射值域和核的定义可以捋到：r(a) = a(a)facv = v

14、 n(a) = aeva(a) = 0ev第二章第10题10迕n维线性空间中rxn,记义线性变换9(/(x) = fx),其中/(x) g rxn 求3的值域解： 謂=常数卜 r(d)espanjyx，x"-2.取4 =0i0 0 '002 0z) (qf 2，a > = (a，&.2， ，a)000 9 9 9 響n-00 0与核r0010020、0d =000參參 參 * w-1、000 0 >n(d) = fdfx) = o. / = r(o,r1,-,ra_1r(d)=df(xferxl,rm = r(d) = rj/ = r。+ r,x , n(

15、d) = r0| / = r0 +r,x = rfx)第二章13题解:(1)由题可得 a(al9a29a3) = (al9a29a3)a(a，/w3) = (a"a2，a3)p ahpy、，pmp'ap(2)haa = m <=> ax=axz-l -2|u 卜 0a-22 200 =0即(2 -1)(/1-2)(a +1) = 02 + 1特征位0 -2 0"b1 0 1人=丨时.把岑=1代入式屮得0-100 1 02 2 2 諺0 0 0 1则 x, =-3,x2 = 0 特征向s:为 x,= 0 -11-2 0'"1 0 fa2

16、=2时，把a2 =2代入式中得0 0 00 2 12230 0 0 2则x = -x3,2x2 = -x3特征向设为x2=1-22 -2 0 0 o'乂3=-1，把a3=-l代入式中得0-3 00 1 02 2 00 0 oj0则 x, = 0,x2 = 0,x3 e r 特征向s为 a*3= 01第二章1414.没线性空间r" d3的线性变挽a定义为r2 + x3求线性变换a的特ff值与特征旬暈.取涿推柚a,:rfjx2uw aex =0.ae2 =200e2, e3下的矩阵d =0a-20 00=0 wj(a-2)(a-2)u-3) = 0可求得特tffft： w2=2,

17、23=3.2-2a = 2a2 = 2 时，iti ?4x=2x 可得 0 00 12-2 003-2砌0 0 10 00 可得x3 =0：0 0 1丫vlii此得划对应的特征向带：x=0，戈2 =100= 3时.山= 可得01-1012-30=0-1003-3000mx( =x3，x2 =0；由此2-300即多项式毎一項都成立，mftp(a)=pp(b)p笫三章a*a-4.|第三章2 (1)、(3)2.化t列义矩阵为smith标小形:由(1)得 b4=paa p1乂*11乂 p*1(一)1番a102(-1)>1 00又iuja0-又22+1(-!)0-a20 a29 搿到对应的特征闷墩

18、：x3第二章1717、(i) b=papbfpap"1 )* =pa* p-1 结论成立p(a>=a1 a +a2 a(3)b =(pap"')r =(p"') / ap7)*1 a7 pf 即结论成立a+i r+i r 3a- 3a2-1 22 + 2/i a-l a2-l aw：2 + 132-1j2+l3a2-1乂2_及2+ 221(-1)2+31-3) 2 22 2a2-a又 2-/l:备u22 a2-a00 0乂-1 义2-1a乂-1a2-a麵乂 _1义2 1又->200222-220 -乂 3+3乂2->2002又2

19、- 220 '2a2200-220222“2(知000乂）00024x-0000第三章33.求下列乂矩阵的+交w f和初等w f: 又-3-10'（i）0 又-3-100a-3a-3-10 -1 /i:-30-1a-300 乂-3-1->a-30 -1-0（又-3）2-10 0a-310睡0 a-300a-31001 0010000-3)2-1-0 -1u-3)20100>02-3麵0 a-3*000解：由题番知:-所以，此行列式的初等因子2乂 2-l0又2-2a0-> 024l(-l>w(-1u2-x|) 0022-/l0002, - 2乂 00-a3

20、 + 2a2 + a)0故此行列式的不变为</3（2）=（a-3y. </2（/l）=l名（乂）=1。第三草.6 (1)解：由于冋理可得/j-b-20x- 32 -200（入一2）:><与5具冇相同的不变因子，故>1与5相似第三章9求jordan标准想 参考p107例3.5.1'2,6,-15a= u,-5>，又-2，-6，15、<-1，-2，又 + 6、1，2，-义-6、1,2，-又-6、aj a =-1，乂-1，5=-1，又-1»5=-1，又-1，5=0, 乂 +1，一 a 1、-1，-2,2 + 6?、又 _2，一6,15,0,

