最全高中不等式解法.

1、不等式的解法三、解不等式1解不等式问题的分类(1) 解一元一次不等式(2) 解一元二次不等式(3) 可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式解一元高次不等式；解分式不等式；解无理不等式；解指数不等式；解对数不等式；解带绝对值的不等式；解不等式组2解不等式时应特别注意下列几点：(1) 正确应用不等式的基本性质(2) 正确应用幂函数、指数函数和对数函数的增、减性(3) 注意代数式中未知数的取值范围3不等式的同解性f(x) 0f(x) 0(1)f(x) · g(x) 0与或同解g(x) 0g(x) 0f(x) 0f(x) 0(2)f(x) · g(x) 0与或同解g(x) 0g(

2、x) 0(3)f(x)f(x) 0f(x) 0 0与或同解 (g(x) 0)g(x)g(x) 0g(x) 0(4)f(x)f(x) 0f(x) 0 0与或同解 (g(x) 0)g(x)g(x) 0g(x) 0(5)|f(x)| g(x) 与 g(x) f(x) g(x) 同解 (g(x) 0)(6)|f(x)| g(x) 与 f(x) g(x)或 f(x) g(x)( 其中 g(x) 0)； g(x) 0 同解f(x) g(x) 2(7)f(x) g(x)与 f(x) 0f(x) 0同解或g(x) 0g(x) 0(8)f(x) g(x) 2f(x) g(x) 与同解f(x) 0(9)当 a1

3、时， af(x) ag(x) 与 f(x) g(x) 同解，当 0 a 1 时， af(x) ag(x)与 f(x) g(x) 同解(10) 当 a 1时， log a f(x) log ag(x) 与f(x) g(x)同解f(x) 0f(x) g(x)当0a1时， log a f(x) log a g(x)与 f(x) 0同解g(x) 04 零点分段法：高次不等式与分式不等式的简洁解法步骤：形式：P( x)0 移项，通分（不轻易去分母）Q (x)首项系数符号 >0标准式， 若系数含参数时， 须判断或讨论系数的符号，化负为正判断或比较根的大小题型讲解例 1 不等式 (1+x)(1-x )

4、>0 的解集是（）A x 0 x 1B x x 0且x1C x1 x 1D x x 1且x1解： (1+x)(1- x ) 0 的解为 x=1,x= -1( 二重根 )画出数轴：+-101-x不等式 (1+x)(1-x )>0 的解集是xx 1且x1另法： x= 1 和 x2 显然属于原不等式的解集，所以选（D）2例 2解不等式x 23x2xxx 2解：由x 23xxx( x1)2x 2x2(x 1)( x02)其零点分别为：-1,0,1( 二重 ),2，画出数轴如下：- -1+- 2+01x由图知，原不等式的解集为1,012,x0例 3 求不等式组3x2x 的解集3x2x解法一：

5、由题设x>0，3x2x ，得 3x0 ，即3 x 3 ， 0x 3 ，3x2x3x原不等式组等价于0x 2（1）x)( x2)( 2x)(3；(3x)2x 3（2）x)( 2x)( x2)(3x)(3由（ 1）得 0x2 ，由（ 2）得 2x6 ，故原不等式组解集为x 0x6解法二：由已知条件可知3x0两边平方，原不等式组等价于3xx 03 x 2 x 22 x 3 x 2x00 x 6x(x6)(x6)0即原不等式组解集为x0x6例 4解关于 x 的不等式m3 x1 x10( mR)解：下面对参数m 进行分类讨论：当 m=3 时，原不等式为x+1>0 ，不等式的解为x1当 m3

6、时，原不等式可化为x1x10m3101 ，不等式的解为x1 或 x1m3m3当 m3 时，原不等式可化为x1(x1)0m31m4，m313m当4m311原不等式的解集为1x1 ；时，3mm3当 m4 时，11 原不等式的解集为1x13；mm 3当 m4 时，11 原不等式无解3m综上述，原不等式的解集情况为：当 m4时，解为1x1；m3当 m4 时，无解；当 4m3 时，解为11；xm 3当 m=3 时，解为 x1；当 m3时，解为 x1或 x1m 3例 5 已知 f(x) ，g(x) 都是定义在 R 上的奇函数， 不等式 f(x)>0 的解集是 (m，n)，不等式 g(x)>0的

