应用时间序列分析习题答案

1、第二章习题答案2.1（1）非平稳（2） 0.01730.7000.4120.148-0.079-0.258-0.376（3）典型的具有单调趋势的时间序列样本自相关图2.2（1） 非平稳，时序图如下（2） - （ 3）样本自相关系数及自相关图如下：典型的同时具有周期和趋势序列的样本自相关图2.3（ 1）自相关系数为：0.20230.0130.042-0.043-0.179-0.251-0.0940.0248-0.068-0.0720.0140.1090.2170.3160.0070-0.0250.075-0.141-0.204-0.2450.0660.0062-0.139-0.0340.206-

2、0.0100.0800.118（2） 平稳序列（3） 白噪声序列2.4lb=4.83 ， lb 统计量对应的分位点为0.9634 ，p 值为 0.0363 。显著性水平=0.05，序列不能视为纯随机序列。2.5（1） 时序图与样本自相关图如下（2） 非平稳（3） 非纯随机2.6（1） 平稳，非纯随机序列（拟合模型参考：arma(1,2)）（2） 差分序列平稳，非纯随机第三章习题答案3.1解： e( xt )0.7e(xt 1)e( t )(10.7)e( xt )0e( xt )0t(10.7b） xttxt(10.7 b) 1(10.7b0.72 b 2)tvar ( xt )2211210

3、.4900.491.960822203.2 解：对于 ar（2）模型：11021121121201120.50.3解得：17 / 1521 / 153.3 解：根据该 ar(2)模型的形式，易得： e( xt )0原模型可变为： xt0.8xt 10.15 xt 2tvar ( xt )(112 )(11222)(112 )(10.15)2(10.15)(10.80.15)(10.80.15)=1.9823211 /(12112 )0.6957200.40661112220.69570.15312210.22093303.4 解：原模型可变形为：2(1bcb ) x tt由其平稳域判别条件知：

4、当| 2 | 1， 211 且 211时，模型平稳。由此可知 c 应满足：| c |1 ， c11 且c11即当 1<c<0 时，该 ar(2)模型平稳。3.5 证明：已知原模型可变形为：(1bcb 2cb 3 ) xtt其特征方程为： 32cc(1)(2c)0)1不论 c 取何值，都会有一特征根等于 1，因此模型非平稳。)1。3.6解：（1）错， 0var ( xt )2 /(12。（2） 错，e( xt)( xt 1)11012 /(12（3） 错，x?t(l )lx1t 。（4） 错，et (l )t lg1tl 1g2t l2gl 1t 1tl1tl121tl211l11t

5、1。2l 1（5） 错， limlvar xt lx?t111(l )1liml4var et2(l )lim122122l1113.7 解：1211121ma(1)模型的表达式为： xt1tt 1 。3.8 解法 1：由xt =+ t1 t 12t 2 ，得xt 1 =+t 11t 22t 3 ，则xt0.5xt1=0.5+ t( 10.5) t 1( 20.5 1 )t 2+0.52 t 3 ，与xt =10+0.5 xt 1 + t0.8t 2 +ct 3 对照系数得0.510,10.5020,10.5,20.50.5 12c0.8 ，故2c0.55, 。0.275解法 2：将 xt10

6、0.5xt 1t0.8 t 2c t 3 等价表达为xt2010.8b2cb3t10.5b10.8b2展开等号右边的多项式，整理为cb3(10.5b0.52 b2t0.53 b3)10.5b合并同类项，原模型等价表达为0.52 b 20.8b 20.53 b 30.80.5b 3cb 30.54 b 40.80.52 b 40.5 cb 4x2010.5b0.55b 20.5k (0.530.4c ) b3 k ttk 0当 0.530.4c0 时，该模型为ma(2)模型，解出 c0.275 。3.9 解： e( xt )02222var ( xt )(112 )1.6511211221220

7、.981.650.40.59390.24240， k3 。222112k1.653.10 解法 1：（1） xttc(t 1t 2)xt 1xttt 1c( t 2c xt 1t 1ct 3)t 1xt 1t(c1) t 1即 (1b) xt1(c1) b t显然模型的 ar部分的特征根是 1，模型非平稳。（ 2）ytxtxt 1t(c1) t1 为 ma(1)模型，平稳。11121c1c 22c2解法 2：（ 1）因为var (xt )lim(1k22kc )，所以该序列为非平稳序列。（ 2） ytxtxt 1t(c1) t1 ，该序列均值、方差为常数，e( yt)0 ,var ( yt )

