基本信号及运算

1、X第第 1 页页第二章 连续时间信号与系统的时域分析 本章重点 1.掌握连续时间基本信号（简单信号和奇异信号）的性质及应用； 2.熟悉信号时域运算； 3.掌握卷积积分及计算； 4.掌握微分方程建立及求解（零输入、零状态响应）； 5.理解响应模式分析。X第第 2 页页2.1 基本信号的时域描述一几种典型确定性普通信号5.5.钟形脉冲函数钟形脉冲函数( (高斯函数高斯函数) )1.1.指数信号指数信号2.2.正弦信号正弦信号3.3.复指数信号复指数信号( (表达具有普遍意义表达具有普遍意义) )4 4. 抽样信号抽样信号(Sampling Signal)信号的表示信号的表示 tf函数表达式函数表达

2、式波形波形X第第 3 页页重要特性：重要特性：其对时间的微分和积分仍然是指数形式。其对时间的微分和积分仍然是指数形式。1指数信号tKtf e)( 单边指数信号单边指数信号通常把通常把 称为指数信号的称为指数信号的时间常数时间常数，记作，记作 , ,代表信代表信号衰减速度，具有时间的量纲。号衰减速度，具有时间的量纲。 1l 指数衰减指数衰减, ,0 0 l l 指数增长指数增长0 0 l 直流直流( (常数常数) ), ,0 K0 O tft 0e00 tttft X第第 4 页页2正弦信号振幅：振幅：K 周期：周期： 频率：频率：f 角频率：角频率： 初相：初相： fT12 f2 0 0 00

3、sine)( tttKtft)sin()( tKtf衰减正弦信号：衰减正弦信号： X第第 5 页页欧拉(Euler)公式 ttt jjeej21sin ttt jjee21cos ttt sinjcose j X第第 6 页页3复指数信号讨论讨论 衰减指数信号衰减指数信号升指数信号升指数信号直流直流 0 , 0 0 , 0 0 , 0 振荡振荡衰减衰减增幅增幅等幅等幅 0 , 0 0 , 0 0 , 0 为为复复数数，称称为为复复频频率率 j s ,均为实常数均为实常数 )( e)(tKtfstrad/s /s1 的的量量纲纲为为，的的量量纲纲为为 tKtKtt sinejcoseX第第 7

4、页页4抽样信号(Sampling Signal) 性质性质 ，偶偶函函数数ttSaSa 1)Sa(lim1)Sa(, 00 tttt，即即3 , 2 , 1, 0)Sa( nntt， dsin,2dsin0tttttt0)Sa(lim tt tttsin)sinc( tttsin)Sa( X第第 8 页页5钟形脉冲函数(高斯函数)2e)( tEtfOt tfE 2 eEE78. 0在随机信号分析中占有重要地位。在随机信号分析中占有重要地位。X第第 9 页页二、奇异信号二、奇异信号单位斜变信号单位斜变信号单位阶跃信号单位阶跃信号单位冲激信号单位冲激信号冲激偶信号冲激偶信号X第第 10 页页（一）

5、单位斜变信号t)(tRO11t)(0ttR O10t10 t1 1 定义定义 000)(ttttRt)(tfOK 00)(0000ttttttttR3 3三角形脉冲三角形脉冲 它它其其 0)()( ttRKtf由宗量由宗量t - -t0=0 可知起始点为可知起始点为0t2 2有延迟的单位斜变信号有延迟的单位斜变信号X第第 11 页页（二）单位阶跃信号t)(tuO1t)(0ttu O10t1. 1. 定义定义210 0100)(点点无无定定义义或或 tttu0 ,10)(0000 tttttttu2. 2. 有延迟的单位阶跃信号有延迟的单位阶跃信号3. 3. 应用应用a.a. 表示单边信号。表示

6、单边信号。X第第 12 页页b. b. 表示矩形脉冲。表示矩形脉冲。tO12 2 tf tG其他函数只要用门函数处理其他函数只要用门函数处理( (乘以乘以门函数门函数) )，就只剩下门内的部分。，就只剩下门内的部分。 22 tututf门函数：门函数：也称窗函数也称窗函数 0ttututfX第第 13 页页c.c.表示符号函数表示符号函数 t符号函数符号函数：(Signum) 0101)sgn(ttt1)(2)()()sgn( tututut1)sgn(21)( ttutO tsgnX第第 14 页页（三）单位冲激函数 概念引出概念引出定义定义1 1定义定义2 2定义定义3 3冲激函数的性质冲

7、激函数的性质)(t X第第 15 页页定义1：狄拉克(Dirac)函数ot)(t )1( 0 0)( 1d)(tttt 1d)(d)(00tttt 函数值只在函数值只在t = 0t = 0时不为零；时不为零； 积分面积为积分面积为1 1； t =0 t =0 时，时， ，为无界函数。，为无界函数。 t X第第 16 页页定义2t)(tpO 12 2 221)( tututp0 面积面积1 1；脉宽脉宽； 脉冲高度脉冲高度； 则窄脉冲集中于则窄脉冲集中于 t=0 t=0 处。处。面积为面积为1 1宽度为宽度为0 0 000tt无无穷穷幅幅度度三个特点：三个特点：X第第 17 页页 221lim)

