完整勾股定理知识点与常见题型总结,推荐文档

1、勾股定理复习一.知识归纳1 .勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a , b ,斜边为c ,那么a2 b2 c22 .勾股定理的证实,常见的是拼图的方法 图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4S 方形efgh S正方形abcd, 4 1 ab (b a)2 c2,化简可证.2方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 S 4 1ab c2 2ab c2 2大正方形面积为S

2、(a b)2a22abb2所以a2 b2c2方法二：S梯形(a b) (ab) ,S弟形 2S ade S abe2 ab c ,化间碍证2223 .勾股定理的适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适 用于直角三角形,因而在应用勾股定理时,必须明了所考察的对象是直角三角形4 .勾股定理的应用：勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证实问题.在使用勾股定理时,必须把握直角三角形的前提条件,了解直角三角形中,斜边和直角边各是什么,以便运用勾 股定理进行计算,应设法添加辅助线(通常作垂线),构造直角三角形,以便正确使用勾股定理进行求

3、解. 直角三角形的任意两边长,求第三边.在 ABC中, C 90 ,那么c va b2 , b vc a , a Vc b2 知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系 可运用勾股定理解决一些实际问题5 .勾股定理的逆定理如果三角形三边长a , b , c满足a2 b2 c2,那么这个三角形是直角三角形,其中 c为斜边. 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过数转化为形来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时,可用两小边的平方和a2 b2与较长边的平方c2作比较,假设它们相等时,以a , b , c为三边的三角形是直角三角形；假设a2 b2 c2,时,以a

4、, b , c为三边的三角形是钝角三角形；假设a2 b2 c2,时,以a , b , c为三边的三角形是锐角三角形； 正理中a, b , c及a b c只是一种表现形式, 不可认为是唯一的,如右三角形三边长 a , b , c洒足a c b , 那么以a , b , c为三边的三角形是直角三角形,但是 b为斜边 勾股定理的逆定理在用问题描述时,不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时,这个三角形是直角三角形6 .勾股数 能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即a2 b2 c2中,a , b , c为正整数时,称a , b , c为一组勾股数 记住常见的勾股数可以提升解题速度,

5、如3,4,5 ; 6,8,10 ; 5,12,13 ; 7,24,25等用含字母的代数式表示勾股数：n2 1,2n,n2 1 ( n 2, n为正整数)；m2 n2,2mn,m2 n2 ( m n, m , n为正整数)常见图形：类型一：勾股定理的直接用法1、在 RtAABC中,Z C=90°(1) a=6, c=10,求 b, (2) a=40, b=9,求 c； (3) c=25, b=15,求 a.2. 直角三角形两边的长为3和4,那么此三角形的周长为 .【变式】：如图Z B=Z ACD=90° , AD=13,CD=12, BC=3那么AB的长是多少？类型二：勾股定

6、理的构造应用1. 假设一个三角形的边长分别是12、16和20,那么这个三角形最长边上的高长是 .2. 如图, ABC中,有一点 P在AC上移动.假设 AB=AC=5 , BC=6,贝U AP+BP+CP 的最小值为A. 8B. 8.8 C. 9.8D. 10A、428 32C、42 或 32D、37 或 334. 等腰三角形的底边长为6,底边上的中线长为 4,它的腰长为 ;5. 等边三角形的边长为 2,求它的面积.【变式】： ABC中,BC=q AC=b, AB=c,假设/ C=90° ,如图1,根据勾股定理,那么a2 b2 c2.假设 ABC不是直角三角形,如图 2和3,请你类比勾

7、股定理,试猜想a2 b2与c2的关系,并证实你的结论.类型三：勾股定理的实际应用1如图,梯子AB靠在墙上,梯子的底端 A到墙根.的距离为2m,梯子的顶端B到地面的距离为7m, 现将梯子的底端 A向外移动到A',使梯子的底端 A'到墙根.的距离等于3m.同时梯子的顶端 B 下降至B',那么BB'.A.小于1m B.大于1mC.等于1m D.小于或等于 1m2.将一根24cm的筷子,置于底面直径为15cm,高8cm的圆柱形水杯中,如下列图,设筷子露在杯子外面的长度为hcm ,那么h的取值范围是.A. h< 17cmB. h > 8cmC. 15cm &l

