张量分析答案完整版

1、a &智版张h!：分析习迟! ?$案完版笫一章1. 1 求证：巔x(f* 淤)=(磨_-(/_ ip并问：ux(vxw)与(uxv)xwli否相等？ ii、v、w 为欠w: 证明：冈为 11=(，,，/:); v=(ur，k); w=(w；,m/r,n：)； 左边=atx (rx 解) = (，/r) x| (v,，u) x (wm9 wv w0 _ / j /= (wux v:m; = (、，,，:)x (v h： - m；k),(wtv. - vaw；),( vtwt - w.v,) =【，:(v, w:%v,)，/,(m；k -v,)-z/r(v- wrv j= (4 w.i + . m

2、 +zzrm0f (4 h + j wj + /w)* (uxv)xwi ll tu抓上题结果验筇公式：g, = gji由 i.题结果：纛，*(-，+/+ it). r2 =y(/-/+*). ,=!(/+7-jt) 2 当 r=ss=v 当，*iig1 + 玄 1.他们满足坐标转变关系，宄将#用/龙衣示，我们吋以得到t讲=p-p-pa77 = p;p/pr（/，y，. = i，2,3）:都为零.等式左边在新坐标系下的张摄分撥都为岑 即rtyj.r全为岑n阶张量同理可证.当一张s在一个坐标系中所冇分世都为；时， 则他们在任何坐标系中亦必为零1.31己知：h为一矢s的协变分。(根裾p31贞所讲的

3、张量的对称与反对称知ir來证明这个题目。重点 5綱 =)求证：反对称二阶张最的协殳分量。ar d.r证明：d.xm又有kdr州综上可知:宗-尝*-反_二阶賴_变分最由 丁 ： :t = ! vw w 所以l广工-纥(与-与 ( dxnar ar ar- avm即7;. .、= mh-l) = m 匕 p”、d，a!” m ” ww) 所以的iih为二阶张w的协变分w。、dr* dxm当m = ”时恒有= 0qvm dvn1.41质童为m、绕定点o以角速度m转动的质点(见阁)，其动贵矩矢敢 的定义其中，/力定点o至疝点的欠抒，p力质点的线迚度。 求证：/=/,式屮/为惯性妬张w:，z=/(r*7

4、-/fle明：z = /zfx v=z/4tx= 4oxr*r)-/tr*1.51己知向馱珥与二阶反对称张(rtfl.,矢璜叫与二阶反对称张吊02分別互为 反偶。反偶？1 求证：to2 = -d)2 =(e: qj) (e q?)2 _=ggjgk : q广妖)(# grgsg,: q2 v.i)=| w - 5；)q/q2j/ = 士 (q-吻冰) 知h为反对称张w，故a 冰一一a第二章2.2己知：二阶张尕厂与tth：h转;？ 求证：r与a具有相同的主不变景。证明：对丁 r:j； = t:人乃二叭t.t):t.tg= d二t.t.tg:r；t；tt 对ts：得证。is 已知：任二阶张.atb

5、,iv t= 4b，s二 b、4 求证:t与s具有相同的主不变置，证明：j,* =汐=ba.b-.g=tjgs.77z :汐gagb =乙广 =吵二 tr、b b. a-. g: m tjg :，gagb = t， .汚棋有相同的主不变量。2.4 求证：(1) t n v w+ a v t w+ a v t w= 式左边= h8i v. wbgj+r/ g. ty% wdga|+pg. v g, tjgj=| /人 x+s 尸/ = i(2a；w v w】+25; v w+25；i v w)o=775； v w=7； v w=rl v w，命题m证。(2)式左边= ha/& bbg. cl+k

