圆锥曲线常见题型及答案

1、圆锥曲线常见题型归纳、根底题涉及圆锥曲线的根本概念、几a,b,c,e, p何性质,如求圆锥曲线的标准方程,求准线或渐近线方程,求顶点或焦点坐标,求与有关的值,求与焦半径或长短轴或实虚轴有关的角和三角形 面积.此类题在测试中最常见,解此类题应注意：1熟练掌握圆锥曲线的图形结构,充分利用图形来解题；注意离心率与曲线形状的关系；2如未指明焦点位置,应考虑焦点在 x轴和y轴的两种或四种情况；3注意a,2a,a2 , b,2b,b2, c,2c, c2, 2p, p, p/2的区别及其几何背景、出现位置的不同,椭圆中c2 a2 b2,双曲线中c2 a2 b2,离心率e c/a ,准线方程xa2/c ;例

2、题： _一 1一一定点FJ 3,0,F23,0,在满足以下条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是一- 一-22._ .A. PF1 PF24 B. PF1 PF26 C. PFiPF210D. PF1PF212 答：C;12.方程Jx 62 y2 Jx 62 y2 8表示的曲线是 答：双曲线的左支23 点Q2j2,0及抛物线y £上一动点P x,y,那么y+|PQ|的最小值是答：244 方程二 - 1表示椭圆,贝U k的取值范围为 答：3, -U,2；3 k 2 k225双曲线的离心率等于亚,且与椭圆 左 皇 1有公共焦点,那么该双曲线的方程2942 (答：y2 1)；4(6)设中央在

3、坐标原点答：x2 y2O,焦点Fi、F2在坐标轴上,离心率 e J2的双曲线C过点P4, J10,那么C的方程为6二、定义题对圆锥曲线的两个定义的考查,与动点到定点的距离焦半径和动点到定直线准线的距离 有关,有时要用到圆的几何性质.此类题常用 平面几何的方法来解决,需要对圆锥曲线的两个定 义有深入、细致、全面的理解和掌握.常用到的平面几何知识有：中垂线、角平分线的性质,勾股定 理,圆的性质,解三角形正弦余弦定理、三角形面积公式,当条件是用向量的形式给出时,应由 向量的几何形式而用平面几何知识；涉及圆的解析几何题多用平面几何方法处理；圆锥曲线的几何性质：21椭圆以与a范围： a x a, b对称

4、性：两条对称轴2土 1 (a b2y b ；0,y 0,b 0为例：2a ,短轴长为焦点：两个焦点c,0;一个对称中央0,0 ,四个顶点a,0,0, b,其中长轴长为2准线：两条准线x ;cc,椭圆 a22例：1假设椭圆5 m离心率：e0 e 1 , e越小,椭圆越圆;e越大,椭圆越扁.1的离心率e业,那么m的值是答：3或类；532以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时,那么椭圆长轴的最小值为_答22 )x2(2)双曲线(以 a2范围：x a或x a,y对称性：两条对称轴x准线：一条准线xp2离心率：e兰,抛物线 e 1.2四1 ,2 b22(4)点P(x0,y°)

5、和椭圆 与 & 1( a b 0)的关系：(1)点P(x°, y°)在椭圆外 a b2222会今=1; (3)点P(x°,y0)在椭圆内鸟监1a ba b0,a R,那么抛物线y 4ax2的焦点坐标为2)点P(x.,y.)在椭圆上例:22(6) 2L 七 1 设 a25 16(7)椭圆上一点P到椭圆左焦点的距离为3,那么点P到右准线的距离为1 16ay21- 1 ( a 0,b 0 )为例)：b2R;焦点：两个焦点(c,0)；0, y 0 , 一个对称中央(0,0),两个顶点(a,0),其中实轴长为2a,虚轴长为2b,特别地,当实轴和虚轴的长相等时,称为等

6、轴双曲线,其方程可设为x2 y2 k,k 0;a2,b准线：两条准线x;两条渐近线：ybx.ca离心率：e 二 双曲线 e 1,笠机取他线一.e 2 , e越小,开口越小,e越大,开口越大；例：(3)双曲线的渐近线方程为y=±3x/4,那么双曲线的离心率为 1(4) 双曲线ax2 by2 y1y2,y1y2,x1x2(y1y2), . AB的离心率为 在, 那么 a:b =(答：4 或 4 )；22(5) 设双曲线 与 & 1 (a>0,b>0)中,离心率e 42 ,2,那么两条渐近线火角0的取值范围是a2 b2一,一)；3 20)为例)：(3)抛物线(以y2 2

