正态总体均值与方差的区间估计课件

1、第五节第五节 正态总体均值与方差的正态总体均值与方差的区间估计区间估计一、单个总体的情况一、单个总体的情况二、两个总体的情况二、两个总体的情况三、小结三、小结.,),( , ,12221本方差本方差分别是样本均值和样分别是样本均值和样的样本的样本总体总体为为并设并设设给定置信水平为设给定置信水平为SXNXXXn 一、单个总体一、单个总体 的情况的情况),(2 N ,)1(2为已知为已知 由上节例由上节例2可知可知: 1 的置信区间的置信区间的一个置信水平为的一个置信水平为 .2/ znX 的置信区间的置信区间均值均值 1. 包糖机某日开工包了包糖机某日开工包了1212包糖包糖, ,称得质量称得

2、质量( (单单位位: :克克) )分别为分别为506,500,495,488,504,486,505,506,500,495,488,504,486,505,513,521,520,512,485. 513,521,520,512,485. 假设重量服从正态分布假设重量服从正态分布, ,解解,12,10 n ,92.502 x计计算算得得,10. 0)1(时时当当 05. 02/ zz 查查表表得得0.05). 0.10 ( 1 10, 和和分别取分别取置信区间置信区间的的试求糖包的平均质量试求糖包的平均质量且标准差为且标准差为附表附表2-12-1,95. 021 ,645. 1例例1 2/

3、znx645. 1121092.502 ,67.507 2/ znx645. 1121092.502 ,17.498 90% 的置信区间为的置信区间为的置信度为的置信度为即即 ).67.507,17.498(,05. 0)2(时时当当 ,975. 021 025. 02/zz 95%的置信区间为的置信区间为的置信度为的置信度为同理可得同理可得 ).58.508,26.497(.,1 ;,1 ,置信区间也较小置信区间也较小较小时较小时当置信度当置信度置信区间也较大置信区间也较大较大时较大时当置信度当置信度从此例可以看出从此例可以看出 附表附表2-22-2,96. 1查表得查表得 ,)2(2为为未

4、未知知 , , 2/直接使用此区间直接使用此区间不能不能中含有未知参数中含有未知参数由于区间由于区间 znX , , 222 替换替换可用可用的无偏估计的无偏估计是是但因为但因为SSS 1 的置信区间的置信区间的置信度为的置信度为 .)1(2/ ntnSX 推导过程如下推导过程如下:,1)1()1( 2/2/ ntnSXntnSXP即即 1 的置信区间的置信区间的置信度为的置信度为于是得于是得 .)1(2/ ntnSX ),1(/ ntnSX 又根据第六章定理三知又根据第六章定理三知 ,1)1(/)1( 2/2/ ntnSXntP则则解解 有一大批糖果有一大批糖果,现从中随机地取现从中随机地取

5、16袋袋, 称得重称得重量量(克克)如下如下: 496509502506496493505514512497510504503499508506设袋装糖果的重量服从正态分布设袋装糖果的重量服从正态分布, 试求总体均值试求总体均值,151 0.05, n : )1( 分布表可知分布表可知查查 nt )15(025. 0t,2022. 6,75.503 sx计计算算得得 . 0.95 的置信区间的置信区间的置信度为的置信度为 附表附表3-13-1,1315. 2例例2 5%9 的的置置信信区区间间的的置置信信度度为为得得 1315. 2162022. 675.503).1 .507, 4 .500

6、(即即就是说估计袋装糖果重量的均值在就是说估计袋装糖果重量的均值在500.4克与克与507.1克之间克之间, 这个估计的可信程度为这个估计的可信程度为95%. ).( 61. 621315. 2162022. 6 克克其其误误差差不不大大于于 , 的的近近似似值值为为若若依依此此区区间间内内任任一一值值作作 这个误差的可信度为这个误差的可信度为95%. . 95% , ),(2的置信区间的置信区间的的试求糖包重量试求糖包重量 N解解 ,12, n未知未知此时此时 ,92.502 0.05, x ,35.12 s : )1( 分布表可知分布表可知查查 nt )11(025. 0t,85. 720

