概率论与数理统计的教案设计

1、实用标准文档上课时间第一周上课节次3 节课 型理论课题概率论基本概念教学目的使学生掌握随机试验、样本空间、随即事件、频率、概率及古典概型等概念教学方法讲授重点、难点基本概念的掌握与理解板书或课件时间分配教学内容版面设计在大量重复试验或观察中所呈现出的固有规律性就是我们所说的统计规律性。在个别试验中其结果呈现出不确定性， 在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象，我们称之为随机现象。1.1 随机试验具有如下特点的试验称为随机试验：可以在相同的条件下重复地进行。每次试验的结果可能不止一个， 并且能事先明确试验的所有可能结果。进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。1.2 样本空间、随机事件精

2、彩文案实用标准文档（1）样本空间我们将随机试验E 的所有可能结果组成的集合称为 E 的样本空间，记为S。样本空间的元素即 E 的每个结果，称为样本点。（2）随机事件我们称试验 E的样本空间 S的子集为 E的随机事件，简称事件。在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生。由一个样本点组成的单点集称为基本事件。样本空间 S 包含所有的样本点，它是 S自身的子集，在每次试验中它总是发生的， S称为必然事件。空集 不包含任何样本点，它也作为样本空间的子集，它在每次试验中都不发生， 称为不可能事件。（3）事件间的关系与事件的运算设试验 E 的样本空间为 S，而 A，B，A（kk=

3、1，2， ）是 S的子集：若 A B ，则称事件 B 包含事件 A，这指的是事件 A 发生必导致事件 B 发生。精彩文案实用标准文档若 AB 且 BA，即 A=B，则称事件A与事件 B相等。事件 AB x | xA xB 称为事件A 与事件 B 的和事件。当且仅当 A，B 中至少有一个发生时，事件A B 发生。事件 AB x | xA xB 称为事件A 与事件 B 的积事件。当且仅当 A，B 同时发生时，事件 AB 发生。A B 也记作 AB。事件 A - B x | xA且 xB 称为事件A 与事件 B 的差事件。当且仅当 A发生，B不发生时事件 A-B 发生。若 AB，则称事件 A 与 B

4、是互不相容的，或互斥的。基本事件是两两互不相容的。若 ABS AB，则称事件 A与事件B互为逆事件。又称事件 A与事件 B 互为对立事件。A的对立事件记为A。 ASA。设 A，B，C为事件，则有：交换律：ABB AABB A精彩文案实用标准文档结合律：分配率：A(BC)(AB)CA(BC)(AB)CA(BC)(AB)(AC)A(BC)(AB)(AC)摩根率：ABABABAB1.3 频率与概率（1）频率定义：在相同的条件下，进行了 n 次试验，在这 n 次试验中，事件 A 发生的次数 nA 称为事件 A 发生的频数。比值 nA/n 称为事件 A 发生的频率，并记为 f n(A) 。频率具有如下基

5、本性质：0f n(A) 1 f n(S)=1若 A1，A2， ，Ak 是两两互不相容的事件，则 f n(A1 A2 Ak )=f n(A1)+f n(A2 )+f n(Ak) 。（2）概率定义：设 E是随机试验，S 是它的样本空间。对于 E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P(A) ，称为事件A 的概率，如果集合函数P(·) 满足下列条件：非负性：对于每一个事件A，有 P(A) 0。精彩文案实用标准文档规范性：对于必然事件S，有 P(S)=1。可列可加性：设 A1，A2， 是两两互不相容的事件，即对于Ai Aj =，i j ，i ，j=1 ，2， ，有 P(A1A2 )=P(A1)+

6、P(A 2)+概率的性质：性质1：P()0性质 2（有限可加性）：若 A1 ，A2， ， An 是两两互不相容的事件， 则有 P(A1A2 An)=P(A1)+P(A2)+ +P(An) 。性质 3：设 A，B 是两个事件，若 AB ，则有 P(B-A)=P(B)-P(A) ；P(B) P(A) 。性质 4：对于任一事件 A，P(A) 1。性质 5（逆事件的概率）：对于任一事件 A，有 P(A) 1 P(A) 。性质 6（加法公式）：对于任意两个事件A，B有 P( AB)P(A)P(B)P(AB) 。1.4 等可能概型（古典概型）具有以下两个特点得试验是大量存在的， 这种试验称为等可能概型，也

