一类混合类型耗散非线性发展方程解的局部存在性

1、华中师范大学硕士学位论文一类混合类型耗散非线性发展方程解的局部存在性姓名：胡伟申请学位级别：硕士专业：应用数学指导教师：朱长江20080501硕士学位论文摘要本文讨论了如下混合类型的非线性发展方程问题解的局部存在性，讥一（一）砂一目。也。，初始值为【巩一（一）口以矽铊以，一士。，（妒，口）（，）（咖（），（）一（砂土，口士），其中和是正常数且满足口，（一）通过构造一个近似解序列，利用压缩映像原理得到了解的局部存在性关键词：发展方程，局部存在性，近似解序列，压缩映像原理，、出仁：二嚣盖（妒，口）（，）（妒（），如（），（砂士，士），一士。，【），（一），：，）（，【测瓣硕士学位论文华中师范大学学

2、位论文原创性声明和使用授权说明原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。作者签名：吲节日期：坳钳月；日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制

3、手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通过网络向社会公众提供信息服务。作者签名：嗣弗日期：如曙年月日导师签名：日期：男日本人已经认真阅读“高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人的学位论文提交“高校学位论文全文数据库中全文发布，并可按“章程中的规定享受相关权益。回重诠塞握变卮进厦；旦主生；旦二生；旦三生筮壶！作者签名：谰辛日期：）口口妒月弓日导师签名：粝乡口期：年只硕士学位论文第一章引言在物理学和动力学领域中，许多现象可以用兼具椭圆与耗散性质的非线性交互系统模型来刻画但由于它们的复杂性，这些系统远远没有得到很好的研究在【】中，是

4、提出一个简化的模型：，仇一（一卢）臼也妒以目。，也一（盯一）妒一盯以饥。，（）其中，盯和为满足盯，的正常数系统（）的复杂性可粗略地解释如下如果我们暂时忽略阻尼项和耗散项，系统（）变为：，戗一盯以，巩砂。砂以。（）我们可以看到当妒巧时，系统（）是椭圆型的，否则是双曲型的在平衡位置附近，由于系统（）的椭圆型，因此系统（）是不稳定的，而且如果忽略阻尼项和扩散项的影响这种内在的不稳定性将会引起的增加但是当砂彳时，系统是双曲型的且停止增长而且，耗散项将系统又变回椭圆型的，由于椭圆性质，双曲性质和耗散系数相互的影响，系统会在椭圆型和双曲型之间相互转化，这使得系统（）的研究十分复杂，迄今为止我们得到的结果还

5、很少，参见文献【，】在【】中和首次给出了系统（）的如下改进形式的解的整体存在性，以一（一）以（妒）。以。如一（盯一）妒一盯以也。，（）和在】中研究了系统（）当卢和盯时对应的问题，如一（一）矽一也；，（）巩一（一）口以矽以口口。，当假定硕士学位论文初始值为（妒，）（，）（讥（），（）（，），一士。（）（一）和初始条件（讥（），先（）。（，）时，他们得到了系统（）和（）的解的整体存在性和衰减率在【】中，和、讨论了带有更一般形式初始条件的系统（）的问题，目）（，）（）（）一（饥，钍），一士。，（）在小初值的假设条件下得到了解的整体存在性和衰减率从文献【】和】中得到的结果可知，那里是对初始值的假设保证

6、了系统（）是椭圆型的但是对于混合类型的系统（），即兼具椭圆型和双曲型，有关其解的整体存在性结果很少为了得到具有混合类型的系统（）的解的整体存在性，解的局部存在性是第一步也是很重要的一步，这也是本文的主要目的粗略地说，在本文中我们通过构造一个近似解序列利用压缩映像原理证明了混合类型的系统（）解的局部存在性本文主要讨论近似解序列的有界性和压缩性，共分为两部分第一部分中，介绍三个引理及两个基本不等式第二部分中，共分为两节讨论了混合类型的非线性发展方程问题解的局部存在性第一节讨论了近似解序列的有界性，第二节讨论了近似解序列的压缩性在详细陈述我们的结论之前，首先介绍如下的记号记号：本文所采用的数学符号绝

7、大部分是标准的，但为了本篇文章的完整性，补充如下：在不至于混淆的情况下，用或仅仅或者（）来表示依赖于，的正常数：叽一妒一钆一护上尸限）（）表示一般的硕士学位论文，（上，（）；，。，一，（）日（）表示一般的一阶空间，其模定义为怕珊）为简单起见，将，（，）和，（，）岫分别记为，（）和，（）首先，将系统（）和（）改写和文献【，】一样，先引进如下系统：篡：痧“一击厩一卜击也，这里的耗散方程由著名的盯律得到的，参见文献【，】通过直接计算可知，（）的解可显陛表示如下：，（）妣（础（叽一丘（）匆矽一），配）击讧（，）击（饥一妒一）（刊（，），为了抵消口（，）在土时的值，和文献，】一样，引进校正函数（）（）其