7、1. 21235.12)1( 2/ ntns 于于是是 5%9 的的置置信信区区间间的的置置信信度度为为得得 ).77.510,07.495(,201. 2附表附表3-23-2例例3( (续例续例1)1)如果只假设糖包的重量服从正态分布如果只假设糖包的重量服从正态分布解解).( ,1 , , ),(,22221LELNXXXn求求的的置置信信区区间间的的长长度度的的置置信信度度为为关关于于是是设设随随机机变变量量为为未未知知参参数数和和其其中中的的样样本本是是来来自自正正态态总总体体设设 ,2未未知知时时当当 ,)1(1 2/ ntnSX 的置信区间为的置信区间为的置信度为的置信度为 , )1

8、(2 2/ ntnSL 置信区间长度置信区间长度例例4 ,)1(4 22/22 ntnSL niiXXnESE122)(11)( 又又 21211XnXnEnii )()(11212XnEXEnnii )()()()(11212XEXDnXEXDnniii 2212211 nnnni,2 )1(4)( 22/22 ntnSELE 于是于是)()1(4222/SEntn .)1(4222/ ntn推导过程如下推导过程如下: , 22的的无无偏偏估估计计是是因因为为 S),1()1(222 nSn 根据第六章第二节定理二知根据第六章第二节定理二知 1 2的的置置信信区区间间的的置置信信度度为为方方

9、差差 .)1()1(,)1()1(22/1222/2 nSnnSn . ,未知的情况未知的情况只介绍只介绍根据实际需要根据实际需要 2的的置置信信区区间间方方差差 2. 1 2的置信区间的置信区间的置信度为的置信度为于是得方差于是得方差 ,1)1()1()1( 22/2222/1 nSnnP则则 ,1)1()1()1()1( 22/12222/2 nSnnSnP即即 .)1()1(,)1()1(22/1222/2 nSnnSn 1 的的置置信信区区间间的的一一个个置置信信度度为为标标准准差差 .)1(1,)1(122/122/ nSnnSn 进一步可得进一步可得:注意注意: 在密度函数不对称时

10、在密度函数不对称时, , 2分分布布分分布布和和如如F 习惯上仍取对称的分位点来习惯上仍取对称的分位点来确定置信区间确定置信区间(如图如图). (续例续例2) 求例求例2 2中总体标准差中总体标准差 的置信度为的置信度为0.950.95的置信区间的置信区间. .解解,151 0.975,21 0.025,2 n : )1( 2分布表可知分布表可知查查 n )15(2025. 0 ,2022. 6 s计算得计算得 )15(2975. 0 代入公式得标准差的置信区间代入公式得标准差的置信区间).60. 9,58. 4(附表附表4-14-1 ,488.27,262. 6附表附表4-24-2例例5解解

11、,111 0.975,21 0.025,2 n );64.453,97.78().30.21,87. 8( . 0.95 1 2的的置置信信区区间间置置信信度度为为的的和和标标准准差差中中总总体体方方差差求求例例 2的置信区间的置信区间方差方差 的的置置信信区区间间标标准准差差 例例6 (续例续例1):)1(2分分布布表表可可知知查查 n ,816. 3)11(2975. 0 ,920.21)11(2025. 0 二、两个总体二、两个总体 的情况的情况),(),(222211 NN., , ,),(,),( , ,122212222121121的的样样本本方方差差分分别别是是第第一一、二二个个

12、总总体体总总体体的的样样本本均均值值分分别别是是第第一一、二二个个的的样样本本个个总总体体为为第第二二的的样样本本第第一一个个总总体体为为并并设设设设给给定定置置信信度度为为SSYXNYYYNXXXnn 讨论两个整体总体均值差和方差比的估计问题讨论两个整体总体均值差和方差比的估计问题.均为已知均为已知和和2221)1( 1 21的的置置信信区区间间的的一一个个置置信信度度为为 .2221212/ nnzYX , , , 21的的无无偏偏估估计计分分别别是是因因为为 YX推导过程如下推导过程如下: , 21的无偏估计的无偏估计是是所以所以 YX 21的的置置信信区区间间两两个个总总体体均均值值差