7、成为古典概型：试验的样本空间只包含有限个元素。试验中每个基本事件发生的可能性相同。若事件 A 包含 k 个基本事件，即A=ei1 精彩文案实用标准文档e i2 e ik ，其中 i1 ，i2 ， ， ik 是1，2， ，n 中某 k 个不同的数，则等可能概型中事件 A 的概率计算公式为：kk包含的基本事件数P(A)P( eij )An中基本事件的总数j 1S超几何分布的概率公式为：DN - DNkn - kn实际推断原理：概率很小的事件在一次实验中实际上几乎是不发生的。本次课的主要内容与目的在于让学生了解和掌握概率论的基本概念， 学生对概念的掌教学后记握尚可，但对其在实例中的应用尚需多加练习。

8、精彩文案实用标准文档上课时间第二周上课节次3 节课 型理论课题条件概率与独立性教学目的使学生了解条件概率与独立性的基本概念及其应用教学方法讲授重点、难点全概率公式与贝叶斯公式板书或课件时间分配教学内容版面设计1.5 条件概率（1）条件概率定义：设 A，B 是两个事件，且 P(A)>0，称P(B | A)P( AB) 为在事件 A 发生的条件下事P( A)件 B 发生的条件概率。条件概率 P(·|A) 满足：非负性：对于每一事件 B，有 P(B|A) 0。规范性：对于必然事件S，有 P(S|A)=1 。可列可加性：设 B1，B2， 是两两互不相容的事件，则有P(Bi | A)P(

9、 Bi | A)i1i1概率的性质都适用于条件概率。（2）乘法定理乘法定理： 设 P(A)>0，则有精彩文案实用标准文档P(AB)=P(B|A)P(A)（乘法公式）一般地，设A1，A2， ， An 为 n 个事件， n2，且 P(A1A2An)>0，则有P(A1A2An)=P(An|A 1A2An-1 )P(A n-1 |A 1A2An-2 )P(A2|A 1)P(A 1)（3）全概率公式和贝叶斯公式定义：设 S 为试验 E 的样本空间，B1，B2， ，Bn 为 E 的一组事件，若Bi Bj =，i j ，i ，j=1,2 ， ， n B1B2BnS则称 B1，B2， ，Bn 是样

10、本空间 S 的一个划分。若 B1，B2， ，Bn 是样本空间 S 的一个划分，那么对每次试验，事件B1，B2， ， Bn 中必有一个且仅有一个发生。定理：设试验 E 的样本空间为S，A 为 E的事件， B1 ，B2， ， Bn 为 S 的一个划分，且P(Bi )>0 （i=1 ，2， ， n) ，则P(A)=P(A|B 1)P(B 1)+P(A|B2 )P(B 2)+P(A|Bn)P(B n)（全概率公式）定理：设试验 E 的样本空间为S，A 为 E的事件， B1 ，B2， ， Bn 为 S 的一个划分，且精彩文案实用标准文档P(A)>0，P(Bi )>0 （i=1 ，2，

11、，n) ，则P( Bi A)P( A | Bi ) P( Bi )P(Bi | A)nP(A)P( A | Bn )P)( B j )j 1（贝叶斯 (Bayes) 公式）1.6 独立性定义：设 A，B是两事件，若满足等式 P(AB)=P(A)P(B) ，则称事件 A，B相互独立，简称 A， B独立。定理：设 A，B是两事件， 且 P(A)>0。若 A，B相互独立，则 P(B|A)=P(B) ，反之亦然。定理：若事件 A 与 B 相互独立，则下列各式也相互独立： A与 B， A与 B， A与 B。定义：设 A，B，C是三个事件，若满足等式P(AB)=P(A)P(B)，P(BC)=P(B)