8、(lim)(00 tututpt若面积为若面积为k，则强度为，则强度为k。三角形脉冲、双边指数脉冲、钟形脉冲、抽样函数三角形脉冲、双边指数脉冲、钟形脉冲、抽样函数取取 0极限，都可以认为是冲激函数。极限，都可以认为是冲激函数。描述ot)(t )1(ot)(0tt )1(0t时移的冲激函数时移的冲激函数X第第 18 页页定义3 以分配理论为基础定义以分配理论为基础定义)0(d)()(ftttf X第第 19 页页冲激函数的性质为了信号分析的需要，人们构造了为了信号分析的需要，人们构造了 t 函数，它属于广函数，它属于广 义函数。就时间义函数。就时间t而言，而言， t 可以当作时域连续信号处可以当

9、作时域连续信号处 理，因为它符合时域连续信号运算的某些规则。但由于理，因为它符合时域连续信号运算的某些规则。但由于 t是一个广义函数，它有一些特殊的性质。是一个广义函数，它有一些特殊的性质。 1抽样性抽样性2奇偶性奇偶性3标度变换标度变换4微分性质（冲激偶微分性质（冲激偶）和积分性质）和积分性质5. 卷积性质卷积性质X第第 20 页页1.抽样性(筛选性)()0()()(tftft )()(0ttft 对于移位情况：对于移位情况：ttfttd)()(0 如果如果f(t)在在t = 0处连续，且处处有界，则有处连续，且处处有界，则有 )0(d)()(fttft ot)(tf )0(f)()(0tt

10、f )(0tfX第第 21 页页2. 奇偶性)()(tt 3. 对(t)的标度变换 at ta 1?d)()5( ttft 051fX第第 22 页页5.5.卷积性质卷积性质 tfttf 4.4.微、积分性质微、积分性质td)t (ud)t ( )(d)(tut td)t (d)t ( X第第 23 页页4.4.冲激偶冲激偶Ot)(t )1(0 Ot)(t ot)(tst)(ts O 21 21 1ot)(ts t)(ts O 21 21 1)(t X第第 24 页页 （与与 tfttf0)()( 不不同同） )0( d)()( fttft ,0d)( tt tttt d)( 冲激偶的性质时移

11、时移)( d)()( 00tfttftt 阶导数：阶导数：的的对对kt 01d)()(kkkfttft , )()(tt )()(00tttt tftfttf)0()(0)( ， X是奇函数是奇函数)(t ，则：，则： X第第 25 页页冲激函数的性质总结（1 1）抽样性）抽样性 )0(d)()(ftttf )()0()()(tfttf （2 2）奇偶性）奇偶性 )()(tt （3 3）比例性）比例性 taat 1)( （4 4）微积分性质）微积分性质ttutd)(d)( )(d)(tut （5 5）冲激偶）冲激偶 )()(tt 0d)(tt tttt)(d)( )()0()()0()()(t

12、ftfttf )0(d)()(ftttf （6 6）卷积性质）卷积性质 tfttf X第第 26 页页四.总结： R(t)，u(t)， (t) 之间的关系t)(tRO11t)(tuO1Ot)(t )1( R(t) 求求 积积(- t 0，右移，右移(滞后滞后) 0，左移，左移(超前超前)Ot)(tf1 11f(t+1)的波形？的波形？X第第 30 页页2反褶)()(tftf 例：例：以纵轴为轴折叠，把信号的过去与未来对调。以纵轴为轴折叠，把信号的过去与未来对调。 O12 1 tftO21 1 tf tX第第 31 页页3信号的展缩(Scale Changing)例例 ： 已已 知知 tf， 画

13、画 出出 tf 2和和 2tf的的 波波 形形 。 波形的压缩与扩展，尺度变换波形的压缩与扩展，尺度变换 2)(tftf波波形形扩扩展展,2tt atftf0aX第第 32 页页f(t)f(2t)t2t，波形压缩。，波形压缩。OT21 tftX第第 33 页页4一般情况注意注意！ 0 aabtafbatftf设设展缩展缩 平移平移 一切变换都是相对一切变换都是相对t 而言而言最好用先展缩后平移的顺序最好用先展缩后平移的顺序 加上倒置：加上倒置： abtafbatf X第第 34 页页例题例题Ot)(tf1 11解解: :t)5( tf6 14 5 Ot)3( tf131O31 t)53( tf

14、12 34 已知已知f(t)，求，求f(3t+5)。X时移标度变换标度变换时移X第第 35 页页 信号的尺度变换在实际生活中的例子对于离散信号，对于离散信号，由于由于f (a k) 仅在为仅在为a k 为整数时为整数时才有意才有意义，义， 进行尺度变换时可能会使部分信号丢失。因此一进行尺度变换时可能会使部分信号丢失。因此一般不作波形的尺度变换。般不作波形的尺度变换。磁带或录影带快放慢放磁带或录影带快放慢放X第第 36 页页 三种运算的次序可任意。但一定要注意始终对时间t 进行。 例：已知例：已知f (t)，画出，画出f ( 4 2t)。平移、反转、尺度变换相结合平移、反转、尺度变换相结合X第第