7、px(p 范围：x 0, y R;焦点：一个焦点(卫,0),其中p的几何意义是：焦点到准线的距离;2对称性：一条对称轴y 0,没有对称中央,只有一个顶点(0,0)；(8)抛物线方程为y2 8x,假设抛物线上一点到y轴的距离等丁 5,那么它到抛物线的焦点的距离等(9)假设该抛物线上的点M到焦点的距离是4,那么点M的坐标为 (答：7,(2, 4)；2(10)点P在椭圆252匕1上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,那么点P的横坐标为9三、直线与圆锥曲线的关系题(1) 写直线方程时,先考虑斜率k存在,把直线方程设为y kx b的形式,但随后应对斜率k不存在的情况作出相应说明,由于k不存在的情况

8、很特殊,一般是验证前面的结论此时是否成立；(2) 联立直线方程和圆锥曲线方程,消去x或消去y,得到方程 ax1 k bx c 0 或 ay2 by c 0 ,此方程是后一切计算的根底,应保证不出错.(3) 当方程或的二次项系数a 0时,方程是一次方程,只有唯一解,不能用判别式,这种情况 是直线与双曲线的渐近线平行或直线与抛物线的对称轴平行;(过抛物线外一点作与抛物线只有一个公共点的直线有三条,过双曲线含中央的区域内一点(不在渐近线上)作与双曲线只有一个公共点的直线有四条；)(4) 当方程或的二次项系数a 0时,判别式 0、 0、 0,与之相对应的是,直线与 圆锥曲线分别相离、相切、相交.如直线

9、与圆锥曲线有公共点,应用0来求斜率k的范围； 例题：(1) 过点(2,4)作直线与抛物线y2 8x只有一个公共点,这样的直线有 (答：2);22(2) 过点(0,2)与双曲线 七1有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为 (答：9 164 4垢 ,/ ？3322(3) 直线ykx 1=0与椭圆 1包有公共点,那么m的取值范围是(答：1 ,5) U (5,5 m+ OO);22(4) 过双曲线 1的右焦点直线交双曲线丁 A、B两点、假设I ABI =4、那么这样的直线有12条(答：3);(5)直线与圆锥曲线相交成弦(前提a 0,0),记为 AB,其中 A(x1,y1) , B(x2,y2) ,

10、 AB 的坐标可由方程或求得,一般是由方程求出x1, x2,再代入直线方程求y1, y2 ,或由方程求出y,y2,再代入直线方程求x,x2.(6)涉及弦长问题,可用韦达定理,由方程2 axbx c 0 求出 x1 x2,x1x2 ,A(x1,y), B(x2,y2)在直线 y kx b上,- yy1 y2k(x1 x2), ,- AB(x x2)2 (y1y2)2. (1k2)(x1 x2)2V(1 k )(x1x2)4X1X2v'(1 k2)yt 0a请注意,如果联立直线和圆锥曲线方程,消去x,得到ay2 by c 0 ,继而用韦达定理,求出v( x1x2 )2 (y1 y2)2 j

11、(1 日)(y1y2 )2(1土)( y1 y2)2 4y1y2 V(1*)行'(6) 假设抛物线y y2(5) .经过双曲线x i的右焦点F2作倾斜角为30°的弦AB , 2px(p0)的焦点弦为AB,A(xi,yi), B(x2,y2),那么 | AB |xiX2p；2P2xix2, yiy2p4(7)涉及弦中点问题,可用韦达定理,由方程ax2成c(7) 假设OA OB是过抛物线y2 2px(p 0)顶点.的两条互相垂直的弦,那么直线 AB包经过定点 (2p,0)0 求出 xix2,设弦 A(xi, yi) B(x2, y2)的中点为M (x0, y0),那么x0xW ,