12、P(C)，P(AC)=P(A)P(C) ，P(ABC)=P(A)P(B)P(C) ，则称事件 A，B，C相互独立。一般地，设 A1， A2， ， An 是 n（n2）个事件，若对于其中任意2 个，任意 3 个， ，任意 n 个事件的积事件的概率， 都等于各事件概率之积，则称事件A1，A2， ， An 相互独立。推论：精彩文案实用标准文档若事件 A1，A2， ，An（n2）相互独立，则其中任意 k（2kn）个事件也是相互独立的。若 n 个事件 A1，A2， ， An（n2）相互独立，则将 A1，A2， ， An 中任意多个事件换成它们各自的对立事件， 所得的 n 个事件仍相互独立。本次课的主要内

13、容与目的在于让学生了解和掌握条件概率与独立性的相关内容， 学生教学后记对概念的掌握尚可，但对其在实例中的应用尚需多加练习。精彩文案实用标准文档上课时间第三周上课节次3 节课型理论课题概率论基本概念习题解析教学目的使学生巩固概率论基本概念所学内容教学方法讲授重点、难点古典概型、全概率公式与贝叶斯公式的应用板书或课件时间分配教学内容版面设计1. 一俱乐部有 5 名一年级学生， 2 名二年级学生， 3 名三年级学生， 2 名四年级学生。（1）在其中任选 4 名学生，求一、二、三、四年级的学生各一名的概率。（2）在其中任选 5 名学生，求一、二、三、四年级的学生均包含在内的概率。解：（1）共有 5+2

14、+3+2=12名学生，在其中任选 4 名共有124=495 种选法，其中每年级各选 1名的选法有52321111=60 种选法，因此，所求概率为 p=60/495=4/33 。（2）在 12 名学生中任选 5 名的选法共有125=792 种，在每个年级中有一个年级取2名，而其它3 个年级各取1 名的取法共有精彩文案实用标准文档5232+ 5232+5232 +2111121111215232=240 种，因此所求概率为1112P=240/792=12/33。2. 某人忘记了电话号码的最后一个数字， 因而他随意地拨号。求他拨号不超过三次而接通所需电话的概率。若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是

15、多少？解：以 Ai 表示事件“第 i 次拨号拨通电话”， i=1,2,3 ，以 A表示事件“拨号不超过 3 次拨通电话”，则有 A A1 A1 A2 A1 A2 A3 。因为 A1，A1A2，A1A2A3 两两互不相容，且1P(A1)10191P(A1 A2 ) P( A2 | A1 )P( A1 )101091P(A1 A2 A3) P( A3 | A1 A2)P(A2| A1)P(A1)10所以 P( A) P( A1 ) P( A1A2 ) P( A1A2 A3)3 。10当已知最后一位数是奇数时，所求概率为P=1/5+1/5+1/5=3/5 。3. 有两种花籽，发芽率分别为 0.8,0

16、.9 ，从中各取一颗，设各花籽是否发芽相互独立。求：（1）这两颗花籽都能发芽的概率。精彩文案实用标准文档（2）至少有一颗能发芽的概率。（3）恰有一颗能发芽的概率。解：以 A，B 分别表示事件第一颗、第二颗花籽能发芽，既有P(A)=0.8 ，P(B)=0.9 。（1）由 A，B 相互独立，得两颗花籽都能发芽的概率为P(AB)=P(A)P(B)=0.8*0.9=0.72。（2）至少有一颗花籽能发芽的概率为事件AB 的概率P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.8+0.9-0.72=0.98（3）恰有 一颗 花籽发芽的 概率为事 件ABBA的概率P( ABB A )=P(A)+P(B)-2P

17、(AB)=0.26。本次课的主要内容与目的在于让学生巩固所学概率论基本概念的相关内容， 通过本次教学后记课的学习，学生对概率论基本概念的相关应用技巧有所提升。精彩文案实用标准文档上课时间第四周上课节次3 节课 型理论课题离散型变量及其分布律、随机变量及其分布函数教学目的使学生初步了解离散型随机变量的分布律及随机变量的分布函数教学方法讲授重点、难点随机变量及其分布函数板书或课件时间分配教学内容版面设计2.1 随机变量定义： 设随机试验的样本空间为S=e 。X=X(e)是定义在样本空间S 上的实值单值函数。称 X=X(e)为随机变量。2.2 离散型随机变量及其分布律有些随机变量，它全部有可能渠道的

