2011-09不变及分解

1、第九讲不变子空间与直和分解标准形和最小多项式的应用一、不变子空间例题 9.1使得 Wker A证明： n 维线性空间BV ，此时必有 ABV的任一子空间0 。W，一定存在A, BL(V ),这里构造的A,BL(V)，还满足BA0。那么在例题9.1 中，是否存在A,B L(V )，Wker ABV同时BA0？如果 WV 或者 W0 ，恒有 BA0，如果 W 是 V 的非平凡子空间， 回答是肯定的。命题 9.2设 W 是 n 维线性空间 V 的非平凡子空间，则一定存在V 的线性变换A, B, 使得Wker ABV，同时BA0。证明：取 W 的一个基底1,2,r，再扩充为 V 的一个基因为 0rn

2、，对于V,x11x22xrrxr 1作A:V Vxr 11xr 2r 2xnnB : VVx11x22xrr则A,BL(V)，且Wker ABV。此时BA (r 1)B(1)10，所以 BA0。什么时候可以使KerAWAV ？一个必要条件是dim Vdim AVdimker AV2dim W 。命题 9.3若 dimV 为偶数，且 V 的子空间 W 满足 2dim Wdim V ，则存在线性变换 A ，使WKerA AV。大学生数学竞赛高等代数思想与方法培训教程第九讲不变子空间与直和分解例题 9.4A,BL(V)，且A2A, B2B，证明(i)AVBVABB,BAA，(ii)Ker AKer

3、BABA,BAB。证(i) “”V，BBVAVV BA因此ABAAA2ABABB。同理 BAA。“”因为ABB,BAA，所以BVABVA(BV)AV，同样AVBA VB(AV )BV。因此AVBV。(ii)“”V，则BKer BKer A，所以A(B)0，即ABA，所以 ABA。同理有 BAB。“”Ker A，则BBA0，得Ker B。即 KerAKerB 。同理 KerBKerA 。得证。命题 9.5 若f (x)g( x) h(x)，且( g (x), h( x) 1，设AL (V)，证明Ker f (A) Ker g(A )Ker h(A)。证明因为f (A )g(A) h( A)h(

4、A )g(A )，所以很容易得到Kerf (A )Kerg (A),Ker f (A)Ker h(A)因此就有Kerf (A )Kerg (A)Ker h( A)；反过来，Ker f (A)，即f ( A)0；因为( g( x), h(x) 1，所以u( x), v( x)使得v(x)h( x)u(x) g(x)1，即有等式v( A)h( A)u(A) g (A)E。授课教师张卫2授课时间2011 年夏季大学生数学竞赛高等代数思想与方法培训教程第九讲不变子空间与直和分解令 v(A)h(A) ,u(A)g(A) ，则 g(A)v(A)g(A)h(A)v(A) f (A)及 h(A)u(A)g(A

5、)h(A)u(A) f (A)0。所以Kerg (A),Ker h(A)，因此Ev( A)h( A)u(A) g(A )Kerg(A )Ker h( A)所以Ker f (A )Ker g(A )Ker h(A)。再如果有Kerg(A)Kerh(A) ，则Ev(A)h( A)u(A) g(A)0 ，因此Ker f ( A)Ker g( A )Ker h( A)。命题 9.6设 A L(V ) ，若 f (x)g(x)h(x) ，且( g(x), h( x)1，证明：Im f ( A)Im g( A)Imh(A )。将这两个命题推广成下面一般的定理。命题 9.7 设AL(V )，若f ( x)g

6、1(x) g2( x)gs(x)，且对于任意的 ij，有(gi( x), gj(x) 1，则有Ker f ( A )SKer gi(A )。i 1命题 9.8 设AL(V )，若f ( x)g1(x) g2( x)gs(x)，且对于任意的 ij，有(gi( x), gj(x) 1，则有Im f (A)sIm gi(A)。i 1授课教师张卫3授课时间2011 年夏季大学生数学竞赛高等代数思想与方法培训教程第九讲不变子空间与直和分解命题 9.9 若f (x)g1(x) g2(x)gs(x)，且对于 ij ，有( gi( x), gj( x)1，设AL(V )满足f (A)0，则有VSsKer gi