8、中归击（一丢）胪一击蝴节部分可参见文籼】讯一”蛳仁（钆以）仁州肭），（）硕士学位论文嘶二兰：；三荔二妻：；舀。，班让（，。）：。（）讥（）一巧（，。）。，士。，则由（），（）和（）一（），我们可推知（，）（，）满足如下问题二二三一妣删加州州）（，（）卜“叫（，）：咖（）：先）一万（，）一百（，），一土，（，）一玩移（瓦免）（瓦否。）（）（，丁）（，），（，洲（，），（，）”（【，丁】，）定理若（），伽（）日（，），则存在个仅依赖于（）咖（）日。（，：）的常数，使得问题（）一（）存在唯一的光滑解（乱（，），（，）（，），且满足（，），（，）（，：）（），”（）：（，）硕士学位论文第二章重要引理及

9、基本不等式根据第三章中证明的需要为方便使用，在本章中，列举一些基本引理首先是（）一（）的解（移，百）（，）的相关性质参见文献，】引理（）的解妒（，）和（，）满足下列性质（）磷巧（洲。（）一（一），；（）对任意的，。，有酬磷巧（），（）砂一舻一一（一）（）一（一；）一字，：，后，；碰罐百（）口（）妒一砂一一（一）。（）一（一；）一，：七：，引理（）定义的函数口）满足下列性质：（）磷舀（洲护（）一（一），；（）对任意的，有酬磁蚕（圳（）外一口一一（一），七，对于函数（了去磊（一丢），。，我们有如下性质引理当。，忌。时，有磷（，）怯（）一（一；）牛另外，再引入以下两个基本不等式引理（昏不等式）若，（

10、），驴（）（），则，木训驴州蚓引理（积分形式的不等式）令假定，在”上可测，且对几乎所有的”，有，（，）驴（”），函数，（，）属于（”）则函数，（，）咖属于驴（”）且，（，）训职（）叭，）慨（仇）妣第三节定理的证明本章我们来证明主要结论：定理首先将问题（）和（）改写成如下积分形式（，）（五咖州）（一）。，）圳）吲州）州”）（州）锄叩）（，）（州）木嘶）（一）。（刈）州”）如：箍淼冲（，一）木（巧（，）。（，）。（州）州瓦“）巾，）。（州）叫叩），这里的卷积是关于变量的（）。硕士学位论文则对于，我们构造如下形式的近似解序列：札（，）（，）木。（）一（一）。（，）事。一”（，）。刚州）一”）（）幽一

11、（州叫木嘶，）一）翠拦篙“），名：（，）：（一”（，）争一”（，）（，一）木（妒（，）锣叫（，），。（州）州瓦吼叫（叫）（，一）木（，），其中（，），（，）（，）丰（），（，）木（）为了证明定理，我们仅需要证明存在只依赖于（乱），伽（）。（，。）的常数使得下列不等式成立眇耐扣哟舻脚上（），（）日（，），扎之，幻），（，）一（一（，圳（，）“是鲰；忖，娑鲰小旷叫一（，）一（”一（，）（，），（）其中（，）是一个不依赖于扎的常数为了使证明过程更加通俗易懂，下面将证明分为两步进行第一步：（）的证明下面我们用数学归纳法来证明（）为符号简化起见，令（）圩。，咖（）日：硕士学位论文当时，应用引理和引理，有

12、札（，）木仳（）（，）：（）（月。（，）事砌（）。（，）日。所以，当时，（）是正确的假定当时，（）正确，由引理一引理，不等式，（）归纳假设及（），有：木札（）：（一）（一）木上一。（一）木一。，广（一）木色：（，），札。（一）（一）（一。（一）（”一：，（一）怯慨怕如，（）（一）（）（）吉（一一（一）同理，（丰铷（）（一）（一）牛（一日。（一）木（丌一。，（一）木（一）以？一）：川（）牛（西，。）怕（一）木（瓦免）（，）月。如，（一）率。硕士学位论文（，），口。：（一）厂。（一）。口（一：瓯（一）”爿幽（）术（”）护一），（）宰（巧，争）。（）（一）（瓦允）（一）爿，（）堆刷（一）（）（）五下

13、面我们来分别估计（）右边的项厶（，）利用引理，不等式和归纳假设、可得，。（一）（一），。；（一）（一），一：。（）。，一）（一）粤一：，钍（叫。妒叫怯赤加以，（）、，（一）一让一。妒一。（）一（，一。，：（。暨一驴）。（妒叫忆：（一）一（妒叫忆：辔叫：）幽（）（壶），利用引理引理和归纳假设，可得，如（一）巧谚“一：。（一）移”一。一）（五口怯移粤叫）（西。一：（一）一（西。妒一。，、（）讥。妒一上：巧。船一：）、）（）（），利用引理，引理，引理和归纳假设，我们有厶（）（瓦免）孔（一）。倪（一）（瓦免）“（一：（一），（瓦免。）（忆。（瓦色）驴一）如。（）瓦或（一。（。）（一）工瓦每。（一。一）