18、值是有限个或可列无限多个，这种随机变量成为离散型随机变量。设离散型随机变量X 所有可能去的值为xk（k=1,2 ， ），X 取各个可能值的概率，即事件 X=xk 的概率为 PX=xk=p k，k=1,2 ， 。（离散型随机变量X 的分布律）由概率的定义， pk 满足如下两个条件：精彩文案实用标准文档pk0，k=1,2 ， pk1k 1（1）（0-1 ）分布设随机变量 X 只可能取 0 与 1 两个值，它的分布律是 PX=k=pk(1-p) 1-k ，k=0,1 （0p1），则称 X 服从以 p 为参数的（ 0-1 ）分布或两点分布。（2）伯努利试验、二项分布设试验 E 只有两个可能结果： A

19、及 A ，则称E为伯努利（ Bernoulli ）试验。将 E 独立重复地进行 n 次，则称这一串重复的独立试验为 n 重伯努利试验。在 n 次试验中A 发生k 次的 概率 为n， 记q=1-p ， 即 有p k (1 p) n kkP X knpk q n k ，k=0,1,2 ， ， n。k注意到 np k q nk 刚好是二项式 (p+q) n 的展k开式中出现 pk 的那一项，我们称随机变量X服从参数为 n，p 的二项分布，并记为Xb(n,p) 。特 别 ， 当n=1时 二 项 分 布 化 为精彩文案实用标准文档P Xkpk q n k ，k=0，1（0-1 ）分布）。（3）泊松分布设

20、随机变量 X所有可能取的值为0,1,2 ， ，而 取各个 值 的 概率 为 P X kk e，k!k=0,1,2 ， ，其中 0 是常数。则称X服从参数为的泊松分布，记为X( ) 。泊松定理： 设 0 是一个常数， n 是任意正整数，设 npn=，则对于任一固定的非负nke。整数 k，有： lim pnk (1 pn ) n kxkk!上述定理表明，当n 很大， p 很小（）时有以下近似式nke（其中p k (1 p)n kkk!=np）。2.3 随机变量的分布函数定义：设 X是一个随机变量， x 是任意实数，函数 F(x)=PX x ，- x称为 X 的分布函数。对于任意实数 x1，x2（

21、x1x2），有Px1Xx2=PXx2-PX x1=F(x 2)-F(x 1) 。精彩文案实用标准文档分布函数 F(x) 具有以下基本性质：F(x) 是一个不减函数 0 F(x) 1 ，且 F ()lim F ( x)0 ，xF ()lim F ( x)1xF(x+0)=F(x) ，即 F(x) 是右连续的。一般，设离散型随机变量X 的分布律为PX=xk=p k，k=1,2 ， 。由概率的可列可加性得 X 的分布函数为F (x)P XxP Xxk xkx即 F ( x)Pk 。xkx本次课的主要内容与目的在于让学生了解和掌握离散型随机变量的分布律及随机变教学后记量的分布函数的相关内容， 学生对重

22、要分布律及分布函数相关内容掌握尚可， 但对其应用尚需多加练习。精彩文案实用标准文档上课时间第五周上课节次3 节课型理论课题连续型随机变量及其概率密度、随机变量的函数分布教学目的使学生掌握概率密度与分布函数的相关内容教学方法讲授重点、难点正态分布板书或课件时间分配教学内容版面设计如果对于随机变量X 的分布函数F(X) ，存在非负可积函数f(x) ，使对于任意实数x有 F(X)xf (t)dt ，则称 X 为连续型随机变量，f(x) 称为 X 的概率密度函数， 简称概率密度。概率密度具有以下性质： f(x) 0f ( x) dx1对于任意实数x1，x2（x1x2）P x1 X x2 F ( x2