7、(A )同时Im gi( A) 0。i 1i 1定理 9.10设AL(V )，若f( x)g1( x) g2( x)gs( x)， 对于 ij ，有( gi( x), gj( x)1，并且有 A 的最小多项式mA(x) f ( x)，则有空间 V 的直和分解SVKer gi(A)Ker g1(A)Ker g2(A )Kergs( A)。i 1定理 9.11设AL (V )，及fA( x) (x1)r1( x2)r2(xs)rs为 A 的特征多项式，1,2,s两两不同。令ViKer( AiE)ri，则VV1V2Vs。证明 因为mA(x) fA( x)或由 Hamilton-Cayley 定理，所

8、以fA(A)0，得VKer( AE)r1Ker( AE)r2Ker( AsE)rs12V1V2Vs。定理 9.12设AL(V )，及mA( x)(x1)t1( x2)t2( xs)ts为 A 的最小多项式，1,2,s两两不同。令WiKer( AiE)ti，则V W1W2Ws。推论 9.13条件同上，在定理9.11 和定理9.12 中出现的V1,V2,Vs和W1,W2,Ws，实际上对应相等的。证明因为mA( x) f ( x)，得到riti,i，所以WiVi，因此dim WidimVi，又因为授课教师张卫4授课时间2011 年夏季大学生数学竞赛高等代数思想与方法培训教程第九讲不变子空间与直和分解

9、dimVdim W1dimW2dim Wsdim VdimV1dim V2dimVs必有dimidimiiiWV，所以WV , i 1,2,s。命题 9.14 设A ,BL(V )，多项式g( x)( x a1)( x a2)( x as)，其中a1, a2,as两两不同且g (A )0。Wi,i1,2, , s是A aiE的核空间，证明：ABBA 当且仅当每一个Wi都为 B 的不变子空间。例题 9.15 设AL(V)，V，记PxAV f ( x) Px, s.tf ( A) W，证明：（1）PxA是 A 的不变子空间；（2）PxA是 V 中所有包含的 A - 子空间的交；（3）如果dimP

10、xAk，则P xA的一个基是, A,A2, Ak 1；（4）如果dimP xAk，令Akc0c1Ac2A2ck 1Ak1，那授课教师张卫5授课时间2011 年夏季大学生数学竞赛高等代数思想与方法培训教程第九讲不变子空间与直和分解么kk 12mB( x)xck 1xc2xc1x c0。AW证明提示(1)由PxA的定义 ,f ( A)A(Af (A)PxA(2) 对于 A-子空间 W,且W 必有P xAW,同时PxA, 得证.(3) 易(4) 由dimP xAk, 得AW的最小多项式至少是 k 次的 , 而g(x)xkck 1xk 1c2x2c1x c0Dg( A)Akck 1Ak 1c2A2c1

11、A c0EDg( A )h(A )h( A ) Akck 1Ak 1c2v2c1Ac0E0所以 D0.二、变换下的直和分解命题 9.16 设 T 是 n 为线性空间V的线性变换，则下列等价（1）Tn 10，Tn0;（2）V中有一个基1,2,n,使得 T 关于该基的矩阵为A证明：因为Tn10，Tn0，则V，使得Tn1, T, , Tn 1线性无关 .而事实上，设a0a1Tan 1Tn 10， Tn 1作用后，a0Tn10a00.因此有：a1TanTn 10，Tn 2作用后，a1Tn 10a10,an 1因此1,T1, , Tn 1是V的基.且在该基下的矩阵为AEn若 T 关于基1,2,n的矩阵为