21、 2（2+1）,（2+3xa+1）,'k2-a-6 y'1.0,00,a +1，一 a 10，又 + 1，0、0,0，（乂+1/ ?、0,0, （乂+ 1）2则a的初等因子为2 + 1. u + 1)2,故a的jordan标准增为卜 1，0,0、j= 0，-1，1 b，o,-dl。© cmv*j 献i?r-。詩4p:a，w0 丨*_jar.r- -3p4 p f4-rf>縱-dj:g及m:（，wm （从 h-a）x”r，吋wwwjdqgv1=ui 吨了 , _ .k：卜j.峨十3 1 -14 -22'(1)0 2 0(2)-5 7 -51 1 1-6 7

22、-4 第三章第14题14求下列矩阵的最小多项式:a-3解：u)由/(2) = |27-|=0-1-12-20 =(a-2)3-12-3再由4-2/*0，c4-2/)2=0得a的设小多项式为以2)=(又-2)22-4/=|- |= 562 7+ = 4- 7p142.第四章笫三题(1),求f列矩阵a的满秩分解:验证 ti-2/o. j2-5/1 + llz# 0得 a 的最小多项式为 23-722 + 2u -22第四章参考例题例4.2.2(i) 4 =0-11001230取£.=010则 l.a =021-1-1010-2»-111001230取=010则la=021-10

23、1100001 0o'1 001230闪此 a = ll illa()=0 100 10021-11 010 -1賺100004-9 (1)r + l=7，/3| =1/2，/32 =-1,w33ki时，/2l=l/210o11230=010p21-1101to000ml1 012 3 o'8 =0 11 0 b，c=0 2 1 -1_rl0x0wi2令 a»l u->2110會0w22ai100山公式：，j>i时，rj所以：un =2,wi2 =3,u13 =4w22 =-1/2，m23(134、110 0u=0172丄、210-11<020-it

24、tld分w为：l=乂令 u=d u*=202000-1:卜=a/<=3 = 0xi+!il+!£= i：n <= 6 = ££wxq+ ':«xi + v,nx ir/：-=zzn = qxq+zznx + zlnx'li s y= lv<l=oxo+zz/,l+5：，wx,z7 s |= iz/<=l = oxo + ox|+ll”xlr， s t = iln<= £hxq+£：:«xo+£,wx|2 £ = r,n=£ = oxo+ zr

25、1;xo+ ：，wx|83 = 0£+£+'9- =+ zx9 + f (2)0=+£+6=fr9-zy3+'r £-=fr6 + zr+'r 1=! 3 = ,n<=3 = oxo + oxo+"«xi卜1 r“" 0 0i lil il6 i 1=00 i lzirtu m=v 串fr £ 3_iln zln lln_.0 0 1un o 0ilyv z fan un o-n s0 i '7"1 :6 i i=v知虫球多:釵sar利k i)/n z,w "

26、;”_0 0 l_p £ z 街a萆w莳mj 酬共m w刼唞级岁出敁01 踊01遒*10宙i o 0fj-0z00 iii ii i0<0i0z000乙、i z ti所以l=2u- 07-1a = lux = b 根裾lu分解ux = y ly = h23410 0_«12w.j(2解：据题®可得：系数矩阡a-352:l=1 0:0=0u224330辑人1_0010 0'卜mi2wil"2 34由a=lu即/211 00u22u23=3 52b04 330得：ixmh + 0x0 + 0x0 = 2wu =2 ；ixwl2 + 0x1/22

27、 + 0x0 = 3 =>u,2 = 3 ；ixu+oxujj + oxuj, = 4= wb = 4： /2i xwn +1 x0 +0x0 = 3 =>/2,=+/32xo + lxo = 4=>z3l =2/2| xm + lxw +0x0 = 5 =>w22根据lu分解苻ux = yly = b0第五章第.fi章第七题”=0y2=-5y、=-2 y、y20-5-281 0 o' -1 022 -6 10(1) vx e c"，令 y=ax e cm，则 x" a11 ax = y11a" ao同理 vxecw,令 y = a