6、g,t:cbg,+|7g，bj t；cbgjt t a j b b ce iae_-,t；+ vws a 沪蜘 +=|t：x-5/3/)a b c】+(5x-5欠i，b c8-8 b c)_!(w5:-，】t lube山命题得证。2.5 n9a=iva2 = j-a2a2 n(!、=巧 a .巧a 9*2 =1 e a .a2l式左端相等，ax =a2 n ax故jt心端也相等，= 0注怠到人一人*0 啊=0所以巧，而,a3互相ie交11唯2.6(1)(2)(v) =aa =-200-20-又= _(a + 2)(z-l)(a-4)(2)jv= 4 巧巧+ -2r33= o;(iv -=0;(

7、/ + 2 a)巧=0 2 2 112 2.212 =鵪+ ( + 嶋，我=农 + 嶋，嶋=衊+ /、+ 3 3333*33332.7己知:v= 10 + 4（今6 + 6今）+52今一2（今今+ ） + 3（今今+峽）一今今 104-2】=453-23-1求：（1）主分量（从人到小排列）（2）主方向对应的正交标准化基名（右于系）。10 又 45-又 3=03-1-又令4鵬:2-8求证对于任意二阶张量7有a(a) = det|a0,7.7-0 解：设1t为任一非；矢w，它与二阶张wt的点积t=v 也是一矢s(t r ) = t-r，所以t f为对称-：阶张(/r-r|.m= (*rt r-u=

8、(r(r-=卜f 之 o故由定义户7o。冋押i证prto。竹尸为可逆二阶张hi:，f 为对称二阶张h!:。只打为岑w:的时(r*|=o由定义-iv-m=jv：mmo, rr.ro。同理可证r-rt o。2 17已知：正交张0。求证：6 = 亦为正交张证明：. 交张ft，则满足(fwyoa则=亦为正交张吊2 18己知:对f任意矢量u,v,均成立(q-u) (q-v) =uv求证：交张证明：:qruhs-qnyju，-qod-q-crf = avjg, 叹，-z)= q戶卯，=卯 :uu/vw所以：qi 即q为正交矩阵2-19证叫：(r)x(.w) = (.r)(w)：e=妒=故胃” e例=蜘，2

9、.20 已知：v,正刻的求ff: (汐 v)xp*w) =(det,)(-1 )r.( vx w)证明:所it命题等价f(v)x(a 叫=(det 汐)()( v x w)得:、紳(崎疔声戸咏 = det(rx 罗/，) 即命题成，x.得证，其他类推221求证x=t，与z=77 rzmk为le交相似张鐄。 即存在正交张量q.使x=q y证明：q y q1 qtttqttqtt qttqtt（qtt=77z注：正交张燉存在如下性质：1?1 = 故命题得证2 24已知：二阶张rr=. l.今巧+巧巧求（1）进w加法分解 2）进行籴法分解0 n = 0300（2）乘法分解-1i2v3o-1 也t =

10、 qwh002&正张坩y为0 10，jt屮所设y满足正张嫩所求q张！满足=qt正交张w0032.25对r以k三种应力状态的应力张量s，将其分解为球形张量 和偏斜张量s。求 k与jf,以及偏斜张m4tj v角。(1) 单向拉伸:s=s209 s2=s3=0(2) 单向压缩;s=s2=o, s3=-so09s2=09s3 = -t解：s000山题总佾应力张.s=000000所以 += 5。j =detr = 0 又冈为n=p+d3 0 当 z1 j所以偏斜张d=0-000 -r所以 yfcos3v/27jfw(2) fh题总得hv力张w5000003 0s= 000，球形张01r0000听以1 i

11、 30，偏斜张於=001一 s 30002-s3去（厂=0jl = det 7 = 0（3）由题意得应力张s:s= 0 0 0，球形张mo0 ，偏斜_）所以/=7；+乃+右=0z=|（7；-）=f=detz=o2 26lgj证明:.由已知条件0为一正交张量得: f = qr又:亍：qtqt得， f 二 q * t *两边乘以f得，tqqt.oq即 tqqt.又已知z的特征值为又，7的特征值为a,2.27 maj = aarm -= m/m:j5/ = a5/a5z=又因为a2 = n，所以有mv = n;n=所以,st和m2 =n有相m的特征向墩，所以，其主方向相同。228己知：阶张w:.泛为

