数字信号的处理参考试的题目3

1、实用标准文案第三章离散傅里叶变换1. 如图 P3-1 所示，序列 x(n) 是周期为 6 的周期性序列，试求其傅里叶级数的系数。图 P3-1解：5nk5j 2nk由X (k)x(n)e6x( n)W6n0n0j 2kj 2 2kj 2 3 kj 2 4kj 2 5k1412e610e68e66e610e660 ,计算求得X (0)X (1)9j 33,X (2)3j30 ,3 ,X (3)X (4)3jX (5)9j 332. 设 x(n)R4 (n) ， x(n)x(n) 6 ，试求 X (k ) ，并作图表示x(n) ， X (k) 。解：552nkj kj2jke j k由 X (k )

2、x( n)W6nkx(n)e61 e 3e3n0n04 ,计算求得X (0)X (1)j3,X(2) 10 ,1,X (3)X (4)X (5)j 3x(n) ，| X ( k) | 如图 P3-2所示。精彩文档实用标准文案图 P3-2n1,0 n 4R4 (n 2) 令 x(n)x(n) 6 ，h( n)h(n) 6 ，3. 设 x(n)，h(n)0, 其他 n试求 x(n) 与 h(n) 的周期卷积并作图。解：在一个周期内的计算值y(n)x(n)h(n)x( m) h(nm)mx(n)123450y(n)N h(n m)00111101410011111221001111031100118

3、411100165111100104.已知 x(n) 如图 P3-4(a) 所示，为 1，1，3，2，试画出 x(n) 5 ， x( n) 6 R6 (n) ，x(n) 3 R3 (n) ， x( n) 6 ， x(n3) 5 R5 (n) ， x(n) 7 R7 (n) 等各序列。解：各序列如图P3-4 （ b）所示。精彩文档实用标准文案图 P3-3图 P3-4 （a）精彩文档实用标准文案图 P3-4 （b）5. 试求以下有限长序列的 N点 DFT（闭合形式表达式） ：(1)x(n)a cos(0 n)RN (n)(2)x(n)a n RN ( n)(3)x(n)(nn0 ),0 n0 N(

4、4) x(n) nRN (n)(5) x(n) n 2 RN (n)解：（ 1）因为 x(n)a cos(0n)RN (n) ，所以N1j2nkN 1j2X (k)a cos(n)e(k)1 a(e j 0nnk(k )0NRe j 0 n ) eNRNn0N2n01N 1j 2 k0nN 1j 2 k0 naeNeNRN (k )2n0n 01a1ej0 N1 ej0 NRN ( k)2j2kj2kN0N01e1e精彩文档实用标准文案j0 Nj0 Nj0 Nj0 Nj0 Nj0 N1e2 (e 2e2 )e 2 (e 2e2 )aj 1 2 kj 1 2 kj 1 2 kj 1 2j 1 2

5、 kj 1 2 k2000k 0(e00e2 N(e 2 Ne 2 N) e 2 N2 Ne 2 N)j0 N1j0 N11 ae2sin0 Ne2 sin0 N1 2 k2j 1 2 k22j0101e2NsinNk0e2NsinNk022（ 2）因为 x(n)an RN (n) ，所以N1n2nk1 aNNX (k)a ejj 2kn01aeN（ 3）因为 x(n)(nn0 ),0n0N ，所以N12nkN12nk2n0 kX (k)x(n)ej(n n0 )ejjNNe Nn0n 0（ 4）因为 x(n)nRN (n) ，所以N 1N 1X ( k)nWNnk RN ( k),WNk X

6、 (k)nWN(n1) k RN (k)n 0n0N 1N 1X ( k)(1WNk )(nWNnknWN(n 1) k )RN (k )n0n0k2 k3k（N）( N 1) k2 k2 kWN2WN3WN1WN(WN2WN( N2)WN( N 1) kN1) RN (k)N 1(N 1)WNnk )R N (k)n1(N 1)W Nkk1 RN (k )NRN (k)1WN所以X (k )Nk RN (k )1WN（ 5）由 x(n)n2 RN (n)，则N1n 2WNnk RN (k )X ( k)n0根据第（ 4）小题的结论x1 (n)nRN (n)精彩文档实用标准文案N 1则X (k

7、 )nWNnkn0N 1X (k )(1WNk )n2WNnkn 0N k RN ( k)1 WNN1n2WN( n 1)kn 0k2 k3k（2(N 1) k2 k3 kWN4WN9WN）WN4WNN 1WN（2( N1)k2N）(N 1)2 WN1) 2N11)WNnk( N( 2nn1N1N ( N2)2nWNnkn1N ( N2)2X 1 (k )N ( N2)2N1WNk所以X (k)N ( N2)WNkN 2,0kN1(1WNk ) 26. 如图 P3-6(a)画出了几个周期序列x( n) ，这些序列可以表示成傅里叶级数1N1x(n)X ( k)e j (2/ N )nkN k0问

