必备方法__破解导数问题常用到的4种方法

1、必备方法破解导数问题常用到的4 种方法1设定义在 R上的函数 f ( x) 满足 f (0) 1，其导函数 f (x) 满足 f (x)> k>1，则下列结论一定错误的是 ()1111Af k<Bf k > 1kk1111Cf k1 <k 1Df k 1 >k1解析：选 C根据条件式f( )>k得f() >0，可以构造 () ( ) kx，因xxkF xfx为 ()( )>0，所以 () 在 R上单调递增又因为k>1，所以1>0，从而F xfx kF xk 111k11F k 1 >F(0) ，即 f k1 k1>1

2、，移项、整理得 f k1 >k1，因此选项 C 是错误的，故选 C.fx2已知 f ( x) 是定义在R 上的增函数，其导函数为f (x) ，且满足 f x x<1，则下列结论正确的是 ()A对于任意 R，(x)<0xfB对于任意xR， f ( x)>0C当且仅当 x( ， 1) 时， f ( x)<0D当且仅当 x(1 ， ) 时， f ( x)>0fx解析：选 A 因为函数 f ( x) 在 R 上单调递增，所以f (x) 0，又因为 f x x<1 ， 则 f (x) 0， 综 合 可 知 f (x)>0.fx x<1 ， 则 f (

3、 x) 又 因 为 f xxf (x)< f (x) ，即 f ( x) ( x1) f (x)<0 ，根据“ f ( x) ( x1) f (x) ”的特征， 构造函数 F( x) ( x 1) f ( x) ，则 F(x)<0 ，故函数 F( x) 在 R 上单调递减，又 F(1) (1 1) f (1) 0，所以当 x>1 时， x1>0，F( x)<0 ，故 f ( x)<0. 又因为 f ( x) 是定义在 R 上的增函数，所以当 x1时， f ( x)<0 ，因此对于任意 x R，f ( x)<0 ，故选 A.3设y() 是(0

4、 ， ) 上的可导函数，f(1) 2，( 1)2f() xf (x)>0(x1)fxxx恒成立若曲线f(x) 在点 (1,2)处的切线为y () ，且( )2 018，则a等于 ()g xg aA 501B 502C 503D 504解析：选 C由“2f ( x) xf (x) ”联想到“2 xf ( x) x2f (x) ”，可构造 F( x) x2f ( x)( x>0) 由 ( x 1)2 f ( x) xf ( x)>0(x1) 可知，当 x>1 时，2f ( x) xf (x)>0 ，1则 F(x) 2xf ( x) x2f (x)>0 ，故 F(

5、 x) 在(1 ， ) 上单调递增； 当 0<x<1 时， 2f ( x)xf (x)<0 ，则 F(x) 2xf ( x) x2f (x)<0 ，故 F( x) 在(0,1) 上单调递减，所以x1 为极值点，则 (1)2×1×f(1) 12 (1) 2(1) (1) 0. 由f(1)2可得Fffff(1) 4，曲线f() 在点 (1,2)处的切线为2 4(x1) ，即y64x，故 ()xyg x 6 4x， g( a) 64a 2 018 ，解得 a 503，故选 C.4设 f (x) 是函数 f ( x)( xR) 的导函数，且满足xf (x)

6、2f ( x)>0 ，若在 ABC中，角 C 为钝角，则 ()Af (sinA) ·sin2B>f (sinB) ·sin 2ABf (sinA) ·sin2B<f (sinB) ·sin 2ACf (cosA) ·sin 2B>f (sinB) ·cos 2ADf (cosA) ·sin 2B<f (sinB) ·cos 2Afx解析：选 C根据“ xf (x) 2f ( x) ”的特征，可以构造函数F( x) x2 ，则有x2f x 2xfxx xf x2fxF(x) x4x4，所