12、A00En10(T1,T2,Tn) (1,2, ,n) AT12,T23,Tn1n, Tn0.T213, T224,T2n 2n, T2n 10, T2n授课教师张卫6授课时间2011 年夏季大学生数学竞赛高等代数思想与方法培训教程第九讲不变子空间与直和分解,Tn 11n, Tn 1j0, 2jn.Tn 11n0.Tn10. 取1即可或者 若 T 关于基1,2,n的矩阵为A00En 10An 10，An0于是 有Tn 10，Tn0, 。命题 9.17对线性空间 V ，有线性变换 A 的不同特征根1, ,k的相应特征向量1k，若有1kW，而 W 是 A 的不变子空间。求证：W 的维数 k.命题

13、9.18 设 A 是 n 维线性空间 V 的线性变换， W 是 A 的不变子空间，令BAW证明：（1）对任意多项式f (t)有f (B)f (A )W（2） B 的最小多项式能整除A 的最小多项式命题 9.19 设有限维线性空间VV1V2，1,2,r是V1基，如果向量组1,2,r,1,s是线性无关的，证明：在V2中存在向量组1,2,t，使得1,2,r,1,s,1,t为空间 V 的基。授课教师张卫7授课时间2011 年夏季大学生数学竞赛高等代数思想与方法培训教程第九讲不变子空间与直和分解命题 9.20 设A,B是复数域上 n 维向量空间V的两个对角化的线性变换，且 ABBA. 证明： AB 也可

14、以对角化。授课教师张卫8授课时间2011 年夏季大学生数学竞赛高等代数思想与方法培训教程第九讲不变子空间与直和分解命题 9.21 设 A 是域 F 上的 n 维线性空间 V 上的线性变换， W 是 V 的子空间，如果 AVW 且WA。证明：（1） 存在子空间 UV ，使得AU0且 VUW ，（2） 存在 V 上的线性变换 B ，使得 BW0 且rArBn。命题 9.22 设 A 是线性空间V的一个线性变换，且A2A .证明：（1）A1(0)AV（2）设SL(V ),则AV , A1(0)是 S 的不变子空间SAAS命题 9.23 设A,B是复数域 n 维线性空间V的线性变换，都满足对于某正整数

15、k,AkE,BkE，且 ABBA 。证明：A,B有 n 个相同的线性无关的特征向量，或者等价地说，存在V的一个基，使A,B在此基下的矩阵都是对角矩阵。授课教师张卫9授课时间2011 年夏季大学生数学竞赛高等代数思想与方法培训教程第九讲不变子空间与直和分解命题 9.24设A1, A2, At为 n 维线 性 空间 V 的线性变换，满足（Ai2Ai,1 it.（2）AiAj0,ij ,i , j1,2, t，证明 V 可分解为t1(0).VAV1A2VAVtAii1证令AA1A2At, E为恒等变换，任取A(IA)A1A2Att1显然AAV，下面证明，令(E A)Ai(0)ii 1Ai( E A)

16、AiAiAAiAiA1AiA2AiA2AiAi0，i于是(EA)Ai1(0),1it，即(EA)W.这样VAV1A2VAVtW .任取W(AV1A2VAVt),则A11A22且Ai0,1it.由假设知Ai2Ai，且 ij 时AiAj0，于是AiAi2iAii0,1i这样A11A22Att0,即W( AVA VAV )12t任取AV( AVA VA VAVW),则1i 1i 1tAiiA11Ai 1i 1Ai 1i 1其中0W , AjjAjV, ji.这样AiiAiA11AiAi 1i 1AiAi 1i 1即AVi(AVAi 1VAi 1VAVtW)0,1授课教师张卫10授课时间2011 年夏