15、 37 页页也可以先压缩、再平移、最后反转。也可以先压缩、再平移、最后反转。X第第 38 页页二微分和积分Ot tf2 2 Ot1 2 tf 1 2 2 Ot tf2 2 Ot1 tf d2 2 ddd tfttftf积分：积分：，微分：微分：冲激信号冲激信号X第第 39 页页注意事项： 由于引入了奇异信号的概念，不仅普通连续时间信号可以微分，具有第一类间断点的信号也可以微分，他们在间断点的一阶微分是个冲激，强度为原信号在该时刻的跃变增量，而他们在其他连续区间的微分就是常规意义上的导数。 在分段积分时，要考虑到前一段的积分值对以后积分的影响。X第第 40 页页三两信号相加和相乘t t sint

16、 t 8sint tt 8sinsin同一瞬时两信号对应值相加（相乘）。同一瞬时两信号对应值相加（相乘）。t t sint t 8sint tt 8sinsinX第第 41 页页物理意义：举例通信系统通信系统为传送消息而装设的全套技术设备（包括传输信道）。为传送消息而装设的全套技术设备（包括传输信道）。发送发送设备设备信息源信息源发送端发送端接收端接收端消息消息信号信号信号信号消息消息信宿信宿信道信道接收接收设备设备噪声源噪声源X第第 42 页页四、 信号的分解 为了便于研究信号的传输和处理问题，往往将为了便于研究信号的传输和处理问题，往往将信号分解为一些简单信号分解为一些简单( (基本基本)

17、 )的信号之和，分解角度的信号之和，分解角度不同，可以分解为不同的分量不同，可以分解为不同的分量X第第 43 页页（一）直流分量与交流分量)()()(ADtftftf 平平均均值值。：信信号号的的直直流流分分量量，即即tfDTtttd)t (fT)t (f001D信号的平均功率信号的平均功率 = = 信号的直流功率信号的直流功率 + + 交流功率交流功率 ttfTtfttftfTttfTPTttTttTttd)(1)(d)()(1d)(10000002A2D2AD2 X第第 44 页页（二）偶分量与奇分量对任何对任何实实信号而言：信号而言：信号的平均功率信号的平均功率 = = 偶分量功率偶分量

18、功率 + + 奇分量功率奇分量功率 odd :oeven :e: )(: )()()()(ooeeoeoetftftftftftftftftf 奇分量奇分量偶分量偶分量 )()(21)(etftftf )()(21)(otftftf X第第 45 页页Ot)(tfOt)( tf Ot)(etfOt)(otf 例：求f(t)的奇分量和偶分量X第第 46 页页（三）典型信号分量 信号分解为典型信号的有限项之和信号分解为典型信号的有限项之和典型信号在信号系统分析理论中有专门的典型信号在信号系统分析理论中有专门的分析研究，如将信号分解成了它们的有限和式，分析研究，如将信号分解成了它们的有限和式，则信号

19、本身的分析结果也就基本明朗了。则信号本身的分析结果也就基本明朗了。举例举例见符号函数见符号函数1)(2)()()sgn( tutututX第第 47 页页 问：如何用阶跃函数表示如下信号问：如何用阶跃函数表示如下信号X第第 48 页页 tf t fO（四）脉冲分量, t当当 , f脉脉高高：, 脉脉宽宽：1 1矩形窄脉冲序列矩形窄脉冲序列此窄脉冲可表示为此窄脉冲可表示为 )()( tutuf)()( tutu存存在在区区间间：X第第 49 页页出现在不同时刻的，出现在不同时刻的，不同强度的冲激函不同强度的冲激函数的和。数的和。叠叠加加可可表表示示为为许许多多窄窄脉脉冲冲的的到到从从)(,tf

20、）tutuf()()( ）tutuftf()()()( d)()()( tftf所所以以0 令令 tttututud)(d()(lim0） ,dX第第 50 页页2 2连续阶跃信号之和连续阶跃信号之和 01111d)(d)(d)()0()(tttuttftuftf 将信号分解为冲激信号叠加的方法应用很广，将信号分解为冲激信号叠加的方法应用很广，后面的卷积积分中将用到，可利用卷积积分求系统后面的卷积积分中将用到，可利用卷积积分求系统的零状态响应。的零状态响应。 tf1t t1t 0f 11ttf 1tfOX第第 51 页页（五）实部分量与虚部分量瞬时值为瞬时值为复数复数的信号可分解为实虚部两部分之和。的信号可分解为实虚部两部分之和。即即实际中产生的信号为实信号，可以借助于复信号来实际中产生的信号为实信号，可以借助于复信号来研究实信号。研究实信号。共轭复函数共轭复函数)(j)()(irtftftf )(j)()(ir*tftftf )()(21)(*rtftftf )()(