非对易空间场的规范对称性和SeibergWitten映射分析报告

1、. . . . 非对易空间场的规对称性和Seiberg-Witten映射摘 要在本文中,我们研究了非对易空间的场论与其规对称性.我们讨论了非对易空间与规场耦合的物质场的规对称性.然后利用?映射,我们研究了不同空间的规对称性的等价问题,并对非对易空间的电磁场进行了微扰分析,最后我们对映射的松动进行了讨论,研究发现这些松动中的一部分可以由规变换吸收因而是可以忽略的,由于物质场的存在,另外一部分很难用规变换和场的重定义吸收.关键词:非对易几何,规对称性,映射,松动 27 / 27第一章 引言力学量的非对易在物理学上是伴随量子力学发展起来的基本的概念,例如坐标与动量的不对易,三个角动量分量不对易等.一

2、般人们在研究物理学问题时,时空本身被认为是对易的.实际上,早在多年前就有人提出了时空不对易的概念来研究问题”但在物理学中,这一概念并未受到重视.在数学上,有关非对易几何的讨论很多,长期以来,非对易几何并未在物理上受到广泛的应用.非对易几何作为物理学的标架是由引入的阮非对易的二维上的?理论作为一个例子出现在文章中.自此以后,随着量子霍尔效应和弦理论的研究,非对易时空观与非对易几何在物理学研究中开始受到的广泛的重视.年,在研究开弦理论时,最早将非对易几何引入了弦理论的研究随着人们对弦理论的研究深入,尤其是?被发现后,非对易几何在弦理论中应用更为广泛,如开弦理论中的问题, 理论,矩阵模型,?的问题等

3、,?,越来越多的证据表明弦论本质上是一种非对易代数的体现.相应的非对易时空中的量子力学,量子场论等也都成为热门的研究课题.一,很多人致力于这方面的研究工作.非对易时空中的规场论的研究在年之后进入了一个新的阶段,?,.在年与合作的工作中,他们提出,背景空间有一个?的场存在,在开弦两端端点所在的?上,可以导出背景时空的非对易.如果将场换为规场,采用不同的正规化方法,可以得出两种完全不同的规场理论一非对易时空的规理论和普通的规场理论.由同种理论出发,仅仅是正规化方法的选则不同,就得到了两种完全不同的规场理论,这好像是种矛盾,但和指出,这预言着非对易时空的规理论和对易时空的规理论的联系,他们从规轨道的

4、等价性来研究这一问题,这就是、映射的由来.?映射提出后,获得了广泛的关注,人们从不同方面研究?映射的性质.?在和的原始文献中,映射是非对易时空中的纯.理论纯规场理论到对易时空的?理论的映射,?映射的微分形式叫做方程.在非对易时空场论的研究中,?映射是一种很好的工具.在这些研究和指出,映映射和方程的工作中,射解含有松动孔也就是说?方程的解不能完全确定下来.对于纯和证明解的松动中的一部分可以由规的?理论,第一章引言变换吸收掉,另外的一部分可以通过场的重定义消除.对于纯. 理论,?映射的松动不存在很大的问题.我们将对映射做更深入的讨论.从含有耦合费米场的规理论出发,讨论其?映射的形式.在这一理论的?

5、映射中也存在着松动.其中一部分松动可以通过规变换消除,这与理论吻合的很好,但有物质场存在时,另一部分松动是很难处理的.本文的组成部分如下,第二章简要回顾一下非对易几何和非对易的规场理论和非对易背景下的规对称性.第三章着重讨论?映射,与其简单的应用.第四章讨论该理论下的.映射的松动.第二章 非对易空间和非对易背景下的规场论对时空的认识在物理学上是一个引人注目的话题,广为人们所接受的物理理论,从广义相对论到量子场论,对从大至宇观尺度,小到基本粒子尺度的物理学都有很好的描述.在这些理论中,时空都被认为是对易的,这些理论在实验上也得到了很好的支持.时空会不会是非对易的呢非对易的时空背景下的物理学会是怎

