平面有限元法作业

1、第三章作业3-1:试证明平面三角形单元内任一点的形函数之和恒等于1。证明1:设单元发生X 方向的刚体位移0u ,则单元内到处应有位移0u ,有0u u u u m j i =(00u u N N N u N u N u N u m j i m m j j i i =+=+=1=+m j i N N N若位移函数不满足此要求,则不能反映单元的刚体位移,不能得到正确的结果。#证明2:设P 是三角形内任一点,可用面积坐标表示为(m j i L L L P 。由面积坐标的定义和性质知1=+m j i L L L ,且三节点三角形的一点的面积坐标即为其形函数,故平面三角形单元内任一点的形函数之和恒等于1

2、。#3-2:试证明三角形单元的任一边上的一点的三个形函数与第三个顶点的坐标无关。 证明1:设k 是三角形ij 边上的任一点,点k 面积坐标得0=m m L N #证明2:三角形单元是协调单元,必须在单元边界上保持连续性,所以在单元边界上的点的位移只能由边上两个节点的形函数来贡献,否则就会撕裂和重叠,即(如在ij 边上的点jj i i j j i i v N v N v u N u N u +=+=故三角形的三边上的点的形函数只与边上节点的坐标有关,而与第三点无关。#3-3:证明三角形单元是常应变单元。证明:y x u 321+=,y x v 654+=2=x ux 6=yvy53+=+=xv

3、y u xy # 即三角形单元是常应变单元。3-4:已知单元刚度矩阵tdxdy B D B k TA e=,试说明D B ,分别是什么矩阵,与单元的那些特性有关?若厚度为t 的平面三角形常应变单元ijm 的单元刚度矩阵记为:=mm jm jj im ij ii k k k k k k k 说明子块ij k 的物理意义,并证明k 为对称矩阵。解:B 是应变矩阵又称几何矩阵,与单元节点坐标有关;D 为弹性矩阵,与材料的弹性常数E 、有关。ijk 表示当节点j 处产生单位位移,其余节点完全被约束时,在节点i 处引起的节点力。利用矩阵的运算关系tA B D B tAB D B k TT TTTTT =

4、由于D 是对称矩阵,D D T=所以k tA B D B k TT=,即k 为对称矩阵。#3-5:图示平面等腰三角形单元,若3.0=,弹性模量为E ,厚度为t ,求形函数矩阵N 、应变矩阵B 及单元刚度矩阵K 。(补充题意:平面应力情况解:对平面等腰直角三角形建立图示坐标系。xymj i m j i j m m j i x x c y y b y x y x a +=0,0=i i i c a b a ,a c a b a a a c b a m m m j j j =,;,0,02221a A =形函数a x y c xb a A y x N i i i i =+=(21,( ay y c

5、x b a Ay x N j j j j =+=(21,( a ya x y x N m =1,(形函数矩阵:62/10/0/00/10/0/×=a y a x a y a x a y a x a y ax N求应变矩阵=10000110021a b c c b A B i i i i i=0110001a B j ,=1110011a B m则631101101010000100011×=a B B B B m j i 应力矩阵(6322121021210110010011×=a ES S S S m j i 三角形单元的刚度矩阵(662232112121232

6、121110021210210112×+=称对Et DBtA B k T e 等腰直角三角形的单元刚度矩阵与三角形的面积和节点坐标无关,请同学们记住这个结论,解题时会方便。等边三角形的单元刚度矩阵也有此性质(自行推导。 代入已知数据得6635.165.0135.035.03.35.13.035.035.011003.035.035.0035.00182.1×=称对Et k e#3-6:验证矩形单元的位移模式是否满足位移连续性条件。 解:矩形单元如图示,矩形单元的位移模式取为:xyy x v xy y x u 87654321+=+=在单元的边界a x ±=及b y

7、 ±=上,位移是按线性变化的,而在公共边界上有两个节点相连,这两个公共节点有共同的节点位移值,从而保证了两个相邻单元在其公共边界上位移的连续性。故四节点矩形单元满足位移连续性条件。#3-7:求以下受力单元的等效节点载荷R 。已知:mj im ij l l l 、 、q 、P ,厚度t ,P 点作用在jm 中点处,沿x 方向,三角形分布载荷垂直于ij 边。 解:q 的单元2N/m ,设厚度为t ,如图示t ql t ql X ij ij i 6330cos 31=°=t ql t ql Y ij ij i 6130sin 31=°=t ql PP t ql X ij