12、仃:盘正交张ft.对卜切泛.均 求证：w为球肜张is证叫：二阶张在 刈正交*小准的并欠展汗式为+? + x3r,/, + 為戶我 + 為2久(+ 由j泛为任意正交张量，収正交张+h1(-4， (f = a叫=4:l“j埋，収le交张+e2st证:夾=4故：a= an + e:e2 +气气)足球形张ff:.tr (t)=rj jtr (t2)=rsrj!tr(，3)二 rsrrswt不变眾与半标的变换无关，闶此4以将上试与炻阡屮的乂秦分别对l、v tr (j)-n1 + n2 + n3tr (t)=/vt2 + n: + n32 - 2珥2 - 2ca2 - 2吟2 tr (t)=p83 页2.

13、 23偏斜张/）与它对应的对称二阶张s.v具有相同的主方向& 且其主分量满足1今y m 2, 3）第三章3.1己知：v为矢s。求：/=/足否为*的各叫冋性函数，井说 明理由。答：是的。3.2已知:t为二阶张量。求:下列函数是否为t的各向同性标量 函数，并说明理由。（1）在兄一特定的笛卡尔坐标系中（2） /=tr:t?r： （l）是。/=r：tt的小变瓜。（2）是。人；x;3.4己知：二阶张fit。求：下列张量函数是否为t的各向同性标量 函数，并说明理由。（1）h = t（2）h = t.a.t答：（1）是。|f f = （q.t.qf = q*r.q = |t j（2）不是。t-a-t = q

14、.t-（q.aq）-t-q,般 q.a*q*a3. 4己知：二阶张量to求：下列张量函数足否为r的各向同性函数，丼说明理由。解：（1）是。（t、r = （q.t qr、r = q tt qt = /、 （2）不足。t at = qt（qt a q） t qr, 般，qr a q a3. 5己知:二阶张量r的张量函数b“.t （x为二阶常张量）。 求:x满足什么条件时，h是t的各向同性函数。解:当a是球形张量时，h = att的各向同性函数。h = at sit的各向同性函数即“a.t =（q.a.qt、.t，所以q aqt =a 设二阶张在在一组正交标准化基e.，么，c3中的并矢展开式为4 =

15、+ 20|02 +313 + ac2ei +-422e2e2 + 32c3c2 + 333c3先证乂足对称张s。若収ih交张+ w + w（为关于人？ 平面的镜面反射,则q qt = 4ieicl - 12eie2-43e!c3-2!c2cl +2 + 為声 a _ 屿1c3c1 +2 + 馮#3久 由于q a qt =a故 口了证得，2 = 0，-13 = -13 = 0，j421 = -a21 = 0，j31 = 0m现?i: ii.q = ej -e,e2 +e3e3j证得-3 = 32 = 0故+z22c2e2 + 3333 足对称张i。再证x是球形张贵。即证4!=3若取9 = e:e

16、! -ep3 +。3 (即绕x5转动90)q qr =no1el+nc1e1+jjojei由于q.a qw故可证得，4 = 4id理，若设0 = e.e, + e3e2 - e2e3，吋证得4: =故4 =+ e?e2 +e3e3) = aug 足球形张m。3. 15 设t=7；g =rggft的|交相似张!rt=戸t息k 中 a=q.ft = q-由于/(t)足冷向同性标量函数，/(t)= /(t| 故 /(t)=-ii? = -i o-g )1 o-g)=一q.r g,*q* = q-h-q* = h btu因此，h =，(t)是各向同性张量函数。3.16 设 v = m1 = vli：其