8、：（ 1）哪些序列能够通过选择时间原点使所有的X (k ) 成为实数？（ 2）哪些序列能够通过选择时间原点使所有的X (k ) ）（除 X (0) 外）成为虚数？（ 3）哪些序列能做到X (k) 0， k=± 2，± 4，± 6， 精彩文档实用标准文案图 P3-6 （ a）解：（1）要使 X (k ) 为实数，即要求X * (k )X ( k)根据 DFT的性质， x( n) 应满足实部偶对称，虚部奇对称 （以 n=0 为轴）。又由图知， x(n) 为实序列，虚部为零，故x(n) 应满足偶对称x( n)x( n)即 x( n) 是以 n=0 为对称轴的偶对称，可看

9、出第二个序列满足这个条件。如图 P3-6(b) 所示。图 P3-6（ b）（2）要使 X (k ) 为虚数，即要求X * (k )X (k )根据 DFT 的性质， x(n) 应满足实部奇对称，虚部偶对称（以n=0 为轴）。又已知 x(n) 为实序列，故x( n)x( n)即在一个周期内，x(n) 在一圆周上是以n=0 为对称轴的奇对称，所以这三个序列都不满足这个条件。（3）由于是8 点周期序列，对于第一个序列有3j 2nk1 eX 1 (k )e8j k11kn 01 e() 0。当k2,4,6 时，X1k对于第二个序列有j k4jk1e4精彩文档实用标准文案2j nkX 1 (k )e4n

10、 0()0。当k2,4,6 时，kX 11 e1 e3jkj k4对于第三个序列有x3 (n)x1 (n)x1 (n4)根据序列移位性质可知e j k(1 e jk ) 11kX 3 (k)X 1 (k)X 1 (k )k1je4当 k2, 4, 6 时，X 3 (k) 0。综上所得，第一，第三个序列满足X ( k) 0, k2,4,7. 在图 P3-7(a) 中画了两个有限长序列，试画出它们的六点圆周卷积。图 P3-7（ a）5解：y(n)x1 (m)x2 ( n m) 6 R6 (n)m 0结果如图P3-7(b) 所示。图 P3-7 （ b）8. 图 P3-8(a) 表示一个 5 点序列

11、x(n) 。（ 1）试画出 x(n) * x(n) ；精彩文档实用标准文案（ 2）试画出 x(n)x(n) ；（ 4） 试画出 x(n)x(n) ；图 P3-8 （ a）解：个小题的结果分别如图P3-8(b) ， P3-8(c),， P3-8(d) 所示。图 P3-8 （ b）图 P3-8 （ c）图 P3-8 （ d）精彩文档实用标准文案9. 设有两个序列x(n)x( n),0 n50,其他 ny(n)y( n),0 n140, 其他 n各作 15 点的 DFT，然后将两个 DFT相乘， 再求乘积的 IDFT ，设所得结果为f (n) ，问f (n) 的哪些点（用序号n 表示）对应于x(n)

12、 * y( n) 应该得到的点。解：序列 x(n) 的点数为 N1=6， y(n) 的点数为 N2=15，故 x(n) * y(n) 的点数应为NN1N2120又 f (n) 为 x(n) 与 y(n) 的 15 点的圆周卷积，即L=15。所以，混叠点数为N-L=20-15=5 。即线性卷积以15 为周期延拓形成圆周卷积序列f (n) 时，一个周期内在n=0 到 n=4(=N-L-1)这 5 点出发生混叠，即f (n) 中只有 n=5 到 n=14 的点对应于x(n) * y(n) 应该得到的点。10.已知两个有限长序列为n 1,0n3x(n)n60,41,0n4y(n)n61,5试作图表示

13、x(n) ， y(n) 以及 f ( n)x(n)y(n) 。解：结果如图P3-10 所示。精彩文档实用标准文案图 P3-1011. 已知 x(n)序列 y(n)是 N 点有限长序列，X ( k)DFT x(n) 。现将长度变成rN 点的有限长y(n)x(n),0 nN10, NnrN1试求 rN 点 DFTy(n) 与 X k的关系。解：N 12nkj由X (k)DFT x(n)x( n)eN,0kN 1n 0rN 1N1Y (k )DFT y(n)y(n)WrNnkx(n)WrNnk可得n 0n 0N 12kX kx(n)ejn, klr ,l0,1, ,N 1Nrn 0r所以在一个周期内

14、，Y(k ) 的抽样点数是X (k) 的 r倍（ Y( k) 的周期为 Nr），相当于在X (k)的每两个值之间插入r-1个其他的数值（不一定为零） ，而当 k 为 r 的整数 l 倍时，Y (k )与 Xk相等。r12. 已知 x(n) 是 N 点的有限长序列，X (k )DFT x( n) ，现将 x(n) 的每两点之间补进 r-1 个零值点，得到一个rN 点的有限长序列y(n)精彩文档实用标准文案x(n / r ), n ir , n ir , i0,1, ,N 1y(n)其他 n0,试求 rN 点 DFT y(n) 与 Xk的关系。解：N 1由X (k ) DFT x( n)x(n)W

