用缩放法证不等式

1、实用标准文案用缩放法证明不等式四川省广元市宝轮中学唐明友所谓缩放法就是利用不等式的传递性，对照证题目标进行合情合理的缩小和放大的过程，在使用缩放法证题时要注意缩和放的“度”，否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式， 也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。下面举例谈谈运用缩放法证题的常见题型。一 . “添舍” 缩放通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。例 1.已知 a、b 、c 不全为零，求证：a2ab b2b2bc c2c2ac a2 3 （ a bc）222b23 2b2bb证明：因为 aab b（a2）4 b （a2）a2 a2，同理 b2bc c2 b

2、c， c2ac a2 ca。22所以 a2ab b2b2bc c2c2ac a2 3（ ab c）2二. 分式缩放一个分式若分子变大则分式值变大， 若分母变大则分式值变小， 一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。例 2. 已知 a、b 、c 为三角形的三边，求证：1 ba ab ac 2。ccba、 b 、 c 为正数，所以aabb证明：由于b ca bc ， acb c ，a精彩文档实用标准文案cc，所以 babccabc1，caca b a b ca ba b ca ba bcaa2a又 a，b ，c 为三角形的边，故 b + c a，则 bc

3、 为真分数，则 bcb c ，ab2bc2c同理 a ca b c，a b c ， ab故abc2a2b2c2 .b ca ca ba b ca b ca b cabc综合得1 b cac a b2。三. 裂项缩放若欲证不等式含有与自然数n 有关的 n 项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。例 3. 已知 n N* ，求证： 1111 2n 。23n证明：因为 12n212nn1 ，则111nnnn2311 22322nn 12 12 n 1 2 nn，证毕。四. 公式缩放利用已知的公式或恒不等式，把欲证不等式变形后再缩放，可获简解。例 4. 已知 f (x)1x 2 ，求证：当 ab 时

4、f（ a）f（ b）ab 。证明：精彩文档实用标准文案（ ）（ ）22a2b 2a b abf af b1 a1 b1 a21 b 21 a 21 b2ab a b( ab ) abababa b ，证毕。五. 换元缩放对于不等式的某个部分进行换元，可显露问题的本质，然后随机进行缩放，可达解题目的。例 5.已知 abc ，求证1110 。a b bcc a证明：因为 abc ，所以可设 act ， bc u(t u0) ，所以 t u0 则11111 1 1 1 t u，所以1110 。a b b c c a t u u t u t0a b b c c atu六. 单调函数缩放根据题目特征，通过构造特殊的单调函数，利用其单调性质进行缩放求解。例 6.abab已知 a，b R，求证b1 a。1 a1 bx0)，首先判断其单调性，设 0x 1 x 2 ，因为证明：构造函数 f (x )(x1xf (x 1 )x1x 2x1x 20 ，所以 f x 1f x 2，所以 f ( x ) 在f (x 2 )x 1 1x 2(1 x 1 )(11x 2 ) 0, 上是增函数，取 x 1 ab ， x 2a b ，显然满足 0x 1x 2 ，所以 f ( a b )f (|a | | b |) ，即 | a b | a | b | a | b | a | b|。证毕。1