2019年高考数学一轮总复习冲刺专题探究课1函数与导数中的高考热点问题

1、最新教学推荐函数与导数中的高考热点问题(对应学生用书第44页)命题解读函数是中学数学的核心内容，导数是研究函数的重要工具，因此，函数与导数是历年高考的重点与热点，常涉及的问题有：讨论函数的单调性(求函数的单调区间)、求极值、求最值、求切线方程、求函数的零点或方程的根、求参数的范围、证明不等式等，涉及的数学思想有：函数与方程、分类讨论、数形结合、转化与化归思想等，中、高档难度均有.利用导数研究函数的性质函数的单调性、极值是局部概念，函数的最值是整体概念，研究函数的性质必须在定义域内进行，因此，务必遵循定义域优先的原则，本热点主要有三种考查方式：(1)讨论函数的单调性或求单调区间；(2)求函数的极

2、值或最值；(3)利用函数的单调性、极值、最值，求参数的范围.卜例0(2015全国卷n)已知函数f(x)=lnx+a(1x).讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a2时，求a的取值范围.解(1)f(x)的定义域为(0,+8),f'(x)=1a.x若aw。，则f'(x)>0,所以f(x)在(0,+8)上单调递增.若a>0,则当x0,1i时，f'(x)>0；a当x+oo刊,f'(x)<0.a所以f(x)在,；单调递增，在+8,单调递减.(2)由知，当a<0时，f(x)在(0,+8)上无最大值；1一，当a>0

3、时，f(x)在x=-取得最大值，最大值为a5 rln (a W a<11-a：jn a+a_1.3因此f°>2a2等价于Ina+a1<0.a+ 8)上单调递增，g(1) =0.g(a)=lna+a1,则g(a)在(0,于是,当 0<a<1 时，g(a)<0;当 a>1 时,g(a)>0.因此,a的取值范围是(0,1).规律方法1.研究函数的性质，必须在定义域内进行，因此利用导数研究函数的性质，应遵循定义域优先的原则.2 .讨论函数的单调性，求函数的单调区间、极值问题，最终归结到判断flx的符号问题上，而fx>0或flx<0,

4、最终可转化为一个一元一次不等式或一元二次不等式问题.3 .若已知fx的单调性，则转化为不等式f!x2Q或f.lx0在单调区间上恒成立问题求解.跟踪训练(2018.福州质检)已知函数f(x)=alnx+x-ax(aR).【导学号：79140096】(1)若x=3是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间；(2)求g(x)=f(x)-2x在区间1,e的最小值h(a).解(1)f(x)的定义域为(0,+8),2,，/、a2x-ax+af(x)=+2xa=,xx因为x=3是f(x)的极值点,183a+a所以f'(3)=-=0,解得a=9.3所以f' (x)=2x2 9x+9x(2x-3)

5、( x-3)3所以当0vxv2或x>3时，f'(x)>0;，3，当2<x<3时，f'(x)<0.所以f(x)的单调递增区间为0, 3讪(3, +8),单调递减区间为I 2(2)由题知，g(x)=f(x)-2x=alnx+x2ax2x.(2x a)( x 1)2x2ax+a(x)=2=xa当2W1,即aw2时，g(x)在1,e上为增函数，h(a)=g(1)=-a1；当1<a<e,即2va2e时，g(x)在1,2"为减函数，在e1上为增函数,h( a) =ga,a12Q广aln2-4"a；一.a当2>e,即a>

6、;2e时，g(x)在1,e上为减函数,h(a)=g(e)=(1e)a+e2e.ra1,aw2,a12I超型2|综上，h(a)=aln4aa,2vav2e,1(1e)a+e2e,a>2e.利用导数研究函数的零点问题研究函数零点的本质就是研究函数的极值的正负，为此，我们可以通过讨论函数的单调性来解决，求解时应注重等价转化与数形结合思想的应用，其主要考查方式有：(1)确定函数的零点、图像交点的个数；(2)由函数的零点、图像交点的情况求参数的取值范围.卜例引(2017全国卷I)已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.解(1

7、)f(x)的定义域为(一8,+8),f'(x)=2ae2x+(a2)ex1=(aex1)(2ex+1).(i)若awo,则f'(x)<0,所以f(x)在(8,+°0)单调递减.(ii)若a>0,则由f'(x)=0得x=-Ina.当xC(8,ina)时，f'(x)<0;当xC(Ina,十°°)时，广(x)>0.所以f(x)在(00,一ina)单调递减，在(Ina,+00)单调递增.(2)(i)若a<0,由(1)知，f(x)至多有一个零点.(ii)若a>0,由(1)知，当x=-ina时，f(x)取得最