17、季大学生数学竞赛高等代数思想与方法培训教程第九讲不变子空间与直和分解t于是1A2VAVtAi(0).VAV1i 1命题 9.25设 A 是域 F 上的 n 维线性空间 V 的线性变换，A2A,A A1A2Ak，k其中Ai也是V的线性变换，且dim AVdim AVi，证明：i 1Ai2Ai，且 ij 时AiAj0。授课教师张卫11授课时间2011 年夏季大学生数学竞赛高等代数思想与方法培训教程第九讲不变子空间与直和分解推论 9.26设 V 是 n 维线性空间，A1, A2, AsL(V )，且A1A2AsE，dim A1Vdim A2Vdim AsVn。证明 (i)i, Ai2Ai， (ii)

18、ij , AiAj0。三、最小多项式设 A 是一个方阵，集合NA(x)g(x)P( x) g( A)0中次数最低， 首项系数等于 1 的多项式叫 A 的最小多项式，记为mA( x)。命题 9.27mA( A)0。命题 9.28任何多项式g( x)：g ( A)0mA( x) g (x)。证明 作带余除法g( x) mA( x)s( x)r (x)及mA(x)的最小性即可。根据 Hamilton-Cayley 定理有fA( A)0，于是。推论 9.29fA( x)NA(x)且mA(x) fA( x)。命题 9.30若AB，则mA(x)mB( x), fA(x)fB(x), bA( x)bB( x

19、),其中bA( x)fA(x)。( fA( x), fA( x)证明设 B=T1AT ，g(A)0g(B)T1g (A)T0。相似的矩阵有相同的最小多项式，但反过来不成立。例如：设11001100A010001000010B020000020002则有()( )(x1)2(x2)，但()( )，所以 A 与 B 不相似。mAxmBxfAxfBx授课教师张卫12授课时间2011 年夏季大学生数学竞赛高等代数思想与方法培训教程第九讲不变子空间与直和分解1命题 9.31 若矩阵JJ (, k )是 k 阶 Jordan 块，则它的1最小多项式mJ(x)(x)k。证明fJ( x) ( x)k，直接计算

20、JEk 10，故mJ( x)?(x)k 1，所以得mJ( x)fJ( x)。A10命题 9.32 若A，A1,A2为方阵,则0A2mA( x)mA1( x ), mA2( x )mA1( x ) mA2( x )。( mA1( x ), mA2( x )证明令h(x) mA1( x), mA2( x)，那么显然可知h( A1)0, h( A2)0，所以mA( x) h( x)。而0 mA( A)mA(A1)，mA( A2)所以mA( A1)0, mA( A2)0，由命题 9.28 ，得mA1( x ) mA( x), mA2( x ) mA( x)，因此h ( x) mA( x )，得证。A1

21、命题 9.33 若 AA2，A1,A2, As为方阵 , 则AsmA( x ) mA( x ), mA( x ), , mA( x )。12s由于一阶 Jordan 块J (0,1)的最小多项式是x0，而对角矩阵看成是由一阶 Jordan 块组成的，因此得下面定理命题 9.34若 A 与对角矩阵相似，则当且仅当mA( x)没有重因式。授课教师张卫13授课时间2011 年夏季大学生数学竞赛高等代数思想与方法培训教程第九讲不变子空间与直和分解推论 9.35若 A 与对角矩阵相似，则mA( x) bA( x)。证明由bA( x)是fA( x)的基本多项式，而mA( x)没有重因式，便得证。命题 9.36若0是 A 的特征根，则mA(0)0。由此恒有bA( x) mA(x)。命题9.37A 可对角化（即A 与对角矩阵相似）的充分必要条件是mA( x)bA( x)。命题 9.38A 与对角矩阵相似的充分必要条件是bA( A)0。1144例题 9.39判定矩阵 A 是否可对角化，A1254。1245解fA( x)xEA( x3)( x1)2，所以fA(x), fA( x)( x 1)，得bA(x)(x 3)(x1)。再计算bA( A)，因为8441244bA( A)12841244012481244因此 A 可以对角化。通过计算bA( A)是否为 0