13、差 1. , 的的独独立立性性及及由由YX,1211 nNX ,2222 nNY , 22212121 nnNYX 可可知知 ,1, 0 22212121NnnYX 或或 1 21的的置置信信区区间间的的一一个个置置信信度度为为于于是是得得 .2221212/ nnzYX ,)2(2221均均为为未未知知和和 ),50(21则则有有即即可可实实用用上上都都很很大大和和只只要要 nn 1 21的的近近似似置置信信区区间间的的一一个个置置信信度度为为 .2221212/ nSnSzYX , ,)3(222221为未知为未知但但 1 21的的置置信信区区间间的的一一个个置置信信度度为为 .11)2(

14、21212/ nnSnntYXw .,2)1()1( 2212222112wwwSSnnSnSnS 其其中中例例7为比较为比较, 两种型号步枪子弹的枪口速度两种型号步枪子弹的枪口速度,随机地取随机地取型子弹型子弹10发发, 得到枪口速度的平均值为得到枪口速度的平均值为),s/m(5001 x),s/m(10. 1 1 s标标准准差差随机地取随机地取型子弹型子弹20发发, 得枪口速度平均值为得枪口速度平均值为),s/m(4962 x),s/m(20. 1 2 s标标准准差差假设两总体都可认为近似假设两总体都可认为近似地服从正态分布地服从正态分布,且由生产过程可认为它们的方差且由生产过程可认为它们

15、的方差相等相等, 求两总体均值差求两总体均值差 .950 21的的置置的的置置信信度度为为 信区间信区间.解解 由题意由题意, 两总体样本独立且方差相等两总体样本独立且方差相等(但未知但未知), 0.025,2 ,20,1021 nn,28221 nn : )1( 分布表可知分布表可知查查 nt,0484. 2)28(025. 0 t,2820. 11910. 19 222 ws,1688. 12 wwSs .950 21的置信区间的置信区间的一个置信度为的一个置信度为于是得于是得 201101)28(025. 021tSxxw),93. 04( ).93. 4,07. 3( 即所求置信区间为

16、即所求置信区间为解解 由题意由题意, 两总体样本独立且方差相等两总体样本独立且方差相等(但未知但未知),例例8为提高某一化学生产过程的得率为提高某一化学生产过程的得率, 试图采用试图采用一种新的催化剂一种新的催化剂, 为慎重起见为慎重起见, 在试验工厂先进行在试验工厂先进行81 n.73.911 x,75.932 x体都可认为近似地服从正态分布体都可认为近似地服从正态分布, 且方差相等且方差相等, 求求两总体均值差两总体均值差 . .950 21信信区区间间的的置置的的置置信信水水平平为为 试验试验. 设采用原来的催化剂进行了设采用原来的催化剂进行了次试验次试验,得到得率的平均值得到得率的平均

17、值,89. 3 21 s样本方差样本方差又采用新的催化剂进行了又采用新的催化剂进行了82 n次试验次试验, 得到得率得到得率的平均值的平均值,02. 4 22 s样样本本方方差差假设两总假设两总,3.962)1()1( 212222112 nnSnSnsw且且 .950 21的的置置信信区区间间的的一一个个置置信信水水平平为为于于是是得得 8181)14(025. 021tsxxw),13. 202. 2( ).11. 0,15. 4( 即所求置信区间为即所求置信区间为 . , 21为为未未知知的的情情况况仅仅讨讨论论总总体体均均值值 1 2221的置信区间的置信区间的一个置信度为的一个置信度

18、为 .)1, 1(1,)1, 1(1212/12221212/2221 nnFSSnnFSS推导过程如下推导过程如下: ),1()1( 1221211 nSn 由由于于 ),1()1(2222222 nSn 2221的置信区间的置信区间两个总体方差比两个总体方差比 2. , )1( )1( 2222221211相互独立相互独立与与且由假设知且由假设知 SnSn 根据根据F分布的定义分布的定义, 知知 ),1, 1(2122222121 nnFSS 22222121 SS即即 )1()1()1()1(222222121211 nSnnSn ),1, 1(21 nnF,1 )1, 1()1, 1(