8、t; h< 16cm D. 7cm < h< 16cm一用勾股定理求两点之间的距离问题3、如下列图,在一次夏令营活动中,小明从营地A点出发,沿北偏东 60.方向走了 颁岛 到达B点,然后再沿北偏西 30°方向走了 500m到达目的地C点.1求A、C两点之间的距离.2确定目的地 C在营地A的什么方向.【变式】一辆装满货物的卡车,其外形高2.5米,宽1.6米,要开进厂门形状如图的某工厂,问这辆卡车能否通过该工厂的厂门？如图,公路 MN和公路PQ在P点处交汇,点 A处有一所中学,AP=160米,点A到公路MN的距离为80米,假使拖拉机行驶时, 周围100米以内会受到噪音影

9、响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校是否会受到影响,请说明理由；如果受到影响,拖拉 机的速度是18千米/小时,那么学校受到影响的时间为多少？二用勾股定理求最短问题4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状,目前正在全国各地农村进行电网改造,某地有四个村庄 A、B、C、D,且正好位于一个正方形的四个顶点,现方案在四个村庄联3. 在 ABC中,AB 15, AC 13, BC边上的高 AD 12,那么 ABC的周长为合架设一条线路,他们设计了四种架设方案,如图实线局部.请你帮助计算一下,哪种架设方案最省电线.【变式】1.如图,一圆柱体的底面周长为20cm,高AB为4cm, B C

10、是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发,沿着圆柱的侧面爬行到点C,试求出爬行的最短路程.2.如图1,长方体的长为12cm,宽为6cm,高为5cm, 一只蚂蚁沿侧面从 A点向B点爬行, 问：爬到B点时,蚂蚁爬过的最短路程是多少？/Z3. 如图壁虎在一座底面半径为 2米,高为4米的油罐的下底边沿 A处,它发现在自己的正上方油罐上边缘的B处有一只害虫,便决定捕捉这只害虫,为了不引起害虫的注意,它成心不走直线,而是绕着油罐,沿一条螺旋路线,从背后对害虫进行忽然袭击.请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫？解题步骤归纳：1、标,标问题边长的问题一般有什么方法解决？,明确目标在哪个直角三角形中, 设适当的未知

11、数X； 2、利用折叠,找全等.3、将边和未知边用含 X的代数式表示转化到同一直角二角形中表示出来.4、利用勾股定理,列出方程,解方程,得解.类型四：利用勾股定理作长为而的线段1、作长为 显、后的线段.举一反三【变式】在数轴上表示 屈的点.类型五：勾股定理逆定理7、如果 ABC的三边分别为 a、b、c,且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,判断 ABC的形状.举一反三【变式1】四边形ABCD中,/ B=90° , AB=3, BC=4, CD=12, AD=13,求四边形 ABCD的面积.【变式2】： ABC的三边分别为 m2 n2,2mn,m2+n2m,n为正整数,且m&

12、gt;n,判断 ABC是否为直角三角2【变式3】如图正方形 ABCD, E为BC中点,F为AB上一点,且BF AB.请问FE与DE是否垂直？请说明.类型六：与勾股定理有关的图形问题1. 如图,是由四个大小完全相同的直角三角形拼合而成的,假设图中大小正方形的面积分别为62.5和4 ,求直角三角形两直角边的长.2. 如图,直线l经过正方形 ABCD的顶点B,点A、C到直线l的距离分别是1、2,那么正方 形的边长是.3.在直线l上依次摆放着七个正方形如图4所示.斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3,正放置的四个正方形S1、S2S3、S4 ,那么 Si&S3S4 =类型七：关于图形变换问题

