圆的知识点总结

1、圆与圆的位置关系：外离图1无交点外切图2有一个交点相交图3有两个交点内切图4有一个交点内含图5无交点d>R+rd=R+rR-r<d<R+rd=R-rd<R-r图 4图1图2dRr图3圆的知识点总结集合：圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹：1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心,定长为半径的圆；2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线；3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线

2、且到这条直线的距离等于定长的两条 直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的 一条直线 点与圆的位置关系：点在圆内d<r 点C在圆内点在圆上d=r点B在圆上点在此圆外d>r点A在圆外 直线与圆的位置关系：直线与圆相离d>r无交点直线与圆相切d=r有一个交点直线与圆相交d<r有两个交点d=r垂径定理：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧；(2) 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧；(3) 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所

3、对的另一条弧以上共4个定理,简称2推3定理：此定理中共 5个结论中,只要知道其中可推出其它3个结论,即：2个即AB是直径AB ± CDCE=DE Bc Bd Ac Ad推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等.即：在O O中,AB /CD圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中 的弦相等,所对的弧相等, 此定理也称1推3定理, 要知道其中的1个相等, 结论也即：Z AOB=,相等的圆心角所对弦心距相等即上述四个结论中,只那么可以推出其它的 3个Z DOE AB=DE圆周角定理圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的即：AOB和Z ACB是所对的圆心角和圆周角Z AOB=2 Z AC

4、B圆周角定理的推论：推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的Z C、Z D都是所对的圆周角Z C= Z D推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆所对的弦是直径即：在.中,AB是直径C=90AB是直径在 ABCOC=OA=OB.ABC是直角三角形或/ C=90°注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理.弦切角定理：弦切角等于所夹弧所对的圆周角推论：如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等.即：MN是切线,AB是弦 Z BAM= Z BCA圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内

5、接四边形的对角互补,外角等于 它的内对角.即：在.中,.四边形 ABCD是内接四边形 Z C+Z BAD=180 ° B+ / D=180 °Z DAE= Z C切线的性质与判定定理(1) 判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线两个条件：过半径外端且垂直半径, 二者缺一不可即：MN ± OA且MN过半径OA外端 MN是O的切线(2) 性质定理：切线垂直于过切点的半径(如上图)推论1:过圆心垂直于切线的直线必过切点推论2:过切点垂直于切线的直线必过圆心以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心过切点垂直切线中知道其中两个条件推出最后一个条件MN是切线BAMN

6、 ± OA切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长 相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角.即：PA、PB是的两条切线PA=PBPO平分Z BPA圆内相交弦定理及其推论：(1)相交弦定理：圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘积 相等即：在O.中,.弦AB、CD相交于点PPA - PB=PC - PA(2)推论：如果弦与直径垂直相交, 那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项. 即：在O O中,.直径AB ±CD22_CE DE EA gEB(3) 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线, 线与圆交点的两条线段长的比例中项即：在O.中,. PA是切线,PB是

7、割线_2 PA PC gPB切线长是这点到割(4) 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长 的积相等(如上图)即：在O.中,PB、PE是割线PC gPB PD gPE圆公共弦定理：连心线垂直平分公共弦即：O 01、02相交于A、B两点两圆公切线长的计算公式:(1)AB公切线长：在 Rt 0102C中,2 C0 12 顼C0外公切线长：C02是半径之差；内公切线长：C02是半径之和圆内正多边形的计算(1)正三角形在0中 ABC是正三角形,有关计算在(2)Rt BOD 中进行,OD:BD:OB= 1(2)正四边形同理,四边形的有关计算在Rt 0AE 中进行,0E

8、 :AE:0A= 1：1：(3)正六边形同理,六边形的有关计算在Rt 0AB 中进行,AB:0B:0A=弧长、扇形面积公式(1) 弧长公式：(2) 扇形面积公式:23600102垂直平分AB总结归纳：?圆?的知识考点圆与三角形、四边形一样都是研究相关图形中的 线、角、周长、面积等知 识.包括性质定理 与判定定理及公式. 、圆的有关概念？幼？1、圆.？1 /？封闭曲线围成的图形 静幼獭？2、弦、直径、切线.T直线3、 弧、半圆.T曲线4、圆心角、圆周角.5、三角形的外接圆、外心. t用到：线段的垂直平分线及性质6、三角形的内切圆、内心. T用到：角的平分线及性质、圆的有关性质涉及线段相等、角相等

9、,求线、角1、圆的对称性.T轴对称中央对称2、垂径定理及其推论.3、弧、弦、圆心角之间的关系定理4、圆周角定理及推论.t同圆、等圆,同弧、等弧,圆周角5、切线的性质定理.6、切线长定理.三、判定定理切线的判定t两种思路：连半径,证垂直；作垂直,证半径四、点、直线、圆与圆的位置关系1、点与圆的位置关系位置关系数量关系点在圆外d>r点在圆上d=r点在圆内d<r2、直线与圆的位置关系:位置关系数量关系相离d>r相切d=r相父d<r3、圆与圆的位置关系:位置关系数量关系外离d>R+r外切d=R+r相父R-r<d<R+r内切d=R-r内含d<R-r五、正多

10、边形和圆1、有关概念正多边形的中央、半径、中央角及其度数、边心距2、方法思路：构造年睥年想三角形、直向三角形,在三角形中求线、角、面积.六、圆的有关线的长和面积.1、圆的周长、弧长n r1802、圆的面积、扇形面积、r2 ,圆锥的侧面积和全面积2_ n r扇形360(即S2._ n r _ 1 .、扇形lr )3602C=2 r,S圆锥=r底面圆l母线3、求面积的方法直接法T由面积公式直接得到间接法T即：割补法和差法T进行等量代换与圆有关的计算、周长：设圆的周长为C,半径为r,扇形的弧长为1,扇形的圆心角为n. 圆的周长：C= 2兀R;扇形的弧长:n r180例题1. 05崇文练习一某小区建有