7、以当 x>0 时， F(x)>0 ，F( x) 在(0 ， ) 上单调递增因为2 <C<，所以 0<A B< 2 ，0<A< 2 B，则有 1>cosfcos AfsinBA>cos 2 B sin B>0，所以 F(cos A)> F(sin B) ，即 cos 2A > sin 2B ， f (cos A) ·sin 2 B>f (sin B) ·cos 2A，故选 C.5(2018·长春三模 ) 定义在 R 上的函数 f ( x) 满足： f (x) f ( x) 恒成立，若

8、x1x2，则 ex1f ( x2) 与 ex2f ( x1) 的大小关系为 ()Aex1f ( x2) ex2f ( x1)Bex1f ( x2) ex2f ( x1)Cex1f ( x2) ex2f ( x1)Dex f ( x ) 与 ex f ( x ) 的大小关系不确定1221解析：选A设(fx，则 ()f x ex fx ex) xx2g xeg xef xfx，由题意知 g(x) 0，所以 g( x) 单调递增，当 x1 x2 时，g( x1) g( x2) ，exfx1fx2，所以 ex1f ( x2) ex2f ( x1) 即e 1e2xx6设定义在 R上的函数 f ( x)

9、满足 f (1)2，f (x)<1 ，则不等式 f ( x2)> x21 的解集为 _2解析：由条件式f (x)<1 得 f (x) 1<0，待解不等式f ( x2)> x2 1 可化为 f ( x2)x2 1>0，可以构造F( x) f ( x) x1，由于 F(x) f (x) 1<0，所以 F( x) 在 R上单调递减又因为(2) f(x2) x21>02121f(1 2) 121 (1 2) ，所以F xFx2<12，解得 1< <1，故不等式f(x2)>x21 的解集为 | 1< <1 xxx答案：

10、x| 1<<1x7若定义在 R上的函数f() 满足( )(x)>2 ，(0) 5，则不等式f( )<3xxfx ffxe2 的解集为 _解析：因为 f (x) f ( x)>2 ，所以 f (x) f ( x) 2>0，不妨构造函数 F( x) ex f ( x)xx32e . 因为 F(x) e f ( x) f ( x) 2>0 ，所以 F( x) 在 R 上单调递增 因为 f ( x)< ex 2，所以 exf ( x) 2ex <3，即 F( x)<3 ，又因为 F(0) e0f (0) 2e03，所以 F( x)< F

11、(0) ，3则 x<0，故不等式f ( x)< ex 2 的解集为 ( ， 0) 答案： ( ， 0)28已知函数f ( x) x x 1 alnx，a 0，讨论 f ( x) 的单调性2a x2ax2解：由题意知， f ( x) 的定义域是 (0 ， ) ，导函数 f (x) 1 x2xx2.设 g( x) x2 ax 2，二次方程 g( x) 0 的判别式 a2 8.当0，即 0 a2 2时，对一切 x 0 都有 f (x) 0.此时 f ( x) 是(0 ， ) 上的单调递增函数当0，即 a 2 2时，方程 g( x) 0 有两个不同的实根x1a a2 82， x2aa2 8

12、，0x1 x2.2由 f (x)>0 ，得 0<x<x1 或 x>x2. 由 f (x)<0 ，得 x1<x<x2.所以 f ( x) 在 0，aa2 8 上单调递增，2在 aa28， aa2 8 上单调递减，22在 aa28， 上单调递增29设 a0，求证：当x>1 时，恒有 x>ln 2x 2alnx1.3证明：令 g( x) x ln 2x2alnx1( x>1) ，x2lnx2a所以 g(x) .x2 x 2令 u( x) x 2lnx2a，所以 u(x) 1 x x .x(0,2)(2 ，)u(x)所以 u( x) u(2) 2(1 ln 2a)>0 ?g(x)>0 ，所以 g( x) 在 (0 ， ) 递增因为 x>1，所以 g( x)> g(1) 0，所以原不等式成立1 x10已知函数 f ( x) ln( ax 1) 1 x，x0，其中 a>0. 若 f ( x) 的最小