7、解集是m , n ，其中 0 mn ，求不等式f ( x)g( x)0 的解集222解： f(x) ，g(x) 是奇函数， 不等式 f(x)>0的解集是 (m，n)，不等式 g(x)>0 的解集是m , n，22不等式 f(x)<0的解集是n, m ，不等式 g(x)<0 的解集是mn,22而不等式 f ( x)g ( x)0 等价于f ( x)0或f (x)0g( x)0g(x)，0所以其解集为m, nm , nn, mn , mm, nn , m222222例 6若不等式 kx 2-2x+1-k<0对满足2k2 的所有 k 都成立，求 x 的取值范围解：原不等

8、式可化为( x 2 1)k(2x1)0设 f (k )(x 21)k( 2x 1)( 2k2)，是关于 k 的单调函数，根据题意有：f ( 2)2( x21) ( 2x 1) 02 x22x 3 0，即17x13解得22点评：用换元、 分离变量的方法在不等式的求解过程中比较常出现，也是解决含参数问题的重要方法例 7己知关于 x 的不等式 (ab) x(2a3b)0的解为 (, 1) ，求关于 x 的不等式3(a 3b)x(b2a)0 的解集解： (ab) x(3b2a) ，因其解集为 (,1) ，3b2a1 ，3ab0, 且ab3从而 a2b,又 ab3b0,b 0,将 a2b 代入 ( a3

9、b) x (b 2a)0 ，得bx3b 0, x3所求解集为 (, 3)例 8己知不等式ax 2bxc0 的解集为 x |x ，其中0 ，求不等式 cx 2 bx a 0 的解集解：,为方程 ax2bxc0 的两根，b(), cba(), caaa不等式 cx2bxa0 可化为 ax2a()xa0,由己知条件得a0 得x2()x10 ,f ( 2)2(x 21)(2x1)02 x22x10即 x 2( 1 1 ) x10 ，它的解集为 x | x1 或 x1 a点评：根据解集的表示形式可以确定a0例 9解不等式：（ 1） x33x ；（ 2）122x1x解 （ 1）原不等式与不等式组3x0x)

10、 2 ，或x30同解，x3(33x0分别解不等式组得 1x3或 x3，原不等式的解集为 (1,)x10（2）原不等式与不等式组12x20同解，( x1) 212x 2解之得220x2x或，232原不等式的解集为 2 ,2 0,2 232点评 ：一个无理不等式转化为两个不等式组还是转人为一个不等式组，这是解无理不等式的一个基本问题 （ 1）中的第一个不等式组中可省去x30 ，（ 2）中的不等式组中则不可1yx3和y3x 的图象上看出，让学生学会用图省去任何一个 （ ）的结果可从函数象法解不等式例 10设关于 x 的二次方程px2( p1)xp10 有两个不等的正根，且一根大于另一根的两倍，求p

11、的取值范围解： 由( p1) 24p( p 1) 0 ，得 12 3p12 333当 x1x21 p0及 x1p 10 时，方程的两根为正，px2p解之，得 0p1，23故 0 p1，3记 x11 p3p26 p 1， x21 p3 p 26 p 12 p2 p，由 x22x1 ，并注意 p0 ，得33 p 26 p11 p0 ，28 p 252 p 8 0 ，即 7 p213 p 2 0 ，2p171综上得 p 取值范围为 p | 0p7点评：先解出 p0 ，1p0，在不等式的转化过程中起了简化作用例 11解不等式 log 1 a 4 x2a 2 x (a1) x(a1)2 x10, (a

12、0)2解：a4 x2 2 x (a1)x(a1)2 x1>1,a a 4 x2a 2x (a1)x(a1)2 x >0,a22 xa2x210 ,a2121aa2x2 121a当 0<a 21<1，即 0<a<15 时，a22原不等式的解为xlog2 (21) ;aa 21当 a> 15 时，解集为 x| xloga2( 2 1);2a 21当 a= 15 时，解集为 R2小结：1 一元一次不等式、一元二次不等的求解要正确、熟练、迅速，这是解分式不等式、无理不等式、 指数不等式、对数不等式的基础带等号的分式不等式求解时，要注意分母不等于0，二次函数 y

13、 ax2bx c 的值恒大于0 的条件是 a 0 且0 ；若恒大于或等于 0，则 a 0且0 若二次项系数中含参数且未指明该函数是二次函数时，必须考虑二次项系数为0 这一特殊情形2 忽略对定义域的考虑以及变形过程的不等价，是解无理不等式的常见错误，因此要强化对转化的依据的思考3 数形结合起来考虑，可以简化解题过程，特别是填空、选择题，还可利用图形验证，解题的结果4 解指数、对数不等式的过程中常用到换元法底数是参数时，须不重不漏地分类讨论化同底是解不等式的前提取对数也是解指数、对数不等式的常用方法之一，在取对数过程中，特别要注意必须考虑变量的取值范围当所取对数的底数是字母时，随时要把“不等号是否