8、小值，最小值为f(Ina)=1-+Inaa当a=1时，由于f(-Ina)=0,故f(x)只有一个零点；当aC(1,+8)时，由于12+Ina>0,a即f(Ina)>0,故f(x)没有零点；当a(0,1)时，11+Ina<0,即f(-Ina)<0.a又f(-2)=ae4+(a2)e2+2>-2e2+2>0,故f(x)在(00,一Ina)有一个零点.设正整数n°满足n°>In过1最新教学推荐nononono则f(nO)=e(ae+a-2)-no>eno>2-no>Q.由于lnA广Tna,5因此f(x)在(一Ina,十0

9、°)有一个零点.综上，a的取值范围为(o,1).规律方法利用导数研究函数零点的两种常用方法1用导数研究函数的单调性，借助零点存在性定理判断；或用导数研究函数的单调性和极值，再用单调性和极值定位函数图像求解零点问题2将零点问题转化为函数图像的交点问题，利用数形结合来解决跟踪训练(2。18武汉调研)已知f(x)=lnxx3+2ex2ax,aCR,其中e为自然对数的底数.(1)若f(x)在x=e处的切线的斜率为e2,求a；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.解(1)f'(x)=1-3x2+4ex-a,x1 .22.1f(e)=e+ea=e,-a=e.(2)由Inxx3+2e

10、x2ax=。，得ln-xx2+2ex=a.x记F(x)=-x2+2ex,x，1-Inx则F(x)=2-2(x-e).xxC(e,+8),f'(x)<o,F(x)单调递减.x(o,e),F'(x)>。，F(x)单调递增，1.F(x)max=F(e)=e+e2,而x一。时，F(x)一一8,x一十 oo 时， F(x) 一 一 8 .故a<e+e2.I整型3|利用导数研究不等式问题(答题模板)导数在不等式中的应用是每年高考的必考内容，且以解答题的形式考查，难度较大,属中高档题，突出转化思想、函数思想的考查.常见的命题角度有：(1)证明不等式;(2)由不等式恒成立求参

11、数范围问题；(3)不等式恒成立、能成立问题.例H(本小题满分12分)(2017全国卷n)设函数f(x)=(1x2)ex.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当x>0时，f(x)wax+1,求a的取值范围.规范解答(1)f'(x)=(12xx2)ex.令f'(*)=0得*=一1一或x=-1+,2.2分当xC(8,1机)时，f'(x)V0；当xC(1必，-1+小)时,f'(x)>0;当xC(1+小，+8)时，f'(x)v0.4分所以f(x)在(8,1，2),(1+y2,+°0)单调递减，在(142,1+J2)单调递增.5分(2) f(x)

12、=(1+x)(1-x)ex.当a>l时，设函数h(x)=(1-x)ex,h'(x)=xexv0(x>0),因此h(x)在0,十°°)单调递减.而h(0)=1,故h(x)w1,所以f(x)=(x+1)h(x)wx+1wax+1.8分当0<a<1时，设函数g(x)=ex-x-1,g'(x)=ex1>0(x>0),所以g(x)在0,+8)单调递增，而g(0)=0,故ex>x+1.当0Vx<1时，f(x)>(1-x)(1+x)2,(1-x)(1+x)2ax1=x(1-a-x-x2),取x0=V524a_1,则xc

13、(0,1),(1-xc)(1+xc)2-axe-1=0,故f(xc)>axc+1.10分当awo时，取x0=521,则xq(0,1),f(x。)>(1-xq)(1+xq)2=1>ax(0+1.11分综上，a的取值范围是1,+8).12分阅卷者说易错点防范措施函数h(x)与函数g(x)的构造认真分析不等式的结构特征，通过构造h(x),利用/、等式的性质，证明命题成立，通过构造g(x),为举反例说明命题/、成立创造了条件规律方法1.求单调区间的一般步骤1求定义域.2求flx，令f，x>0,求出fx的增区间；令fx<0,求出fx的减区间.3写出结论.2.恒成立问题的三种

14、解法1分离参数，化为最值问题求解.2构造函数，分类讨论，如fx、gx，即Fx=fxgx，求Fxmin0.3转变主元，选取适当的主元，可使问题简化.跟踪训练设函数f(x)=e2xaln_x.(1)讨论f(x)的导函数f'(x)零点的个数；2(2)证明：当a>0时，f(x)>2a+aln-.a【导学号：79140097】2xa解(1)f(x)的定义域为(0,+8),/x)=2e-(x>0).x当awo时，f'(x)>0,f'(x)没有零点；当a>0时，设u(x)=e2x,v(x)=x因为u(x)=e2x在(0,+°°)上单调递增v(x)=a在(0,+°°)上单调递增x所以f'(x)在(0,+8)上单调递增.a1.又f(a)>0，假设存在b满足0Vb<4且b时，f(b)<0,故当a>0时，f'(x)存在唯一零点.(2)证明：由(1),可设f'(x)在