6、样的呢早在多年前,已经就有人提出了时空坐标非对易的概念.近些年来,随着人们对弦理论和量子霍尔效应的研究,越来越多的非对易背景上的物理学问题得到了人们广泛的重视,非对易背景下的量子场论就是其中之一.本章我们先简单介绍一下非对易时空的概念与其非对易几何,然后将讨论一下非对易时空中的场论与规对称性.§.非对易时空的概念和非对易几何在讨论非对易空间中的规场论之前,我们先讨论一下非对易空间和非对易几何的概念.非对易空间是坐标不可交换的空间,它不同于通常意义上的空间,其坐标是不可交换的.非对易几何是研究非对易空间的几何.在非对易空间中,由于坐标的不可交换,从测不准原理来看,这预示着坐标的不可同时

7、测量,因而在非对易几何中定义点是没有意义的.在非对易几何中,算符是基本概念.非对易几何通常可以有下列三种可结合代数来描述:代数.扩,圣”“”代数.圣“,士”联”圣量子代数.毒“圣”一只等圣圣。这时,我们可把圣一看做代数的生成元,也可以看做希尔伯特空间的算符.从某种意义上讲,非对易几何实际上是以圣“为生成元的可结合算符代数,代数不是可交换的.我们可以定义函数尘,函数的自变量是希尔伯特空间的算符,可定义乘法为:,/./口最后一种定义称为乘积,具有特殊的含义,我们以后将讨论第二章非对易空间和非对易背景下的规场论最一般的非对易可结合代数的例子是”×”的矩阵代数,将其推广,令矩阵元是流形上的连

8、续函数,代数可用非对易的矩阵代数表示.我们要写出非对易空间的量子场论的作用量,它是场量讥也等的泛函,其中移,哆.是代数上的元素或某种表示中的矢量,要写出作用量,需在非对易空间中定义线性算符,.,它们具有以下性质.微分算符满足莱布尼兹法则,且对常数微分得全微分的积分为/.对易括号积分为/,/?其中,代表,积分与求迹不能分离.条件和在某些情况下可以不满足,但我们在下面的讨论中要求这三个条件都成立.§.非对易的哪空间在我们的文章中,我们将选取一、.代数作为我们讨论问题的出发点.我们选取哪代数,是个完全反对称量,称做非对易参数.相当于我们选取了一个平直的非对易空间.该空间的乘法定义为,.乘法

9、乘法符合如下的规则,截以。,。:,;占显然我们有扩,圣”。”符合?代数关系式.微分算符可以由下面关系式和莱布尼兹法则定义.配限岛卜第二章非对易空间和非对易背景下的规场论 积分有如下性质/ /扩/扩/下面的文章中,我们要用到如下的乘积的对易括号和反对易括号:.,?;,。 .我们来看一下维的非对易空间,有代数生成元满足对易关系陋,圣棚对照量子力学的观点,把看做普朗克常数,则维非对易空间相当于一个维的量子力学问题,圣?圣,圣盘我们有圣,圣西非对易的复坐标表示与谐振子表象类似,可以构造复坐标如下/扣珏。、/刍士?一啦上面定义满足非对易关系,是符合谐振子产生,湮灭算符的对易关系的,可用谐振子表象的方法来

10、讨论§.非对易空间费米场的规对称性场的规对称性是现代场论中的一个重要的概念,在物理上有着很重要的应用,例如在基本粒子的研究中.在我们有了非对易空间的概念后,我们可以把普通规场论的概念推广到非对易时空去,并讨论非对易空间场论的规对称性.最一第二章非对易空问和非对易背景下的规场论般的推广方法是把普通的非阿贝尔的规场论的乘法都用、乘法代替,直接得到非对易的场.我们讨论含有耦合费米场的规理论,在普通时空背景下,我们有纯?场和费米场妒.情况下含费米场和?场的作用量以下面形式给出: ./一;,”痧研“一仃。将其推广到非对易时空下,我们有非对易时空中的费米场的作用量./砂“吼一口对于该费米场,存在