17、中 r, = q-r，r=q-rw为是的冷向m性矢量函数，故: ，(i=(，()没 h = x = r du,学 g=q.s dv2dvt=q*!g;q* = qhq* = h3.18求dd|广)的导数(t为二阶张显)。 wr(厂1r3.19求 (，为二阶张量1的转咒张3)。drgjgj gs3.20求 (尸为-阶张h t的转贤张足r 人mg,+)m：3.21求det(ac7-7)对；i及对r的一 阶、二阶导数(t为二阶张量)。det(又 7- 7) = 32-22+rdet(a7- 7) = 6a-18det(at7- r) =(-a2+ a5,r- )为尺:1十场函数求证：v(/|=(p(

18、vi)+(v(p|证明：v(/w)= giy(= )+(v(p)varax ax4.6己知：均为欠w场函数。求证：()!+(蓍ta证明：(* 胃)=匕去|v*w)= giw + gi = (vl)w + gi*v=(vvw+(gw)ev 4.7 ll知：为欠w:场函数.a为任怠适破。求iih: (cv/)xa=卜-证明：()-a(iv)= tva-vta= v- vtea4.8己知：u,i为矢w:场函数。-rue： viavl = ix(vx d)+vx(vxu )+u (vv)+v(vu j证明： x (v x v) + d x (v x u)+ u |vv|+助)49己知：u、汐足矢吊场函

19、数。 求证：7x（/xz= vu）+-z?）- uvv）证明h叫去（叫=gx芸芸：=v vv- v*v “、+ “. v v-u vv） 得证4a1 己知:某矢s场函数/，curia =o，divx/=o 求证:a是调和函数*即7 v/ = 0 .（捉水：r先证 vx（7x/）=7（r-/）-v.（ri）本题屮+对馆标z求和vx（vxu）-v（v -r.（7）w为关r指杯/，w为利称，关r指h:八w为反对称.故则 7x（7xm） = 7（v- ar）-7-（7jrlitt据此式，当7xa=0,7xf0,时,则v vu） = o分为调和函数4.12己知：标w场函数冷.矢w场闲数ffk戶不求和）求

20、：正交曲线少紅戏屮 grand0. div/1, curlf& v20 = v-v0 = divgrand （ 求技 联开的表达式）。解：r;= 一产，r = -zsiir0,r=r =-,r= -sincos，curt/*-u2：33)了戶去戶) +(负必|)丁各(7)- r(77z31)+(編初阪叫-去(w)4.13 e知：叫柱屮私屮欠k场函数/m衣达为，（.蟑.（是方 问的单位欠5:h h:w:场函数砍。求：christoffel 符 ；与广对平杯的导&;grand0. divf curlf及 v。v=x+l+edr_ r dr 厂 d0 dr4.14（2知：witt平屮矢吊场函数（ .

21、r；=r = -.r；=r = ctg. u余为零4.15己知:二维空问中(n.s飾系如图4 19其屮s是沿某-物体衣而的曲线边界弧长(选 择物体表曲确定点为起始点).n为沿物体表iftl外法线的长度(从物体衣曲起w),则物体 外部域内每-点的屮知均ufmjn. s描述(n0)o物体衣ifli点处的曲丰半抒及从刈s的 阶猙数均为己知.求：用r (s)及数.坐标im表示卜列各烦(xl=z/,rj = x)：(1) lame 衫数 a, b.(2) 用(n,s)坐标中位切向矢置衣示基矢量么，(3) 用欠砍的物押鼠分k/ = /衣示w张分/，/若f为标黾场.为矢吊场，求v/；v /z,vx/z,v2

22、/的表达式. (v-/=v v/).解(1) a = l, b = l + i+ n（灸为471 j-flftl的伞位欠r）4.16己知：y为n用俎杯.为抛物柱坐标.他们之醐足关系.r1 = af.i2 - jt）杜屮a=常数0求：对于/坐标系（只研究上半平面）（1）求堪矢.度黾张。（2）用矢量的物理分置来表示矢置的张量分里*（3）求 chi-istoffel ）。（4）f为标r场，=/名为欠s场，求vav /,vxzav2/的农达式 r-2to）2x2 （x1+j2）rl=w7pjjt氽力；r, = wttjv/= a（a）lv2+ 7z?（+）7l+|；?420 求证（力完幣系的必盟荼件（