11、如下列图的绿地,图中 4个半圆,邻近的两个半圆相切.两位老人同时出发,以相同的速度由A处到B处散步,甲老人沿Ada,、Ae气、A2FB的线路行走,乙老人沿Acb的线路行走,那么以下结论正确的选项是A甲老人先到达 B处B乙老人先到达B处C甲、乙两老人同时到达B处D无法确定例题2.如图, ABC是正三角形,曲线 CDEF-叫做正三角形的 渐开线,其中 Cd、De、Ef 的圆心依次按A、B、C循环,将它们依次平滑相连接.如果AB=1 ,试求曲线CDEF 的长.例题 3. 06 芜湖如图,线段 AB / CD, / CBE=60°,且 AB=60cm,BC=40cm,CD=40cm , Q

12、O 的半径为10cm,从A到D的外表很粗糙,求 O O从A滚动到D,圆心O所经过的距离.例题4,如图,一个等边三角形的边长和与它的一边相外切的圆的周长相等,当 这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边作无滑动旋转直至回到原出发位置时,那么这个圆共转了圈A 4 B 3 C 5 D 3.56.例题5. 08大兴二模如图,一个人握着板子的一端,另一端放在圆柱上,某人沿水平方向推动板子带动圆柱向前滚动,假设滚动时圆柱与地面无滑动,板子与圆柱也没有滑动.板子上的点B 直线与圆柱的横截面的切点与手握板子处的点C间的距离BC的长为L m,当手握板子处的点C随着圆柱的滚动运动到板子与圆柱横截面的切点时,人

13、前进了 m .例题6. 08房山二模如图,/ ACB = 60° ,半径为2的.0切BC于点C,假设将.O在CB上向右滚动,那么当滚动到 O O与CA也相切时,圆心 .移动的水平距离为.二、面积:设圆的面积为S,半径为r,扇形的面积为S扇形,弧长为I.圆的面积:S r22扇形的面积：S扇形 j3601 -lr 2弓形面积:S弓形 s扇形SV例题1. 05丰台练习二如图, ABC内接于O O, BD是.的直径,如果 /A = 120°, CD = 2,那么扇形OBAC的面积是.例题2.江西省如图, QA、QB、QC两不相交,且半径半径都是 0.5cm.图中的三个扇形即三个阴影

14、局部的面积之和为A cm2B cm2C cm2D cm2例题3.08大兴北京市一居民小区为了迎接 2021年奥运会,方案将小区内的一6m,那么绿块平行四边形 ABCD场地进行绿化,如图阴影局部为绿化地,以 A、B、C、D为圆心且半径均为3m的四个扇形的半径等于图中o.的直径,已测得AB化地的面积为m2 A. 18兀B. 36兀C.45兀D. It42例题4.如图,Q.的半径为20, B、C为半圆的两个三等分点,A为半圆的直径的一个端点,求阴影局部的面积.例题5. 08房山如图1是一种边长为60cm的正方形地砖图案,其图案设计是：三等分AD AB=BC=CD 以点A为圆心,以AB长为 半径画弧,

15、交 AD于B、交AG于E;再分别以B、E为圆心,AB长 为半径画弧,交 AD于C、交AG于F两弧交于H;用同样的方法作出右上角的三段弧.图 2是用图1所示的四块地砖铺在一起拼成的大地砖,那么图2中的阴影局部的面积是cm2 结果保存.例题6.08西城如图,在Rt ABC中,BAC 90 ,ab=ac=2,假设以ab为直径的圆交BC于点D,那么阴影局部的面积是.例题7. 08朝阳：如图,三个半径均为1 m的铁管叠放在一起,两两相外切,切点分别为C、D、E,直线MN 地面分别与Q 02、Q03相切于点A、B . 1求图中阴影局部的面积；2请你直接写出图中最上面的铁管01的最低点P到地面MN的距离是

16、m.例题8. 08海淀如图,一种底面直径为8厘米,高15厘米的茶叶罐,现要设计一种可以放三罐的包装盒,请你估算包装用的材料为多少边缝忽略不计、侧面展开图： 圆柱侧面展开图是 圆锥侧面展开图是形,它的长是底面的 ,高是这个圆柱的 ；形,它的半径是这个圆锥的 ,它的弧长是这个圆锥的底-2A. 48 cm面的.例题1. 05丰台圆柱的高为6cm,它的底面半径为4cm,那么这个圆柱的侧面积是_222b. 24 cm c. 48cm d. 24cm例题2. 05丰台如果圆锥的底面半径为 4cm,高为3cm,那么它的侧面积是2222a. 15 cm b. 20 cm c. 24 cm d. 40 cm例题3. 05海淀如图圆锥两条母线的夹角为120,高为12cm,那么圆锥侧面积为 底面积为例题4. 05朝阳如果圆柱的母线长为 5cm,底面半径为2cm,那么这个圆柱的侧面积是2222a. 10 cm b. 10cm c. 20 cm d. 20cm例题5.如果一个圆锥的轴截面是等边三角形,它的边长为4cm,那么它的全面积是a. 8 兀 cm b. 10 兀 cm c. 12 兀 cm d. 9 兀 cm四、正多边形计算的解题思路：