14、变向”这一问题斟酌再三5解含参数的不等式时，必须要注意参数的取值范围，并在此范围内对参数进行分类讨论分类的标准要通过理解题意（例如能根据题意挖掘出题目的隐含条件），根据方法（例如利用单调性解题时，抓住使单调性发生变化的参数值），按照解答的需要（例如进行不等式变形时必须具备的变形条件）等方面来决定，要求做到不重复、不遗漏解不等式是不等式研究的主要内容，许多数学中的问题都可以转化为一个解不等式的问题，如函数的定义域、值域、最值和参数的取值范围，以及二次方程根的分布等因此解不等式在数学中有着极其重要的地位，是高考的必考内容之一学生练习1不等式 4x>9的解集是（）xAx| <3或x>

15、;3 Bx|x>3且x 3 x2222C x| 3 <x<0 或 x> 3 D x| 3 <x< 3 2222答案 :C2不等式x2x6<0 的解集是（）x21Ax| 2<x<3Bx|x<2 或x>3 C |>2 D |x<3x xx答案 :B3不等式x1 >x 3 的解集是（）A x|3 x<5 B x|3< x 5C x|1 x<3 或 3<x<5 D x|1 x<5答案 :D4不等式 1 lg (2 x 1)> lgx的解集是（）A x| 2<x< 5

16、 B x|0< x< 5 C x|1 <x< 5 D x| x> 1 22222答案 :C5不等式组(x2)( x5)0x 5) 0 同解，则 a 的取值范围是（）x(xa)0与不等式 ( x2)(Aa>5 B a<2 C a 5 D a 2答案 :D提示 :不等式组( x2)( x5)0的解是 2x5 且(x )0,即要求(x)x( xa)0xaxa0 的解包含 2x5，<2a6不等式 2 > 3 的解集是（）xA x| x< 2 B x| x< 2 或 x>0 C x| x> 2 且 x0 D x| 2 <

17、x<03333答案: B7不等式 2x3 <2 的解集是（）3x4A x| x> 5 B x| x< 5 或 x> 4 C x| x> 4 D x| 5 <x< 4 443343答案: B8不等式 ax2 ax ( a 1)<0的解集是全体实数，则a 的取值范围是（）A(,0)B(,0)(4,+)3C(,0D(,0(4,+)3答案 : C 提示 : 不等式 ax2 ax( a 1)<0 的解集是全体实数 , a=0 时成立，当 a<0 时 , 判别式 <0, 得 a<0 时成立， a ( , 09不等式 log 1x

18、4 <log 1 (8 x) 的解集是（）32x33A x|3 <x<2 或 x>7 B x| 3 <x<8 C x|3 <x<2 或 7<x<8 D x| x< 4222答案 :C 提示:x4>0, 8 x>0 且 x4>8 x,解得 3 <x<2 或 7<x<82 x32 x3210若不等式f(x)0的解集是 ,不等式()<0的解集是，则不等式组f (x)0的解Fg xGg( x)0集是ACR(F G) BDCR(F G)CF GF G答案 :B提示 : f( x)<0的

19、解集是 F ,g( x) 0的解集是 CRG ,f ( x)0不等式组g (x)的解集0是 CR(F G)11不等式x 1 <x 2 的解集是（）A( , 55)(55,+)B ( 5 5, 5 5)C (1,+ )D(55,+)2答案 :D12解不等式 ax2 bx2>0 得到解集 x| 1 <x< 1 ，那么 a b 的值等于23A10 B 10 C 14 D 14答案 :D 提示: x x =1,126x13不等式 ( 3)( 2)(5)>0的解集是xx答案 :x<2 或 3<x<514不等式 9xx+142· 32 >0

20、的解集是答案 :x>log 32 提示:xt2 6t 16>0,t >2 或 t < 8, x>log 32设 3 =t ,115函数 y= lg ( x2 2x 2)2 的定义域是答案 :x<1 或 x>316设全集 I =R，集合 M= x|x2>2,Nxlogxlog37，那么 MCRN =|7>答案:x| x 3 或 x 2 提示 :M x| x>2 或 x< 2,N= x| 1< x<3, M CR N = x| x 3 或 x 217满足不等式1<0 5 n< 1 的最小整数n 是51232答