11、规群印,满足幺正关系:, .其展开式为耻车刍妒.在此规群的作用下,费米场按其中十代表乘积,每?岳毒,一吾茁:;的规律变换.同样的我们可定义整体规变换和局域的规变换,当费米场在局域规变换作用下变化时,作用量中含有包含微分的项”,此时吼占以每因而,场的作用量在规群作用下不再是不变的,我们要定义一个规变换下不变的作用量,如同对普通时空中的费米场所作的那样,我们将微分算符推广,引入规势.。得到协变微分。,定义为:玩仇一。使得规变换作用于协变微分时,满足关系式:.。审:占我们将其展开并整理可得到:一钆一以占一:毒钆第二章非对易空问和非对易背景下的规场论由此得到规势的变换规律。:。 一一吼规场强为.户西。

12、,一。或者有等价的定义矗,峨,小代入协变微分的表达式得到规场强为或。以。一巩。一,。规场强在规变换下的变化规律可以由.和.来确定毫,以为一或穆钆一:一吼一:乱一矿。 移一,。一一矽一。一巩一,一妒一 一一妒。一。:户在我.规势和协变微分后,费米场和规场的相互作用形式就确定下来了,作用量变为心研一也一占在规群的作用下是规不变量.上面的作用量并未包含规场的自由部分.借鉴场论,我们可以构造自由规场的作用量为”/一;丘,弘在规变换下是个不变量.这就是非对易空间下的纯?场的拉格朗日密度.综合上述讨论,我们可以写出非对易空间含费米场的规理论的作用量为:,一;只。广一”弓,一。一其中积分代表对普通空间的积分

13、. 。,丘。分别是协变微分和规场强.第二章非对易空间和非对易背景下的规场论 在非对易空间中,规群是部空间的对称变换群,与坐标是没有关系的,在规变换下,坐标不变,即有如扩将坐标左乘一个费米场妒,我们有圣“母菇“矽而上式右边并不等于十妒,解决这一矛盾的方法是引入协变坐标“,使得“十咄“口可以得到协变坐标工“为贾:扩便于以后计算,我们有下列关系式:呶计,口以。哪.卅一印从表面上来看,普通场论推广到非对易空间似乎是直接和简单的,但实际上,由于空间的不对易,有很多新的物理现象出现.例如,对于普通空间下的理论量子电动力学,规场是阿贝尔的,我们有规场强为,以,一乱而在非对易空间中,由于.乘积的不可交换,规场

14、变成非阿贝尔的了,规场强也具有不同的形式.。,。仇,一乱。一,。对于非对易空间的量子电动力学,可以借鉴非阿贝尔规场的方法对其进行量子化.第二章非对易空间和非对易背景下的规场论 §.非对易空间玻色场的规对称性在普通的量子场论中,我们可以明确区分时空对称性和部空间的对称性,但对于非对易的量子场论,我们不能区分这两种对称性,这也是在非对易空间定义积分时无法将积分与求迹区分开的原因.对于标量场,我们也可以定义规变换,取伴随表示,我们有:占西,即是说有规群,标量场在规群下的变换规律是一占占一如同上节费米场的讨论,同样可以引入协变微分,规势,可以写出在规群作用下不变的含标量场的作用量,函西./;

15、一”。占其中。占钆西。,朝。.我们忽略了规势的自由部分第三章映射在讨论了非对易空间中的规场论与规对称性后,我们想知道,非对易的规场论和普通规场论有没有什么联系.当发现从开弦中用不同的正规化方法即可以导出非对易的?场论与其普通的.场论时,这个问题由为迫切.本章我们先讨论一下它们之间的联系,用?映射,在非对易空间规等价性与普通空间规等价性之间建立一种对应关系,并讨论一下费米场的?;映射.最后利用?映射用微扰论的观点来讨论一下非对易?场.§.纯场的?映射?映射是由和在年的工作中提出来的.在和?可以他们的工作中,他们发现不同的正规化方法导出普通时空的?理论和非对易时空的?理论.因此,他们提出