12、M点也在直线y2kx b 上, y0kx0 b.如果问题仅仅与弦中点和弦的斜率k有关,而不涉及弦长,2(2)如果椭圆36x 2y 8 0);x2(3)直线y= x+i与椭圆-2 ax 2y=0上,那么此椭圆的离心率为那么可把弦AB的坐标(xi, yi) , g,y2)直接代入曲线方程,然后相减,因式分解,所得的式子中只有(x x2)、(xi x2)、(yi y2)、(yi y2),这些都与弦中点坐标和弦的斜率k有关.(点差法)(8)弦AB满足有关的向量的条件,如OA OB 0 (O为原点),那么xix2 yi y2 0 ,yi kxi b ,y2kx2b ,xix2(kxib)(kx2b) (

13、i k2)xix2kb(xix2)b2 0.乂如过椭圆x2 2y2 2的右焦点Fi的直线l与该椭圆交丁 M ,N两点,且FiM F2M 2、063 ,求直 线l的方程.特别提醒：由于0是直线与圆锥曲线相交丁两点的必要条件,故在求解有关弦长、对称问题时,务必别忘了检验0!例：(i)抛物线y2 2x上的两点A、B到焦点的距离和是5,那么线段AB的中点到y轴的距离为(答：2);2i弦被点A (4, 2)平分,那么这条弦所在的直线方程是9% i(a b 0)相交丁 A、B两点,且线段AB的中点在直线L: b'2(1) 双曲线或xi i的渐近线方程为丈.°；a2 b2a2 b22222

14、(2) 以ybx为渐近线(即与双曲线&i共渐近线)的双曲线方程为与(为参aa2b2a2b2数,丰0).22如(4)与双曲线立 七i有共同的渐近线,且过点(32寸3)的双曲线方程为(答：9 i6224x y 八i)94(1) 求 |AB|(2) 求三角形FiAB的周长,(Fi是左焦点)(6).抛物线y2 x与直线y=k(x+1)相交于A、B两点(1) 求证：OA OB(2) 当S oab 而,求k的值.(7)动直线y k(x 1)与椭圆C: 匕 1相交于a、B两点,点5537uuur uuirM ( 一 ,0),求证：MA MB为定值.322X y2222解：将 y k(x 1)代入一

15、1 中得(1 3k )x 6k x 3k 5 055336k4 4(3k2 1)(3k2 5) 48k2 20 0,6k23k2 5x2一2 , xx2 23k 13k1uuur uuur 7777所以 MA MB (x匚,yjg;,y？) (x-)(x2-)yy3333772(x1 -)(x2 -) k (为 1)(x2 1)33(1 k2 )x1x2 (7 k2)(x1 x2) 49 k239(1k2)3k )23k2 1(3k2)(3k2 1)499k23k4 16k2 5 49 k2 43k2 19922M点平分,求这条弦所在直线的方程.(8)过椭圆 1内一点M (2,1)引一条弦,使

16、弦被 164四、关丁圆锥曲线的最值(1)圆锥曲线上的动点到一个定点的距离的最值.设动点的坐标M(x0,y0),用两点间的距离公式表示距离d ,利用点M的坐标(x°, y°)满足圆锥曲线方程,消去y° (或消去x°),把d2表示成x° (或y°) 的二次函数,由于X.(或y°)有一个取值范围(闭区间或半开半闭区问),所以问题转化为：求二 次函数在闭区间上的最值.有时须针对二次函数的对称轴与闭区间的关系进行分类讨论.(2)圆锥曲线上的动点到一条定直线的距离的最值.作圆锥曲线与定直线平行的切线,切点即为所 求的点,切线与定直线的距

17、离即为所求最值.例：(1)椭圆xA2/3+yA2=1上的点到直线x-y+4=0的最短距离;五、求动点的轨迹方程(1)求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围；注意：不重合的两条直线1：A,x B1y C1 0与2 : A2x B2y C2 0, 1的法向量为：ni (ABJ,方向向量为ei(B,A)(1,k1), i 2A1A2B1B201 / 2A1B2B1A2 且 A1C2 C1A2 ;(2)求轨迹方程的常用方法：直接法：直接利用条件建立x,y之间的关系F(x,y) 0； 动点P到定点F(1,0)和直线x 3的距离之和等丁 4,求P的轨迹方程.(答: y212(x 4)(3