21、案 :n=618若 0<a<1，则关于x 的不等式 a2x 1a( x 1) 的解集是答案 :x 1提示 : ( a2 a) x 1 a,0<a<1, a2 a<0, x 1aa19不等式 a x22x 10 >105lga( a>0, a1) 的解集是答案 :当 0<a<1时 , 3<x<5; 当 a>1 时,x< 3 或 x>5提示 :105lga a5,当 0<a<1 时, x2 2x 10<5, 3<x<5;当 a>1 时 , x2 2x10>5, x<

22、3或 x>520不等式log sinx ( x2 9)>0 的解集是答案 : x| 10 <x< 或 3<x< 2222提示 : 0< sinx <1 且 0<x2 9<1, x| 2 <x< 或 0<x< 或 并且 x| 10 <x< 3 或3<x< 10 , x| 10 <x< 或 3<x< 21曲线 x2y 2x y=0 的最高点的坐标是答案 : (1, 1)提示 : =4 4y2 0,y2 1,ymax=1,此时 x=1,最高点的坐标是 (1, 1)22x

23、 的不等式2xa <x1解关于答案：当 a 2 时，解集为空集；当a> 2 时,a x<a1x a<x1, x> a ,2提示： 2 x a>0,x 1>0, 2x> 1, 当 a 2 时 , 解得 x<a 1< 1, 矛2盾；当 a> 2 时 ,a > 1， a x<a 12223已知正三角形ABC的三个顶点是A( a, 0),B( a, 0),C(0,3 a) ，其中 a>0，连接 AB边上的点 P( x,0) 及 AC边上的点 Q的线段 PQ把 ABC的面积二等分 , 求 | PQ|的最大值和最小值答案：

24、最小值是2 a， 最大值是3 a提示： | AP|AQ| sin 60° =2AP|= x a,2a23 a , | AQ|=ax22(2a 2222PQ| 的最小值是2 a，再讨论函数的增减性，| PQ| =( x a) 4a cos60° 2a , |x a得当 x=0 或 x=a 时 , 取得最大值为3 a24 已知 6<a<10,a b 2a, c=a b, 则 c 的取值范围是（）2A9 c 30 B9c 18 C 9<c<30 D 15<c 30答案： 提示：3a <<3 , 9< <30Cc ac2A( ，

25、 4/3)(1/2, + )B( 4/3, 1/2)C ( , 1/2) (4/3, + )D( 1/2, 4/3)答案： B26a>0, b>0,不等式 a>1> b 的解集为（）xA1<<0或0< <1Bx<1 或x> 1xxababC 1 <x<0 或 0<x< 1D 1 <x< 1abab答案： B27与不等式 x30 同解的不等式是（）2xA( x 3)(2 x) 0 B0<x 2 1 C2x 0D ( x 3)(2 x)>0答案： B 提示： x3x30 的解是 2<x

26、 3, 0<x 21 的解也是 2<x 32x28不等式2x 1 >x2的解集是（）A x 1<x<5 B x 1 x<5 C x2 x<5D x x>22答案： B129 若 f ( x)= x 3 , 则当 x>1 时， f ( x)f 1( x) ( 填 >, < 或 =)答案： <x130当 0 x 2 时， f (x)= 4232 x27的最大值为 ;最小值为1答案： 3； 11 提示： f ( x)= 4x 232 x 27 2(2 x 3)2 11, 当 x=0 时, 最大值为 3，当 x=log 23 时

27、, 最小值为 1131函数 f (x)= log 2 ( x2 4),g (x)=2x2k(k< 1), 则 f( x) g ( x) 的定义域为答案： 2 k,2) (2, + )提示： x2 4>0,得 x>2 或 x< 2, x 2k0,得 x 2k, x2 k, 2) (2, + )25 不等式 6x2 5x<4 的解集为（）32 A= x2x 10 ,B= x x2 ( a 5) x 5a<0,若 A B x 1 x<5,则 a 的x23x22取值范围是答案： 1 ,1 提示： A= x| 1<x< 2) 或 x 1 , B= x

28、| a<x<5, 1 a 1 , a222 1,1233 不等式 x2 2 x 2 2<0 的解集是答案： 1<x<12x2x233提示： x 22<0,其中x解得 3<|x|<1|,13, 13 <x<1 334 若 x、 y R,且 x2 y2=1, 则 (1 xy)(1xy) 的最大值为;最小值为答案： 1； 342 2mx2m 2=0有实根，则两根之积的最大值为35 若二次方程 x4x 2m 4答案： 104622解得 6x 62m 2,提示： x 2mx 4x 2m 4m2=0 有实根， 0, x1x2=2m4当 m= 6 时,12取最大值为10 46x x36 解不等式： ( x 4)( x 5) 2>(3 x 2)( x5) 2答案：