15、Nnk ,0k N1n 0可得rN1N1N 1Y( k)DFT y( n)y(n)WrNnkx irr WrNirkx(i)WNik ,0 k rN 1n0i0i 0而Y (k) X (k ) N RrN (k )所以 Y(k ) 是将 X (k) ( 周期为 N)延拓 r 次形成的，即Y(k ) 周期为 rN。13. 频谱分析的模拟信号以 8kHz 被抽样， 计算了 512 各抽样的 DFT，试确定频谱抽样之间的频率间隔，并证明你的回答。证明：由f ss , F0022得f ssF00其中s 是以角频率为变量的频谱的周期，0 是频谱抽样之间的频谱间隔。又f ssNF00则F0f sN对于本题

16、有f s 8kHz, N 512F0800015.625Hz51214.设由一谱分析用的信号处理器，抽样点数必须为2 的整数幂，假定没有采用任何特殊数据处理措施，要求频率分辨力10Hz，如果采用的抽样时间间隔为0.1ms，试确定：（ 1）最小记录长度； （ 2）所允许处理的信号的最高频率； （ 3）在一定记录中的最好点数。解：（1）因为 T01，而F010Hz ，所以F0精彩文档实用标准文案T01 s10而最小记录长度为 0.1s 。（2）因为 f01110310kHz ，而T0.1f s2 f h所以f h1 fs 5kHz2即允许处理的信号的最高频率为5kHz。（3） NT00.110 3

17、1000 ，又因 N 必须为 2 的整数幂，所以一个记录中的最少点数T0.1为N 2101024 。15. 序列 x(n) 的共轭对称和共轭反对称分量分别为xe (n)1 x( n) x* ( n) ， xo (n) 1 x(n) x* ( n)22长度为 N 的有限长序列x(n) （ 0 n N-1）的圆周共轭对称和圆周共轭反对称分量分别定义如下：1x(n)Nx* (n)N( )xep ( n)RN n2xop ( n)1 x(n)Nx* (n) N RN (n)2（1）证明xep (n) xe (n)xe (nN ) RN (n)xop (n) xo ( n)xo (nN ) RN (n)

18、（2）把 x( n) 看作长度为 N 的序列，一般说，不能从xep (n) 恢复 xe (n) ，也不能从 xop (n)恢复 xo (n) 。试证明若把x(n) 看作长度为 N 的序列，且n N/2 时 x(n)0 ，则从xep (n) 可恢复 xe (n) ，从 xop (n) 可恢复 xo (n) 。证明（ 1）方法一由于 x(n) 只在 0nN1 的范围内有值，则有xep (n)1 x(n) N x* ( n) N RN (n) 1 x(n) 1 x* ( N n)222n=0 时x* ( Nn)x* (0)精彩文档实用标准文案（a） 0 nN 1时xe (n)1 x(n)x* (n)

19、1 x( n)22xe (nN )1 x(nN )x* ( Nn)2所以xep ( n)1 xe (n)xe (n N ) RN (n)2（b） n=0 时x(n N )R(n)0，x*(N)( )Nn RNn则有1 x* (N n)20xep ( n)1 x(n)x* (n) RN (n)1 x(n)x* ( n)x( n N ) x* (N n) RN (n)22 xe (n) xe ( n N ) RN ( n)综上所述xep (n) xe (n)xe (nN ) RN (n)同理可证xop (n) xo ( n)xo (nN ) RN (n)方法二（a） xep (n) xe (n)x

20、e (nN ) RN (n)xe (n)1 x(n)x* (n)2xe (n)RN (n)1 x(n)x* (0)( n)21xe (nN ) RN ( n) x(nN )x* (N n) RN (n)2因为x( nN )RN (n)0所以xe (n N ) RN (n)1 x* ( N n)x* (0) (n N )2 +得 xe (n)xe ( nN ) RN (n)1 x( n) x* ( N n) x* (0) (n) x* (0) ( n N )2（ b）由于xe (n) N1 x(n) N x* ( n) N 2x( n) N RN ( n)x(n)x* ( n) N RN ( n

21、)x* (Nn)x* (0) ( n)x* (0) (nN )(4)+(5)得精彩文档实用标准文案xep (n)1 x(n) Nx* (n) N RN (n)21 (n)x* ()* (N n)x* (0)(n)x*(0) (n N)2xN n x(3) 与 (6)比较可知xep ( n) xe (n)xe (nN ) RN (n)同理可证xop (n) xo ( n)xo (nN ) RN (n)（2）利用（ 1）的结果xep (n) xe (n)xe (nN ) RN (n)xe (n N )1 x(n N )x* ( n N )2 按照题意 ,当 0nN / 2 时， x(n)0。此时N n NN/2，N/2n N N所以当 0nN / 2 时， x(nN )0 ， x* (nN )0 ，故xe (n N ) 0所以当 0nN/2时，xep( n)xe (n) 。 当N / 2n1 时，按共轭对称有xe* ( n)1 x(n)x* (n)xe (n)2且由（ 1）的结论知xe