18、x 4)或 y2 4x(0 x 3); 待定系数法：所求曲线的类型,求曲线方程一一先根据条件设出所求曲线的方程,再由条 件确定其待定系数.(2)线段AB过x轴正半轴上一点M (m, 0) (m 0),端点A、B到x轴距离之积为2m,以x轴 为对称轴,过A、O、B三点作抛物线,那么此抛物线方程为 (答：y2 2x); 定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种曲线,再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方 由动点P向圆x2 y2 1作两条切线PA P己切点分别为A、B, ZAPB=60,那么动点P的轨迹方程 为 (答：x2 y2 4);(4)点M与点F(4,0)的距离比它到直线l: x 5 0的距离小丁

19、1,那么点M的轨迹方程是 (答：2y 16x)；一动圆与两圆O M x2 y2 1和CD N: x2 y2 8x 12 0都外切,那么动圆圆心的轨迹为 (答：双曲线的一支)； 代入转移法：动点P(x, y)依赖丁另一动点Q(x°,y°)的变化而变化,并且Q(x°, y°) 乂在某曲 线上,那么可先用x,y的代数式表示x°,y°,再将x°,y0代入曲线得要求的轨迹方程；动点P是抛物线y 2x2 1上任一点,定点为A(0, 1),点M分PA所成的比为2,那么M的轨迹方程为(答： y 6x2 -);3(7) AB是圆.的直径,且|

20、AB|=2a, M为圆上一动点,作 MAB垂足为N,在OM±取点P ,使|OP| |MN |,求点 P 的轨迹.(答：x2 y2 a|y|);(8) 假设点P*,*)在圆x2 y2 1上运动,那么点.以心 y)的轨迹方程是 (答：9过抛物线x2 4y的焦点F作直线l交抛物线丁 A、B两点,那么弦AB的中点M的轨迹方程是答：x2 2y 2;14全国卷? 1a b 0的离心率为 ,F是椭圆的焦点, b2x220.本小题总分值12分点 A 0, -2,椭圆E :a直线AF的斜率为奏3 , O为坐标原点.3I求E的方程；口设过点 A的直线l与E相交于P,Q两点,当 OPQ的面积最大时,求l的

21、方程.20.本小题总分值12分解：I设Fc,0,由条件知,2 瓯,得c J3, c 3_ C 3222又一,所以a 2,b a c 1 a故E的方程为y2 1 5分42(n)当l x轴时不合题意,故设l : y kx 2 , P(x1, y1),Q(x2,y2),将y kx 2代入 y2 1得4(1 4k2)x2 16kx 12 016(4k2 3) 0 ,即 k23仆膏时,x1,28k 2 4k2 34k2 1从而 |PQ| k2 1|x1x2 |4k2 1 ,4k2 34k2 1又点O到直线PQ的距离d2.2 ,所以 OPQ的面积, k2 1S OPQ1 4、, 4k2 3-d | PQ|

22、22 4k2 1设 4k2 3Sopq t2 44t - t4由于t -t4,当且仅当t2,即k近时等号成立,且满足2所以当 OPQ的面积最大时,l的方程为212分4. ( 3,112)u( 2,2)；:1.3或25答案一：1.C 2.双曲线的左支3： y=xA2/4 即 xA2=4yA 焦点 F 为(0,1 )准线：y=-1 过点 P作 PMy=-1 丁 ML | PM| = | PF|y+|PQ|= | PM| +|PQ|-1= | PF| +|PQ|-1当F,P,Q三点共线时I PF| +|PQ|最小(I PF| +|PQ|) min=V (2V2)八2+1=3. (y+|PQ|) mi

23、n= ( | PF| +|PQ|-1 ) min=3-1=25. y 1 ；6.42. 设焦点在x轴上,那么椭圆上的一点和两个焦点为顶点的三角形,底边长为2c,面积最大时,底边上的 高最大,即该动点必须位丁椭圆与y轴的交点上,即此时高为b,即2c*b/2=1,bc=1,c=1/b而 cA2= aA2-bA2 =(1/b)A2 即 aA2= bA2 +(1/b)A2> 2aW2 长轴 2a>2V23. (1)焦点在 x 轴上,渐近线 y=±(b/a)x b/a=3/4,- b=3t, a=4t ,- c=5t ,- e=c/a=5/4(2)焦点在y轴上,渐近线y= 土 (a