13、1.如图,把矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠,点B落在点BC=6,求 FAC的周长和面积.2.如图,将矩形ABCD沿直线AB 16cm,求 BF 的长.AE折叠,顶点D恰好落在3.如图, ABC是直角三角形, 重合,假设AP=3,求PP'的长.BC是斜边,将 ABP绕点A逆时针旋转后,能与 ACP'勾股定理在旋转中的运用例1、如图1 , P是正三角形 ABC内的一点,且 PA= PB=8, PC=10,求Z APB的度数.练习：如图：设 P是等边 ABC内的一点,PA=3 PB=4, PC=5那么 APB的度数是PB=2 PC=&求此正方例2.如图P是正方形ABCE一点

14、,点P到正方形的三个顶点 A、B C的距离分别为 PA=1,形 ABCE®积. . +5AB练习1:正方形 ABCErt一点P,使得PA PB: PC=1: 2: 3,求Z APB的度数.练习2:请阅读以下材料：问题：如图1,在等边三角形ABC内有一点P,且PA=2 PB欢,PC=1求ZBPC度数的大小和等边三 角形ABC的边长.李明同学的思路是：将 BP说点B顺时针旋转60° ,画出旋转后的图形如图2,连接PP ,可得 P' PC是等边三角形,而 PP A 乂是直角三角形由勾股定理的逆定理可证,所以ZAP C=150 , 而Z BPCW AP C=150 ,进而求

15、出等边 ABC的边长为矿？,问题得到解决.请你参考李明同学的思路,探究并解决以下问题：如图3,在正方形ABC曲有一点P,且PA簇,BP簇 , PC=1求/ BPC®数的大小和正方形ABCE勺边长.解：1如图,将/ BP说点B逆时针旋转90° ,得zBP' A,那么 BPA BP' A. . .AP =PC=1 BP=BP 小 ;连接 PP',在 Rt BP P中,BP=BP =V2, ZPBP =90 , . PP =2, Z BP' P=45 ;在 AP P 中,AP 2+PP2=AP; zAP' P是直角三角形,即AP'

16、P=90° , ./ AP B=135 , ./BPCN AP' B=135 .(2)过点B作BUAP ,交AP'的延长线于点E; ./£？ B=45° ,.EP' =BE=1, .AE=2 二在 Rt ABE中,由勾股定理,得 AB槎 ；./BPC=135,正方形边长为思.例 3.如图(4-1 ),在 ABC中,ACB =9C°,PB=1, PC=2 求BPC的度数.BC=AC PA ABC内一点,且 PA=3,练习1.如图,在Rt ABC中,AB针旋转9C后,得到 AFB,连接EF ,卜列结论："AEDX AEF ;

17、ABEX ACD ;BE DC DE ; BE2DC2 DE2其中正确的选项是B.；C.； D.AC , D E是斜边BC上两点,且Z DAE=45° ,将 ADC绕点A顺时练习2: 阅读下面材料,并解决问题：、如图1C,等边 ABC内有一点P假设点P到顶点A, B, C的距离分别为3, 4, 5那么Z APB=,由于PA,PB不在一个三角形中,为了解决此题我们可以将ABP绕顶点A旋转到 ACP处,此时 ACP丝 这样,就可以利用全等三角形知识,将三条线段的长度转化到一个三角形中从而求出ZAPB的度数.、请你利用第1题的解答思想方法,解答下面问题：如图11 , ABg, ZCAB=9

18、C , AB=AC E、F为BC上的点 且Z EAF=45 ,求证： efbE+fC .数学思想方法一转化的思想方法我们在求三角形的边或角,或进行推理论证时,常常作垂线,构造直角三角形,将问题转化为 直角三角形问题来解决.1、如下列图, ABC是等腰直角三角形,AB=AC, D是斜边BC的中点,E、F分别是AB、AC边上的点,且 DEL DF,假设BE=12, CF=5.求1线段 EF的长.2 DEF的面积.总结：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识.通过此题,我们可以了解：当的线段和所求的线段不在同一三角形中时,应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解.二方程的思想方法1. 假设直角三角形的三边长分别是n+1, n+2, n+3,求n.2. 直角三角形周长为12cm,斜边长为5cm,求直角三角形的面积