14、（瓦。色。（一：瓦免妒：、）（）（），由引理引理，归纳假设及（），有，厶（），。，（一）（玩：巧（瓦免）（）慨胁帷怕）如占（一一（）将（）一（）代入到（），可得（）：墨（一）（）（）（）（）（）（）（一一（一口）综合（）和（），容易看出如果我们选择充分小的。（，），使得（）（一口）（）（）碚（一一（一）（，），里（一）（）（、）增（）（）（）（）（）（一一（卜。）。）（，），则（）成立第二步：（）的证明首先，利用（）和引理可得，眦”）一牡（”一怕一（一）。（，一）木（乱（。（，）一仳【一（，）。厂。；（，一）木（一（，）一，（一（，）：（一）厂。（，）牛（一（，）一（一（，）爿。厂。（，一）木

15、（，一（，）一口（一（，）。（）（一）厂（，一）。一（，）一一（，）。厂。（，一）。加一（，）一（一（茁，）：（一）（。）一（一。一一“一），和硕士学位论文，（”）一可（一）（一）（，），（”一（，）一（”一（，），。（，一）宰（正一（，）一正（”一（，），广（，一）幸（让（一（，）谚。（，）（叫（，）刨（，）月（）（，）丰（巧（，）（，）一刨，一（，）爿（，一）车（痧。瓦）（）（札叫（叩）一（川（耶），：厶下面我们分别估计（）的右边的项厶（，）利用引理可得厶（一乜）（一）幸一）一”一）：，一（一）（一）一）一一。（一）（”一）一（，（）和厶，（一）木（”）一（”）怕一（）（一）一（”一日。（

16、一），（）（）酬（”一）一（”一。，利用引理，引理和不等式，有（一）木（”）”）一仳”扩）。，（愀）”）谚。）一（”。圹怯。（一）。钍一）一一札（。一）以”。一）孑一）上（一）墨一一争一一札（）墨忆）（一）一乱（一一一眦”叫一憎一毋叫。（一）一（仳（一）一（一。？一一（）彬棚忆一瞄“一怯（一）一（）一！。一。墨）一如（）一（）一“”口，一。墨怯幡”）一（一忆。）小邶）啕（胪）一删：（”一）一（”一怕）（）（）（一）一乱（一（一）一口（一爿。），硕士学位论文如（）丰（巧（，）（一）。，（）西（）一”）：。（一）巧（”一一卜）。（一）巧。（）一）西（墨）一墨），秒）一谚”。巧，（）（一）一砖）一”

17、巧。，（一）一；（玩。）一口”。巧。恶）一墨：（）一）一（”一，和南（一）木（瓦良）（仳。）一一）：。（），（瓦免）（）一札（一）。（）（瓦免）（仳一）一缸（一）。（一）怯（瓦。既。）（乱（一）一（一）（瓦晚）（多叫一，叫）怯）幽。（札（一）一（一。：瓦免上。（）一钏（）一乱一。免免一）。小）一（慨。蚴”一帕慨呲一帖叫一（）叫（州）一（删。将（）一（）代入（）中，可得（一口）（）（）（吩删酬一，”怕（、）（）（）（一）删扩一扩怕墨（）（跳）（胖）一一怕护一护惦）（）由（）和（），有（彬，）一（州彬”）一”怕）（）（踯）（胪）一札帕怕护一可删（）如果我们选择充分小的（，）使得（）（）（）则（）得

18、证（）综合（）和（），若我们令如同时满足（）和（），由压缩映像原理，则定理得证硕士学位论文参考文献【】，抽，蛀，（），出：圩，（），】，盯行娲，（），皿，（），甜，（），觚，（），】蜀，（），良，。，扬屺，（）（），舵【】，（），】，而，（），魅静，谢压打，（），项士学位论文致谢本文是在我的导师朱长江教授的悉心指导下完成的，在此向他表示衷心的感谢！毕业之际，无法用言语表达对导师朱长江教授的感激之情我三年的研究生学习生活，无时无刻不伴随着朱老师的谆谆教诲和悉心指导朱老师不仅给了我许多学习和锻炼的机会，也经常教育我在学问之路上要脚踏实地，不可心浮气躁同时，朱老师也教了我许多做人的道理是朱老师把我带入偏微分方程的研究领域，教给我双曲守恒律（组），流体动力学方程（组）和方程的许多知识朱老师严谨的治学态度和科研精神对我过去三年的学习产生了深远的影响，并将伴随我走上新的求学之路在这里，我也要感谢在研究生学习期间给予我极大帮助的数学与统计学学院的老师们，特别感谢我院的李工宝老师，邓引斌老师，何穗老师，严国政老师，彭双阶老师，张正杰老师，段然老师，和熊瑛老师，蒋咪娜老