23、) F ( x1 )x2f (x)dxx1若 f(x) 在点 x 处连续，则有 F(x)=f(x)（1）均匀分布若连续型随机变量X 具有概率密度精彩文案1实用标准文档axbf (x)ba0 其它则称 X 在区间 (a,b) 上服从均匀分布。记为XU(a,b) 。0xaX的分布函数为 : F ( x)xaax bxb1xb（2）指数分布若连续型随机变量X 的概率密度为1 e x /x0f (x)0其它其中 >0 为常数，则称X 服从参数为的指数分布。1 e x /x 0X的分布函数为： F (x)其它0服从指数分布的随机变量X 具有以下性质：对于任意 s，t>0 ，有 PX>S

24、+t|X>s=PX>t 。上式称为无记忆性。（3）正态分布若连续型随机变量X 的概率密度为( x) 212，- <x<，f (x)e 22其中， （>0）为常数，则称X 服从参精彩文案实用标准文档数为， 的正态分布或高斯（ Gauss）分布，记为 XN(, 2) 。正态分布具有如下性质：曲线关于 x=对称。当 x=时取到最大值 f ( )1。2正态分布曲线在x=±处有拐点，曲线以 Ox轴为渐近线。如果固定，改变的值，则图形沿着 Ox轴平移，而不改变其形状； 若固定，改变，由于最大值1，可知当越f ( )2小时图形变得越尖。1x(t)22X的分布函数为：

25、F (x)e2dt2当 =0， =1 时称随机变量X 服从标准正态分布。引理：XN(, 2) ，则 Z= XN(0,1) 。设 XN(0,1) ，若 z 满足条件 PX>z= ，0<<1，则称点z为标准正态分布的上分位点。2.5 随机变量的函数的分布设XN(0,1)，其概率密度为精彩文案实用标准文档( x)221 e x/ 2 ，- <x<，则 Y=X的概率2密度为 fY ( y)1y 1 / 2e y / 2y 02，此时称0y 0Y服从自由度为1 的 2 分布。定理：设随机变量 X 具有概率密度 f X(x) ，- <x<，又设函数 g(x) 处处

26、可导且恒有g(x)>0 （或恒有 g(x)<0 ），则 Y=g(X) 是连续型随机变量，其概率密度为fX h( y) | h' ( y) |yf Y ( y)其它0本次课的主要内容与目的在于让学生了解和掌握概率密度与分布函数的相关内容， 由教学后记于相关参数含义在后面章节介绍， 学生对正态分布的掌握稍感欠缺。精彩文案实用标准文档上课时间第六周上课节次3 节课 型理论课题随机变量及其分布习题解析教学目的使学生巩固随机变量及其分布所学内容教学方法讲授重点、难点重要概率离散型随机变量分布律与连续型随机变量分布函数、概率密度板书或课件时间分配教学内容版面设计1. 尽管在几何教科书中

27、已经讲过仅用圆规和直尺三等分一个任意角是不可能的，但每一年总是有一些“发明者”撰写关于仅用圆规和直尺将角三等分的文章。设某地区每年撰写此类文章的篇数 X 服从参数为 6 的泊松分布。求明年没有此类文章的概率。解：由题设某地每年撰写此类文章的篇数 X (6) ，因此，明年无此类文章的概率为：PX=0= 60 e 6=e-6 =2.5*10 -3 。0!2. 某种型号器件的寿命 X（以 h 计）具有概1000x 1000，现有大批此率密度： f (x)x 20其它种器件（设各器件损坏与否相互独立） ，任取精彩文案实用标准文档5 只，问其中至少有2 只寿命大于 1500 小时的概率是多少？解：任取一

28、只该种器件，其寿命大于1500h的概率为 p1000 dx10002 。1500x2x15003任取 5 只这种器件，其寿命大于1500h 的只数记为 X，则 Xb(5,2/3)，故所求概率为：PX 2 1 - PX0 - PX125522)42321- (1-)-(132433133由某及其生产的螺栓的长度（cm）服从参数 =10.05 ， =0.06 的正态分布。规定长度在范围 10.05 ±0.12 内为合格品，求一螺栓为不合格产品的概率。解：记螺栓的长度为X，XN(10.05,0.06 2) ，螺栓不合格的概率为：1P10.05 0.12 X 10.050.121 (10.0