19、212/22222121212/1 nnFSSnnFP ,1)1, 1(1)1, 1(1212/122212221212/2221 nnFSSnnFSSP 1 2221的的置置信信区区间间的的一一个个置置信信度度为为于于是是得得 .)1, 1(1,)1, 1(1212/12221212/2221 nnFSSnnFSS 解解,181 n,132 n例例9 研究由机器研究由机器 A 和机器和机器 B 生产的钢管内径生产的钢管内径, 随随机抽取机器机抽取机器 A 生产的管子生产的管子 18 只只, 测得样本方差为测得样本方差为均未知均未知, 求方差比求方差比 .900 的置的置的置信度为的置信度为区

20、间区间.设两样本相互独设两样本相互独);mm(34. 0 221 s).mm(29. 0 222 s抽取机器抽取机器B生产的管子生产的管子 13 只只, 测测得样本方差为得样本方差为立立,且设由机器且设由机器 A 和机器和机器 B 生产的钢管内径分别服生产的钢管内径分别服从正态分布从正态分布),(),(222211 NN)2 , 1(,2 iii 2221 信信,10. 0 ),mm(34. 0 221 s),mm(29. 0 222 s,59. 2)12,17()1, 1(05. 0212/ FnnF )12,17()12,17(95. 02/1FF ,38. 21)17,12(105. 0

21、 F .900 2221的的置置信信区区间间的的一一个个置置信信度度为为于于是是得得 38. 229. 034. 0,59. 2129. 034. 0 .79. 2,45. 0 解解, 91 n, 62 n,02. 0 例例10 甲、乙两台机床加工同一种零件甲、乙两台机床加工同一种零件, 在机床甲在机床甲加工的零件中抽取加工的零件中抽取9个样品个样品, 在机床乙加工的零件在机床乙加工的零件信区间信区间. 假定测量值都服从正态分布假定测量值都服从正态分布, 方差分别为方差分别为的置的置在置信度在置信度,245. 0 21 s,357. 0 22 s由所给数据算得由所给数据算得0.98下下, 试求

22、这两台机床加工精度之比试求这两台机床加工精度之比.,2221 21 中抽取中抽取6个样品个样品,并分别测得它们的长度并分别测得它们的长度(单位单位:mm), 3 .10)5, 8()1, 1(99. 0212/1 FnnF )5, 8()5, 8(01. 02/FF ,63. 61)8, 5(199. 0 F .980 21的置信区间的置信区间的一个置信度为的一个置信度为于是得于是得 )1, 1(1,)1, 1(1212/12221212/2221 nnFSSnnFSS 357. 063. 6245. 0,3 .10357. 0245. 0 .133. 2,258. 0 三、小结三、小结 .

23、1的的置置信信区区间间单单个个总总体体均均值值 ,)1(2为已知为已知 .2/ znX ,)2(2为为未未知知 .)1(2/ ntnSX . 22的的置置信信区区间间单单个个总总体体方方差差 .)1()1(,)1()1(22/1222/2 nSnnSn . 321的置信区间的置信区间两个总体均值差两个总体均值差 ,2221均均为为已已知知和和 .2221212/ nnzYX ,2221均为未知均为未知和和 .2221212/ nSnSzYX , ,222221为为未未知知但但 .11)2(21212/ nnSnntYXw . 42221的的置置信信区区间间两两个个总总体体方方差差比比 , 21

24、为为未未知知总总体体均均值值 .)1, 1(1,)1, 1(1212/12221212/2221 nnFSSnnFSS附表附表2-12-1标准正态分布表标准正态分布表z01234567890.01.00.50000.53980.57930.61790.65540.69150.72570.75800.78810.81590.84130.86430.88490.90320.91920.93320.94520.50400.54380.58320.62170.65910.69500.72910.76110.791

25、00.81860.84380.86650.88690.90490.92070.93450.94630.50800.54780.58710.62550.66280.69850.73240.76420.79390.82120.84610.86860.88880.90660.92220.93570.94740.51200.55170.59100.62930.66640.70190.73570.76730.79670.82380.84850.87080.89070.90820.92360.93700.94840.51600.55570.59480.63310.67000.70540.73890.770