8、221(c1)自相关系数只与时间间隔长度有关，与起始时间无关c1,0, k211(c1)2k所以该差分序列为平稳序列。3.11 解：（1） | 2 |1.21，模型非平稳；11.37382-0.8736（ 2） | 2 |0.31， 210.81， 211.41，模型平稳。10.620.5（ 3） |2 |0.31， 210.61 ， 211.21，模型可逆。10.45 0.2693i20.45 0.2693i（ 4） |2 |0.41， 210.91 ， 211.71，模型不可逆。10.25692-1.5569（ 5） | 1 | 1 |0.70.61，模型平稳； 10.71，模型可逆； 1

9、0.6（ 6） | 2 |0.51， 210.31， 211.31，模型非平稳。10.41242-1.2124| 1 |1.11，模型不可逆； 11.1 。3.12解法 1：g01 ， g11g010.60.30.3 ，ggk 1g0.30.6k1, k2k1k 111所以该模型可以等价表示为：x0.30.6k。ttt k 1k 0t解法 2： (10.6b)xt(10.3b) txt(10.3b )(10.6 b0.62 b 2)(10.3 b0.3*0.6 b 20.3*0.62 b 3)tttj0.3 * 0.6 j 1j1j 1g01 ， gj0.3* 0.63.13 解： e( b)

10、 xt e 3(b) t (10.5) 2 e( x )3te(xt )3.14 证明：已知12 。11， 121，根据4arma(1,1) 模型 green 函数的递推公式得：g1 ， gg0.50.25， ggk 1gk 1, k22011011k1k1111015g g22 j 321jj 11112245j 0j 11111170.271424g122( j 1)j1112111261j 0j 11gj gj kj 0kg2gj1 gj k 1j 0g2gj gj k 1j 01g21k 1, k2jjjj 0j 0j 03.15（ 1）成立（ 2）成立（ 3）成立（ 4）不成立3.1

11、6解：（1） xt100.3 * ( xt 110)t ，xt9.6x?t (1)e( xt 1 )e100.3 * ( xt10)t 1 9.88x?t (2)e( xt 2 )e100.3 *(xt 110)t 2 9.964jx?t (3)e( xt 3 )e100.3 *(xt 210)t 3 9.9892已知 ar(1)模型的 green函数为： gj1 ， j1，2，et (3)g0t 3g1 t 2g2t 1t 31 t 221t 1var et(3)(10.320.09 2 ) * 99.8829xt 3 的95的置信区间：9.9892-1.96*9.8829 ，9.98921

12、.96*9.8829 即3.8275,16.1509（2） t 1xt 1x?t (1)10.59.880.62x?t1(1)e( xt 2)0.3 *0.629.96410.15x?t1 (2)e( xt 3 )0.09 * 0.629.989210.045var et2 (2)(10.32 ) * 99.81xt 3 的95的置信区间：10.045-1.96×9.81 ， 10.045 1.96*9.81 即3.9061,16.1839。3.17 （ 1）平稳非白噪声序列（ 2） ar(1)(3) 5年预测结果如下：3.18 （ 1）平稳非白噪声序列（ 2） ar(1)(3) 5

13、年预测结果如下：3.19 （ 1）平稳非白噪声序列（ 2） ma(1)(3)下一年 95%的置信区间为（ 80.41,90.96）3.20 （ 1）平稳非白噪声序列（ 2） arma(1,3) 序列（ 3）拟合及 5 年期预测图如下：第四章习题答案4.1 解：x?1 ( xxxx)4t1tt 1t2t3x?1 ( x?xxx)5 x5 x5 x1 xt2t1tt1t2tt 1t2t3416161616所以，在x?t2 中 xt 与 xt1 前面的系数均为516 。4.2 解 由xtxt(1) xt 1xt1xt 1(1) xt代入数据得xt5.255(1)5.265.5(1)xt解得xt 0.

14、4(舍去5.11的情况 )4.3解：（ 1）x?1 ( xxxx+x)1 13+11+10+10+12）=11.2212019181716（55x?1 ( x? +xxxx)111.2+13+11+10+10）=11.04222120191817（55（ 2）利用 xt0.4xt0.6xt1 且初始值 x0x1 进行迭代计算即可。 另外，x?22x?21x20该题详见 excel 。11.79277（ 3）在移动平均法下:xx19x?112120i55 i 16x122?x?21a11 19x555i 1711165552520x i在指数平滑法中 :x?22x?21x200.4 x200.6