29、50.1210.05)(10.05 0.1210.05 )0.060.061(2)( 2)0.0456本次课的主要内容与目的在于让学生巩固所学随机变量及其分布的相关内容，通过本次教学后记课的学习，学生对随机变量及其分布的相关应用技巧有所提升。精彩文案实用标准文档上课时间第七周上课节次3 节课 型理论课题二维随机变量、边缘分布与条件分布教学目的使学生了解并掌握二维随机变量与相关分布的内容教学方法讲授重点、难点边缘分布与条件分布板书或课件时间分配教学内容版面设计3.1 二维随机变量一般，设 E是一个随机试验，它的样本空间是 S=e ，设 X=X(e)和 Y=Y(e)是定义在 S上的随机变量，由它们

30、构成的一个向量(X,Y) 叫做二维随机向量或二维随机变量。定义： 设(X,Y) 是二维随机变量，对于任意实数 x，y，二元函数 F(x,y)=P(Xx) (Y y)=PX x,Y y 称为二维随机变量(X,Y) 的分布函数，或称为随机变量X 和 Y的联合分布函数。分布函数 F(x,y) 具有以下基本性质： F(x,y) 是变量 x 和 y 的不减函数，即对于任意固定的 y，当 x2>x1 时 F(x 2,y) F(x 1,y) ；对于任意固定的 x，当 y2>y1 时，F(x,y 2) 精彩文案实用标准文档F(x,y 1) 。0F(x,y) 1，且：对于任意固定的y，F(- ,y)

31、=0对于任意固定的x，F(x, -)=0F(- , - )=0, F(,)=1 F(x+0,y)=F(x,y) ，F(x,y+0)=F(x,y) ，即F(x,y) 关于 x 右连续，关于 y 也右连续。对于任意 (x 1,y 1) ，(x 2,y 2) ，x1<x2，y1<y2，下述不等式成立：F(x 2,y 2)+F(x 1,y 1)-F(x 1,y 2)-F(x 2,y 1 ) 0。如果二维随机变量(X,Y) 全部可能取到的值是有限对或可列无限多对，则称(X,Y) 是离散型的随机变量。我们称 PX=x1,Y=y 1=p ij ，i ，j=1 ，2， 为二维离散型随机变量(X,Y

32、) 的分布律，或称为随机变量 X 和 Y的联合分布律。对于二维随机变量(X,Y) 的分布函数F(x,y) ，如果存在非负可积函数f(x,y) 使对yx于任意 x，y 有 F ( x, y)f (u, v)dudv ，则称 (X,Y) 是连续型的二维随机变量，函数f(x,y)称为二维随机变量(X,Y) 的概率密度，或称为随机变量 X和 Y的联合概率密度。精彩文案实用标准文档概率密度 f(x,y)具有以下性质： f(x,y) 0 y x f (u,v)dudv F ( , ) 1设 G是 xOy平面上的区域，点(X,Y) 落在 G内的概率为 P(X, Y)Gf(x, y)dxdyG 若f(x,y)

33、在 点 (x,y)连 续 ， 则 有2 F ( x, y)f ( x, y)x y一般，设 E是一个随机试验，它的样本空间是 S=e ，设 X1=X1(e) ，X2=X2(e) ， ，Xn=Xn(e)是定义在 S上的随机变量， 由它们构成的一个 n 维向量 (X1,X 2, ,X n) 叫做 n 维随机向量或 n 维随机变量。对于任意 n 个实数 x1,x 2, ,x n，n 元函数F(x 1,x 2,x n)=P X1 x1, X2x2,X nxn称为 n 维随机变量 (X1 ,X 2,X n) 的分布函数或随机变量 X1,X 2,X n 的联合分布函数。3.2 边缘分布二维随机变量 (X,