28、hxec 则 xh aah x = yh y>09：. aah >00 0nxm(2)秩(aha )秩pnahap=r，3可逆矩阵 p，q，使o o7r o.qhaahq =0a,ra aan有r个特征值。m13 +/32xm23 + lxu33 = 30=>u33 ='1 0 o' 2 34-1 02:u= 0 - -4 22 -6 1o 0 -2所以l=/3，x(3)列满秩=> ana非奇异且根据结论1 => aua为hermite正定矩阵第五章第6题f(xy.x2.x = ixxx1 +xx3 -ixyx2 +xx1其解矩阵4= i 00的特

29、征值为1 0 0y/2首先对2 = v2取特征向u：i, = -iv2 + 2/_v2t1 .r3 + 22(2 + )2(2 + )上2 34-22 . 2(2 + 72)' 3 + 2vi2(2 +vi)7200_4i_ -了 y>2 . 120-么tz_v22矩阵_v2av2 . t1 ._v22 * -丁的特征向是一 w，0首先对a=-2取特征向j令h2 ='v20*0从髓 2h、ah、hh2h =0-v20=a000i 0.0 h2故/(xl,x2,x3)= x/zar = y"a,v 所以其ft准形为：f(xl,x2,x3) = >jr2yl

30、-<2|2|2 第五章19.2()10 32 2 03 2 1设/3/312 1r3olo142/2/301-2/3即对a进行au分解c得10013a- 2/310x0ll/3 -1 lj lo对 a 14ff ldu 分解后 a ,2/31 oxoll/3 -1 lj lo朱八早.求对角允为ii:数的卜三角矩阵l使得a=ll21p.198习题第6题题h: 6，k/l = (apgcwk令p| = «max|.|.证明：|«|是cw”上的相容矩阵范数。证明:v4 = (av)ec，、b = (dv)6ca-1所以|cv| < i么 | wmax| x|从而|确=

31、 wx cjnmaxll/ifmx b =|zi| 侧 所以|.|相容依题,s,易知，0 时.|-4|>0：当/1=0 时. ml=o:nx|ay|+"i严 |5j=p| + |b|对任&a，bscmn对任&k ec, dec關，有|以=wmax|am =|a|wmax|«zv| = |句.p|;有|j + b| =ramax av +z>9 < wmax 4/1所以|ficm'n卜.的相容珩阵范数,第六章第7题(喇h ik(2)a/:乂，rz-kbwkm 硐 miiwlhm-斗 i 第六章，第十题，pagel98.问题:对下列矩阵

32、a.求k，mi2，ml，mia"-1 -1 4晒1 1(1m =1 121-22(2m =01-21解：（公式）（行和范数）imi2=«（w （矩阵的透范数）=（ay为矩阵zi的共轭转e矩阵.k=zm （列和范数） >*ml =<sr （ frobenius注总：不足m|f=（k“因为在s数矩阵屮这 样计算&不正确的，<1）®|1 =maxl + l + l 1 + 1 + 2 4+2 + 2 = 8-1 11 _-1-1 41+1+11 + 1-2-4+2+2一3aha =-1 1-211 2=1 + 1-21 + 1 + 4-4+2-

33、4=04 22j1-2 2 細-4+2+2-4+2-416+4 + 4 00 06 -6 -6 2406= (2-3)(a2-302+ 108)=0义一24解 得 ： 岑=3a2 =30 + /302-4 108230 + v22 =30+力02-4.108230+彳4682-m*i30+468所以 m2=7l5+vtt7ml= maxl + l + 4 1 + 1 + 2 1 + 2 + 2! = 6|k = <1 + 1 + 16+1 + 1 + 4 + 1 + 4+4 = *33 （2）用冋样的方法求，注®1 1 10 1|_-2 1.a"a =第六章18-13

34、1 + 41-2的收敛性.试讨论_:人:3设a=-1 -2，使 tap=j =，则介在卜0 1，从而蒋级数收敛.第七章第七章1対下列矩b汁算,'和sinj/2 0 0(i) a= 0 0 0 12)/u) =，/(x) = /#00'=0 ef0 0 3)fx) = snxt，f (x) = tcosxt0 0 sin/ /cos/ 0sin/sin 2/sin at =00114 人.01的特征ffu = 2 (三甫) 3初等闪子2-2和(/1-2)2k-200；j-a =-1又-1-1-112-3=(又-2)a-l1-12-3= (2-2xa-2)22即求逆解尸使p_'ap = j= 0 0令 p = (pvpip3)j af=2p即-ap2=2p2牝=26由(2/-4)x = 00 0 o-'4-1 1 1a=0-1 1 -1 賺