15、x19b0.4ba0.46250.16。4.4 解：根据指数平滑的定义有（1）式成立，（ 1）式等号两边同乘 (1) 有（ 2）式成立xtt(t1) (1)(t2)(1) 2(t2)(1)3(1)(1)xt（1） - （ 2）得t(1)(t1) (1) 2(t2)(1)3(2)xttxtt(1)(1)2(1)(1) 2t1t1则 lim xtlim1 。tttt4.5 该序列为显著的线性递增序列，利用本章的知识点，可以使用线性方程或者holt两参数指数平滑法进行趋势拟合和预测，答案不唯一，具体结果略。4.6 该序列为显著的非线性递增序列，可以拟合二次型曲线、 指数型曲线或其他曲线， 也能使用

16、holt两参数指数平滑法进行趋势拟合和预测，答案不唯一，具体结果略。4.7 本例在混合模型结构， 季节指数求法， 趋势拟合方法等处均有多种可选方案，如下做法仅是可选方法之一，结果仅供参考（1）该序列有显著趋势和周期效应，时序图如下（ 2）该序列周期振幅几乎不随着趋势递增而变化，所以尝试使用加法模型拟合该序列： xtttsti t 。（注：如果用乘法模型也可以）首先求季节指数（没有消除趋势，并不是最精确的季节指数）0.9607220.9125751.0381691.0643021.1536271.1165661.042920.9841620.9309470.9385490.9022810.955

17、179消除季节影响， 得序列 ytxtst x ，使用线性模型拟合该序列趋势影响（方法不唯一） ：tt97.701.79268 t ， t1,2,3,（注：该趋势模型截距无意义，主要是斜率有意义，反映了长期递增速率）得到残差序列 i txtstxyttt ，残差序列基本无显著趋势和周期残留。预测 1971年奶牛的月度产量序列为xttt?sxmod t 12,t109,110,120得到771.5021739.517829.4208849.5468914.0062889.7989839.9249800.4953764.9547772.0807748.4289787.3327（ 3）该序列使用 x

18、11 方法得到的趋势拟合为趋势拟合图为4.8 这是一个有着曲线趋势, 但是有没有固定周期效应的序列, 所以可以在快速预测程序中用曲线拟合（ stepar ）或曲线指数平滑（ expo ）进行预测（ trend=3 ）。具体预测值略。第五章习题5.1 拟合差分平稳序列, 即随机游走模型xt =xt -1+t , 估计下一天的收盘价为2895.2 拟合模型不唯一，答案仅供参考。拟合 arima(1,1,0) 模型，五年预测值为：5.3arima (1,1,0)(1,1,0)125.4 (1)ar(1)， (2)有异方差性。最终拟合的模型为xt =7.472+t =-0.5595tt -1 +vtv

19、t =ht ettt -1h =11.9719+0.4127v25.5(1)非平稳（ 2） 取对数消除方差非齐，对数序列一节差分后，拟合疏系数模型ar(1， 3) 所以拟合模型为ln xarima (1,3),1,0)（ 3）预测结果如下：5.6原序列方差非齐，差分序列方差非齐，对数变换后，差分序列方差齐性。第六章习题6.1 单位根检验原理略。例2.1原序列不平稳，一阶差分后平稳例2.2原序列不平稳，一阶与12步差分后平稳例2.3原序列带漂移项平稳例2.4原序列不带漂移项平稳例2.5原序列带漂移项平稳(=0.06) ，或者显著的趋势平稳。6.2 （ 1）两序列均为带漂移项平稳（ 2）谷物产量为

20、带常数均值的纯随机序列，降雨量可以拟合ar（ 2）疏系数模型。（ 3）两者之间具有协整关系（ 4） 谷物产量 t23.55210.775549降雨量 t6.3 （ 1）掠食者和被掠食者数量都呈现出显著的周期特征，两个序列均为非平稳序列。但是掠食者和被掠食者延迟2阶序列具有协整关系。即 yt -xt -2 为平稳序列。（ 2）被掠食者拟合乘积模型：arima (0,1,0)(1,1,0)5 , 模型口径为 :5 xt=11+0.92874 b5t拟合掠食者的序列为：yt =2.9619+0.283994xt -2 +t -0.47988t -1未来一周的被掠食者预测序列为：forecasts f

21、or variable xobsforecaststd error95% confidence limits4970.792449.4194-26.0678167.652650123.835869.8895-13.1452260.816751195.098485.596827.3317362.865152291.637698.838797.9173485.357953150.0496110.5050-66.5363366.63555463.5621122.5322-176.5965303.72085580.3352133.4800-181.2807341.95115655.5269143.59

22、55-225.9151336.96905773.8673153.0439-226.0932373.82795875.2471161.9420-242.1534392.64755970.0053189.8525-302.0987442.109460120.4639214.1559-299.2739540.201761184.8801235.9693-277.6112647.371462275.8466255.9302-225.7674777.4606掠食者预测值为：forecasts for variable yobsforecaststd error95% confidence limits4932.769714