34、Y) 作为一个整体，具有分布函数 F(x,y) 。而 X 和 Y 都是随机变量， 各自也有分布函数，将它们分别记为FX(x) ，FY(y) ，依次称为二维随机变量(X,Y) 关于 X精彩文案实用标准文档和关于 Y的边缘分布函数。FX(x)=F(x,) ，FY(y)=F( ,y)X的分布律为 : PX x i pij ，i=1,2,j 1Y的 分 布 律 为:PYY j pij，i1j=1,2,记 pipijP Xxi j 1p jpijPYy j i 1， i=1,2,， j=1,2,上式分别称为 (X,Y) 关于 X 和关于 Y 的边缘分布率。对于连续型随机变量(X,Y) ，设它的概率密度为

35、 f(x,y)，其关于 X 和 Y 的边缘概率密度分别为：f X ( x)f ( x, y)dy ， f Y ( y)f ( x, y)dx3.3 条件分布事件 Y=yj 已发生的条件下事件X=x i 发生的条件概率为：PX x i | Y y j PX x i , Y y j pij ，PY y j p ji=1 ，2， 。上述条件概率具有分布律的性质：精彩文案实用标准文档PX=xi |Y=y j 0P( X xipij1pijp| Y y j p j i 1pi 1i 1 p jjj1定义：设(X,Y) 是二维离散型随机变量，对 于 固 定 的j ， 若PY=yj >0 ， 则 称P

36、X x i , Y y j pijPX x i | Y y j p jPY y j ，i=1 ，2， 为 Y=yj 条件下随机变量X 的条件分布律。同样，对于固定的i，若 PX=xj >0 ，则称PY y jPX x i , Y y j pij| X x i piPX x i ，i=1 ，2， 为 X=xi 条件下随机变量Y 的条件分布律。定义： 设二维随机变量 (X,Y) 的概率密度为f(x,y)， (X,Y) 关于Y 的边缘概率密度为f Y(y) 。若对于固定的 y，f Y(y)>0 ，则称 f ( x, y)fY ( y)为在 Y=y 的条件下 X的条件概率密度， 记为f X

37、 |Y ( x | y)f (x, y) 。f Y ( y)称f X |Y( x | y)dxf (x, y) 为在 Y=y 的条件xxfY ( y) dx下 X的条件分布函数，记为PXx|Y y 。精彩文案实用标准文档本次课的主要内容与目的在于让学生了解和掌握二维随机变量、 边缘分布与条件分布教学后记的相关内容。学生对边缘分布和条件分布的定义掌握较好， 但对其性质尚需多加联系后方能熟悉。精彩文案实用标准文档上课时间第八周上课节次3 节课 型理论课题相互独立的随机变量与随机变量的函数分布教学目的使学生掌握相互独立的随机变量并了解几种常见的随机变量的函数分布教学方法讲授重点、难点相互独立的随机变

38、量板书或课件时间分配教学内容版面设计3.4 相互独立的随机变量定义：设 F(x,y) 及 FX(x) ，FY(y) 分别是二维随机变量 (X,Y) 的分布函数及边缘分布函数， 若对于所有 x， y 有 PXx,Y y=PX xPY y ，即F(x,y)=F X(x)F Y(y) ，则称随机变量X 和 Y 是相互独立的。若对于所有的 x1,x 2,x n 有F(x 1,x 2,x n)=FX1(x 1)F X2(x 2)FXn(x n) ， 则 称X1,X 2,X n 是相互独立的。若对于所有的 x1,x 2,x m；y1,y 2,y n 有F(x 1,x 2,x m,y 1,y 2,y n)=

39、F 1(x 1,x 2,x m)F 2(y 1,y2,y n) ，其中F1 ， F2 ， F 依次为随机变量(X1,X 2,X m)，(Y1,Y 2,Y n)和精彩文案实用标准文档（ X1,X 2, ,X m,Y 1,Y 2, ,Y n）的分布函数，则称随机变量 (X1,X 2, ,X m) 和 (Y1,Y 2, ,Y n) 是相互独立的。定理：设(X1,X 2, ,X m) 和(Y1,Y 2, ,Y n) 是相互独立的，则 Xi (i=1,2, ,m) 和 Yj (j=1,2, ,n) 相互独立。又若 h，g 是连续函数，则 h(X1,X 2, ,X m) 和g(Y 1,Y 2,Y n) 相互独立。3.5 两个随机变量的函数的分布（ 1）