24、/b)x a/b=3/4,- a=3t, b=4t ,- c=5t ,- e=c/a=5/314. 4 或 45. e=c/ae V2,2,. cos( Tt-9 )/2=a/c 1/2,1/ V2,一(兀-9 )/2 兀 /4,兀 /3,Tt - 0 兀/2,2兀/3,二0的取值范围是兀/3,兀/2.c135/、256. (0,)7.8.79.( 7,(2, 4)10.16a312< c c 4 4 灰二：1、22. 一,33显然该抛物线焦点是(2,0 )这个点在x=5上.解方程组x=5,y2=8x , 那么 x=5,y=2 V10. a 该点坐标为(5,2 V10).用公式算得该点至

25、抛物线距离为 7.2.设直线为y=kx+a, 过(0,2)点,可得a=2y=kx+2与x2/9-y2/16=1 有且只有一个公共点也就是方程组x2/9-y2/16=1 ; y=kx+2只有一组解将 y=kx+2 代入 x2/9-y2/16=1 得到：(16-9k2)x2-18kx-180=0就此讨论：当16-9k2=0时,方程只有一组解,也就是k=± (4/3)时,方程只有一组解当16-9k2不等丁 0时,一元二次方程有且只有唯一解的条件 也就是b2-4ac=0,可以得到另一组k的值hI _ 3: .椭圆项扁,且河定,直线= 过定点(°),欲使其与椭圆号-打恒 有公共点,只

26、需让(°落在椭圆内或者椭圆上,即：板",.加a沏邳,选c.4. XA2 - YA2/2 =1 c 2=1+2=3 F( V3,0)过F且垂直x轴的直线是x=V 3代入那么y2=4 y= 土 2所以此时AB=2-(-2)=4所以这里有一条且AB都在右支时其他的直线那么 AB都大丁 4所以AB都在右支只有1条直线L交双曲线丁 A,B两点,A、B分别在两支时,顶点是(-1,0),(1,0)顶点距离是2<4所以也有两条,关丁 x轴对称所以共有3条1.22.x 2y 8 04x24.华9解JI?如下列图,由/ -彳n】捋1, X * 3从而 c1 * 4, /. F| -2,0

27、.设同< je. / >. 田朴,为),在"方程为"号(八 ).曲F 点'3悄去,辱3# +乏)二心八33 + 施理痢 8*2 - 4/ - 13 = 0.二笨| + 由=义,& %(= -早 二3 曲V = * +呼盆手网 ti) - Jtji 土;¥ 又提/？J = I /？F| I -质F, 1 ,宙焦 半径公式知(JJ£i( = Bi； + a.) 4F I = - b - 口 /. I AR I 卫 I HF f - I /IF I r s(>i + j334-2a = 2kj + 2= 3(2) V I Wj

28、 I = «； - aH J XXi f = a -二 I Bf；l 4 f Af J = r(zi - ij) = 2 x '尹 > 3 /1 ME 周长为I®II + IBTJ+ 11 7*取6、 (1)将 y=k(x+1)代入 yA2=-x,设 A (X1,y1) ,B(X2,y2) 易得 X1+X2=-(2kA2+1)/kA2,X1*X2=1y1*y2=kA2(X1+1)(X2+1)=-10A斜率 K1 为 y1/X1,0B 斜率 K2为 y2/X2, 所以K1*K2=-1得证(2) 1/2(根 x1A2+y1A2* 根下 x2A2+yxA2)=根 1

29、031八2+尸1八2) * (x2A2+yxA2) =40x1A2x2A2+(x1A2+y2A2+x2A2y1A2)=402-(x1A2x2+x2A2x1)=40x1x2(x1+x2)=-38(2kA2+1)/-kA2=-38kA2=1/36k=-1/67、 7、解：将 y k(x 1)代入 匕 1 中得(1 3k2)x2 6k2x 3k2 5 055336k4 4(3k2 1)(3k2 5) 48k2 20 0,6,伞2"x223k2 1,濯23k2 1uuur uuir 所以MA MB(玉7,贝)以27,y2)(x7)(x27)yy23333772W -)(x2 -) k2(为 1)(x2 1)33竺k2272(1k W2(3 k )(X1X2)6k23W492k922 3k2、3.-解：(I)设F(c,0),由条