23、对r单11通域也足允分条件）j p；t=pzif: （1）必也竹:：即la知发 力完粮系，求证/3=0u离，。兄心衫换又系（足w完整系屮从xw:）: （=p丁纛、,5r,zl（2）允分性：w已知t=l,求证存在曲线平标系?n,&ed.j在单连通域，a为仝微分.换肖之，使av1故：ru1=p；,)=yy从而421 ix利川完桡系与lh完锒系的转换关系山完樓系屮任意ik交曲线坐标的f衡力峙出m柱肀标系(/;r)屮用物理分鼠衣示的t衡方程(w力的物理分鼠记为凡，p的，m：叫拄坐你系p，夕，4屮以物现分的r衡/w:争+fe+il p- )+p/、=。drd: r么+务= 0dr r&9 d= r 么杰

24、杰+pz = 0 dr rd6 d: r422冋上题，试异出球平w系(r,(p)屮用物理分的甲衡an (ijj的物理分is 记为ar, 解：球坐标系屮以物埋分的f衡方私+7+7+7坟乂cot=0+pzr = 0必昏士脊+士 w啊=423试导出任意正交曲线世标系中用物理分品衣的f衡方稅。没4 = 4n 為=4i2= 73?任怠正交曲线坐标系屮以物理分hi:衣示的f衡力裎：+ _ = 0(為/11)+ -(3y/12)+ -(42/(13)+jrx31)+ 為 r21)- az i-a22)_ 為-|rx33)+ p/2= 0+ p/3)= 0各(為/22)+ -(.42/23)+ 咤奈冲2)+

25、a s32- az 备711rgmsx31)* t-2-(3-4iz7(32)+為x33)+dvataia2i)+a2 祭x13-本) a 鉄戶424试4出小位移怡况卜圆性坐w系屮用物理分51农示的极变勹位移的儿何关系。（以 h，“，:憾位移的物押分吊，e，.，.a以雙的物现分w。解：dr口，sdr)425是峙出小位移情况卜球坐标屮用物理分鼠表#的应变与位移的儿何又系，（以心為川零农水位移的物理分！i!:， .,.长梢.变的物理分w:）。小位移怡况卜求糾小系屮用物柙分w衣示的儿河尺系: du=- dr1 dum ii/a+wtgq/ sin 0 d(prr1 du91(1 dnr + dri9

26、/2 / sin 0 d(p dr第五*s.1取岡忭而上的gauss平标为（6（p）.见fflsis求：a岫，b砘、主曲. t r1 r2均曲牟，gauss曲率 w 由m得 p = /+ asin （p + cos（pi = (1a0)- p2io,acos(p，asin(p乂讽为 aafpap0 所以ip1xp2=(o,siii p.cos/)lbaapa4| = 0，2=么=0，么2=-2所以忑=時)t立(1) (2) aw1 1 1 17=tt = 05 j cftl：旋转曲血i:的gauss * w为(0, -) , w.im5.19,曲iftl上点的矢柃 p = /(r)cos8,

27、+ /x-)sin 0/+求：a岫，b鸪、主曲牟-，丄，甲均曲率，gauss曲r1 r2 率.解：a = /l-)f= ai =。，汶22 = t=-南，“2=0=zi =- _-.- = 0,/f =- b- 04a=) a|/u)|53i 14題屮的斜呦锥ifii上.己求得（0,二）华标系屮rcz ,siu 0 h-02 + 及2 + 612 + lccoso)求：a站、lu.姗女六.7-均曲宰-.曲半.ah=p p =r17 w/ a = -sin0a22 = p2 p2 = -*r(/ n+ (p)xp2)(-b0) =r!a. (a x p2. /?)+ r?ft-(pl xp2/z)= (-xp=) +(xpi) +(p：xpi)=(r1a+ri)(pixp2z?)= r所以得证5.6求证:奶位矢購的求蛐公式5.2 15a,b)式，