16、在普通的规场理论和非对易时空的规场理论之间存在者某种联系.他们设想,从非对易时空的规场到普通规场之间存在着一种映射,这一映射是局域的,到.的映射相当于在普通时空中将重新定义,因而。只是。与其微分项的函数, 也只是与微分项的函数.这样建立的是非对易规场和普通规场一一对应的关系,两种规群也是等价的.考虑非对易空间规场的规群是非阿贝尔的,普通的规场的规群是阿贝尔的,它们之间不可能建立一一对应的等价关系,所以映射的条件应当放宽.?映射定义的是保持和。规等价性的映射,并不要求两种规群等价.假设普通空间存在规场和,它们之间可以通过规变换联系起来,则在非对易空间存在规场和.也可相应的通过规变换相聪系,其中依

17、赖于场和规参数.对于普通的规理论,可以由规变换相联系的规场处在函数空间的同一条映射实际上就是不同函规轨道上,非对易的规理论也是如此.数空间规轨道的等价性图.一、映射的数学形式如下:第三章映射厂一厂图.:不同函数空间规轨道等价将。.展开至的一阶形式:., .代入 式,可得到.掣一.:一吼一爿,。,:一;巩.一一。巩.我们有上述方程的解:.:一;射,。十日。,;臼灯,.规场强为。,矗。;,一,§. ?映射的推广和费米场的?映射在回顾了?场的?映射后,根据我们所研究的问题,我们将对?映射进行推广.我们将从两方面对、映射进行推广.首先,我们将非对易空间推广.非对易空间可以看做以为非对易参数的

18、海森堡代数,对于不同的参数日,我们有不同的非对易空间,的情况即对应着普通第三章映射的空间.、.映射给出的是普通空间的规场论与非对易空间的规场论的等价关系.我们将此推广,对于所有的连续变化的非对易空间的规场,?映射所揭示的等价性也存在图.映射可写为:.。氓。氏其中.是空间的规场和规参数,声是空间的规场和规参数,或者,当在附近,可以等价的写为:.其中代表变化,以代表以为参数的规变换.我们还要讨论一下费米场的规理论的?映射.在此,我们认一映射仍然成立图.因而,我们为,含有耦合费米场的时候,有:掣妒时,曲掣以,或者等价的写为诤巾图.:场的推广的映射图.:费米场的?映射第三章曲月映射 我们已经得到含费米

19、场的推广的、映射的表达式., 中代表对口作微分,注意到乘法的定义我们有以下关系式:刮驴器。 。,.卜,:目。的。;巩,利用以上关系式,由 ,.可得:以。一吼一支,。一旺,。,:一;仇,。函一柏又占一支毒一“文右 我们可以得到上面方程组的解。渺。耠一棚。矗小参“篇一抄声占五渺茄讯¨小§.臼形变的规场论?映射也可以看做是用普通的规场论加上无穷小参数对非对易的规场论做微扰展开,我们可以从微扰论的观点来对非对易的规场论做分析,此时,我们把日看做耦合常数.对于规场的量子化,取规固定是个很重要的过程.非对易的规场,我们即可以先取规固定,再做?映射,也可以先做映射,后取规固定,不同的过程

20、会有不同的物理出现,我们从非对易的规理论来看看这个问题,并对其进行微扰讨论.对于非对易的?理论,非对易参数为,是个小量,由上一节的结论我们可以得到:。.一一;日“.岛,。丘。一瓦。第三章映射将其代入非对易的作用量.式,我们得到目展开我们只讨论至目的线性项得到普通时空含相互作用的规场理论的作用量为:。一;,一;目印砟。胪一;目筇。?容易证明该作用量在阿贝尔规变换以。吼可看做相互作用的耦合常数,具有一的维数量纲.作用下是不变的.此时我们得到的是个普通的含自相互作用电磁场的作用量,取规固定,做规变换“吼其中是算符,是反对易的?鬼场.在这一规变换下对.加入规固定项.品/其中是反鬼场,是?场,得到总的作

21、用量在变换下是不变量.另外,我们也可对非对易规场先取规固定,再做?映射.对于非对易的规场我们先做变换,我们有。口“十是相应的鬼场,可以对非对易的自由规场的作用量加是算符,上规固定项钆.“竺雷雪§。弘直是场.总的作用量为是鬼场,其中:亩.啻/一;丘。丘,岛第三章映射要做?映射,我们有.雪.的展开形式为 ?将它们以与.代入.得到普通空间场的作用量.&是其中. 最/%“一以一目卵“一;。西乃。作用量 . 在阿贝尔的规变换下都是不变量.取规固定和映射的次序不同,我们得到了不同的作用量,我们可以用量子场微扰论的方法来分析这两个作用量,对于费曼传播子,只与自由场的两点函数有关,不含有,我