8、 ij j 1232230cos 61=+°=t ql t ql Y ij ij j 12130sin 61=°=2PX m =,0=m Y等效节点载荷Tij ij ij ij Pt ql t ql P t ql tql R =0212112326163#3-8:如图a, b, c 所示的半带宽各是多少?从带宽优化的角度出发,那种节点编号最好?20 219(10214(8213(=×+=×+=×+=c b a B B B 考虑带宽优化即要求半带宽尽可能的小,故a 图节点编号最好。#3-9:写出图3-8题a 图网格剖分方案用单元矩阵子块组集成的整

9、体刚度矩阵,标出整体刚度矩阵的阶数。子块编号如下图a ,解:结构离散为12个单元,12个节点,故总体刚度矩阵的阶数为24×24。用单元矩阵子块表示的整体刚度矩阵为:=+1212121211121211101111111011118101012912121091112109991110811118810109891110987688871087788747796996689656676587457655676543255447434543144536523552333225312422332122114112111000000000000000000000000000000000000

10、0000k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k K 称对#3-10:图示的正方形薄板,在对角线顶点作用有沿厚度均匀分布的载荷,其合力为2kN ,板厚为1mm ,为简单起见令0=, 1.根据结构特点和受力特点,确定该结构是平面应力问题还是平面应变问题?2. 画出平板的有限元计算模型(包括单元类型选择、网格划分、单元、节点编号、载荷和约束的处理等; 3. 写出上述有限元计算模型的节点载荷向量R 和节点位移向量;4. 按对称性,画出简化的有限元模型。写出由单元刚度矩阵子块组集而成的整体刚度矩阵,并确定

11、整体刚度矩阵的阶数;5. 写出整体刚度方程,求解方板的变形。 解:1根据薄板的结构特点与受力情况,确定该问题属于平面应力问题。2对平板用4个单元,5个节点进行结构离散,结构离散及约束和载荷的情况见有限元计算模型如右图所示。3图示有限元模型的节点载荷向量R 和节点位移向量为:TR 2000000002000000= T v u v u v u v u v u 5544332211=4按对称性,简化的有限元计算模型如右图所示。 由单元刚度矩阵子块组集而成的整体刚度矩阵:12124664654634564325525443533252245244242436433543133313213132252

12、2431233212212111311211100000000000×+=k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k K5单元节点编码i ,j ,m 如果按上图,则各个单元刚度矩阵相同,等腰直角三角形的单元刚度矩阵为(题3-5结果(662232112121232121110021210210112×+=称对Etk e0=665.15.015.05.005.05.105.05.011010005.05.005.05.005.05.005.05.000100012×=Et k e总体刚度矩阵12125.005.05.

13、005.0000010*5.0035.05.05.025.005.0005.015.03015.015.0000005.005.15.0015.000005.015.05.10005.0000025.00035.015.005.05.005.01005.035.02000005.01015.035.015.0005.005.05.05.025.0305.00000000010100000005.005.05.005.02×=Et K 边界条件:0654421=v v v u u u=0000005.005.05.005.00000101000000005.0035.05.05.025

14、.005.0005.015.03015.015.0000005.005.15.0015.000005.015.05.10005.0000025.00035.015.005.05.005.01005.035.02000005.01015.035.015.0005.005.05.05.025.0305.0000000001010000005.005.05.005.02000001000653321654421u u v u v v Et Y Y Y X X X上式利用降阶后解得=E E E E E E u u v u v v /176.0/176.0/37.0/088.0/25.1/25.3653

15、321 本题没有验证,仅供参考。#3-11 题意(略 解:单元节点编码i ,j ,m 如果按上图,则各个单元刚度矩阵相同,等腰直角三角形的单元刚度矩阵为(题3-5结果(662232112121232121110021210210112×+=称对Et k e 0=665.15.015.05.005.05.105.05.011010005.05.005.05.005.05.005.05.000100012×=Et k e总体刚度矩阵881441342133124212321222132122110×+=k k k k k k k k k K 称对=5.15.05.0010005.05.15.015.05.0005.05.05.1005.0100105.15.005.05.01005.05.105.05.05.05.05.0005.1010015.05.005.15.00005.05.015.05.12Et K