26、30.79950.82640.85080.87290.89250.90990.92510.93820.94950.51990.55960.59870.63680.67360.70880.74220.77340.80230.82890.85310.87490.89440.91150.92650.93940.95050.52390.56360.60260.64060.67720.71230.74540.77640.80510.83150.85540.87700.89620.91310.92780.94060.95150.52790.56750.60640.64430.68080.71570.748

27、60.77940.80780.83400.85770.87900.89800.91470.92920.94180.95250.53190.57140.61030.64800.68440.71900.75170.78230.81060.83650.85990.88100.89970.91620.93060.94300.95350.53590.57530.61410.65170.68790.72240.75490.78520.81330.83890.86210.88300.90150.91770.93190.94410.95451.645z0123456781.92.02.12

28、.2.93.00.94520.95540.96410.97130.97720.98210.98610.98930.99180.99380.99530.99650.99740.99810.99870.94630.95640.96480.97190.97780.98260.98640.98960.99200.99400.99550.99660.99750.99820.99900.94740.95730.96560.97260.97830.98300.98680.98980.99220.99410.99560.99670.99760.99820.99930.94

29、840.95820.96640.97320.97880.98340.98710.99010.99250.99430.99570.99680.99770.99830.99950.94950.95910.96710.97380.97930.98380.98710.99040.99270.99450.99590.99690.99770.99840.99970.95050.95990.96780.97440.97980.98420.98780.99060.99290.99460.99600.99700.99780.99840.99980.95150.96080.96860.97500.98030.98

30、460.98810.99090.99310.99480.99610.99710.99790.99850.99980.95250.96160.96930.97560.98080.98500.98840.99110.99320.99490.99620.99720.99790.99850.99990.95350.96250.97000.97620.98120.98540.98870.99130.99340.99510.99630.99730.99800.99860.99990.95450.96330.97060.97670.98170.98580.98900.99160.99360.99520.99

31、640.99740.99810.99861.00001.96附表附表2-2-2 2标准正态分布表标准正态分布表附表附表3-13-1 =50.0250.010.005123456789101112131415161.00000.81650.76490.74070.72670.71760.71110.70640.70270.69980.69740.69550.69380.69240.69120.69013.07771.88561.63771.53321.47591.43981.41491.39681.38301.37221.36341.35621.35021.34501.34

32、061.33686.31382.92002.35342.13182.01501.94321.89461.85951.83311.81251.79591.78231.77091.76131.75311.745912.7062 4.3027 3.1824 2.7764 2.5706 2.4469 2.3646 2.3060 2.2622 2.2281 2.2010 2.1788 2.1604 2.1448 2.1315 2.119931.8207 6.9646 4.5407 3.7469 3.3649 3.1427 2.9980 2.8965 2.8214 2.7638 2.7181 2.6810

33、 2.6503 2.6245 2.6025 2.583563.6574 9.9248 5.8409 4.6041 4.0322 3.7074 3.4995 3.3554 3.2498 3.1693 3.1058 3.0545 3.0123 2.9768 2.9467 2.9208nt分布表分布表2.1315 =50.0250.010.005123456789101112131415161.00000.81650.76490.74070.72670.71760.71110.70640.70270.69980.69740.69550.69380.69240.69120.690

34、13.07771.88561.63771.53321.47591.43981.41491.39681.38301.37221.36341.35621.35021.34501.34061.33686.31382.92002.35342.13182.01501.94321.89461.85951.83311.81251.79591.78231.77091.76131.75311.745912.7062 4.3027 3.1824 2.7764 2.5706 2.4469 2.3646 2.3060 2.2622 2.2281 2.2010 2.1788 2.1604 2.1448 2.1315 2.119931.8207 6.9646 4.5407 3.7469 3.3649 3.1427 2.9980 2.8965 2.8214 2.7638 2.7181 2.6810 2.6503 2.6245 2.6025 2.583563.6574 9.9248 5.8409 4.6041 4.0322 3.7074 3.4995 3.3554 3.2498 3.1693 3.1058 3.0545 3.0123 2.9768 2.9467 2.9208n2.2010附表附表3-3-2 2t分布表分布表附表附表4-24-2=0.