22、们有种传播子电磁场的费曼传播子九九厂、九几九九九几九九几/桫而,刊怨电磁场变为场、?一、九鬼场的传播子“一熹对于相互作用部分,由于取规固定和映射的顺序不同,得到的相互作用的顶角是不同的.先作映射再取规固定,相互作用项只包含光子的自相互作用图 先取规固定,再做?映射,除了光子的相互作用外,还有光予的相互作用.与?场的相互作用图.与光子与鬼场图第三章协肾“映射图.:光子的自相互作用图 :光子与?场的相互作用图.:光子与鬼场的相互作用第四章?映射的松动上一章我们介绍了?映射, ?映射在非对易的规对称性和普通规对称性之间建立了联系.推广的?映射定义了不同参数的非对易空间规轨道的等价性.本章我们将看到?

23、映射是有松动的,这些松动中有一种是很好处理的,此时映射有很好的定义,但对于变化情况,有很难处理的松动的出现.§.?映射的第一类松动从上一章的讨论我们可以看出,?映射定义的是非对易空间规轨道和普通空间规轨道的等价性,而不是将非对易的场和普通场等价起来.既然是规轨道的等价生,对于式.有可能差一个规变换,还满足?映射的条件,从数学上讲,我们从方程组.的两个方程得到了个未知函数的解,这个解也可能是有松动的.对于纯场的和讨论了这一问题,他们发现,如果存在.,满足下式:一一.,。一虹:,为此时,。?,也是方程 的解.可解得:“。矗启日“亩。女.“吼支,其中.是任意参数.这些项可以看做是依赖于场分

24、布的规变换,考虑到映射定义的是规轨道的等价性,这些项与?、映射的定义并不矛盾,所以是可以忽略的.若是在作用量中加入了费米场,对于?映射,我们同样可以进行上述讨论.在解.中相应加入一满足;一一占一支占.费米场的映射也满足.经过计算可以得到工“巩又,:。疋十占一目“,.,了第四章一、映射的捡动对比费米场与?场的结果,我们可以看出, 毋.所加的项都是以.削反女,卜为参数的规变换,这些项是可以忽略的.我映射的解的这种松动是第一类的松动,考虑到?映射是对规轨道的映射,这类松动并不影响?映射的定义.?映射的第二类松动§.本节我们讨论一映射的另一种松动.假设我们映射非对易参数为如的非对易空间的非对

25、易空间含物质场的规理论到非对易参数为的相应理论去,在此我们显然有两条路径可以做这个映射,一条是我们先从到一再到吼日,另一条是先从日到日目再到阳目,经过计算发现不同的路径是不等价的.考虑如下的变换:?目?÷日:一?妒.:.?÷:?如 如一口?÷寸.:一÷.映射的启芊为对于第一条路径,我们可以得到物质场的.善:声一;醴,。参;目;。其中,是非对易参数为非对易空间的乘积.再作一次、。“映射,得到占:毒一;目。目。剧。 每;目,目。.一;畦日 .。国,%占一;.,.。;.,.岛。函。一讳一。一;.。,.岛.。丘,。毒一;,.岛.一矗,.毛第四章、.映射的松动一;七.五,;占一;,;。一;岛。岛。审;讳。,岛声.一;岛参.对于第二条轨道,我们可以采用同样的计算过程,得到的结果只是将上式的阳。,日交换:妒哆硼¨口.: :含甜的线性项,妒和口是相等的,对于含卯的二次项,我们有:占。,占。百审一声。岳一哦卵。毫一;磅日.。,.。,。一,岛.讳岛一瞰,岛。;.,岛:矗,一丢,目月口,。;。;.,丰。, .上式中,含.卢的项可以看做是规参数依赖于场的物质场的规变换,是可以忽略的.对于剩余的项,