第九章含虚拟变量的回归模型

1、第九章含虚拟变量的回归模型目前为止，在已学习的线性回归模型中，解释变量X都是定量变量。但有时候，解释变量是定性变量。9.1虚拟变量的性质通常在回归分析中，应变量不仅受一些定量变量的影响，还受一些定性变量的影响(性别、种族、肤色、宗教、民族、罢工、政团关系、婚姻状况)。如：美国黑人的收入比相应的白人的收入低。女学生的的数学平均分数比相应的男生低。定性变量通常表明了具备或不具备某种性质，比如，男性或女性，黑人或白人，佛教徒或非佛教徒，本国公民或 非本国公民。把定性因素“定量化”的一个方法是建立人工变量，并赋值0和1, 0表示变量不具备某种属性，1表示变量具备某种属性，该变量称为虚拟变量(dummy

2、 variable),用符号D表示。虚拟变量一样可用于回归分析，差分析模一个回归模型的解释变量可以仅仅是虚拟变量，称为方型(ANOVA ) oYi = B1 + B2Di + ui其中丫=初职年薪Diy=1,大学毕业1=0,非大学毕业假定随机扰动项满足古典线性回归模型的基本假定，根据模型(91 )得到： 非大学毕业生的初职年薪的期望为:E(Yi | Di=O) = B1 + B2( 0 ) = B1(9-2)大学毕业生的初职年薪的期望为:E(Yi | Di=1) = B1+B2( 1 ) = B1+B2(9-3)可以看出：截距B1表示非大学毕业生的平均初职年薪，“斜率”系数B2表明大学毕业生的

3、平均初职年薪与非大学生的差距是多少;(B1+B2)表示大学毕业生的平均初职年薪。零假设：大学教育没有任何益处(即B2=0),可根据t检验值判定b2是否是统计显著的。例9.1大学毕业生和非大学毕业生的初职年薪脾韬Tim0啡大学艄）脾年和舶（吩和忻 气大学艄）21.2113.501Z50加117.000如51W.0021.012川1模型(91 ) OLS回归结果如下:Yi = 18.00+3.28Dise = (0.31)(0.44)t = (57.74 ) p 值(7)444)=(0.000 )产=0.8737(0.000)估计的非大学毕业生的平均初职年薪为18000美元（=b1）,大学毕业生的

4、平均初职年薪为21280美元（b1+b2）。根据括号中的t值，很容易验证b2是统计显著的，表明非大学毕业生和大学毕业生的初职年薪有差距。图91描绘了回归结果，回归函数是一个分段函数。20不同敎自水平卜的初职年箭在社会学、心理学、教育学领域,ANOVA模型用得很广泛，而经济学中很少。在许多协方差模型经济研究中，回归模型中的解释变量有些是定量的，有些是定性的，称为(ANCOV A)o 9.2包含一个定量变量，一个定性变量的回归模型Yi=B1 + B2Di + B3Xi + ui其中Yi公司职员的年薪Xi 工龄Di=1, 女职员=0,男职员模型（9 馬包含了一个定量的变量x （工龄）和_个定性变量（

5、性别）。假定E (ui) =0,则,男职员平均年薪：E （Yi | Xi , Di= 0） = B1 + B3Xi女职员平均年薪：E (Yi | Xi , Di= 1) = (B1 + B2) + B3Xi ( 9 8 )图92描绘了这两种不同的情况。（假定B1>0 ）32422201816模型（96）表明男、女职员的平均年薪对工龄的函数具有相同的斜率（B3），但截距不同。即男职员的平均年薪水平与女职员不同（多了 B2）,但男、女职员平均年薪对工龄的变化率相同。零假设：回归方程（97 ）和（9-8 ）有相同的截距（也即没有性别歧视）。再根据t检验结果判定b2的统 计显著性。考虑：能否引入

6、关于性别的两个虚拟变量？模型（96 ）可写为：Yi=B1 + B2Xi + B3D1i + B4D2i + uiD1if =1,男职员“=0,女职员D2i =1,女职员=0,男职员无法估计模型（9-9 ）,因为D1i与D2i存在完全共线性（即完全的线性关系）。很容易验证:D1= （ 1-D2）或D2= 1 D1,也即D1, D2完全共线性。避免完全共线性问题的一般规则是：如果一个定性的变量有m类，则要引进）个虚拟变量。如果不遵循 这个规则，就会陷入虚拟变量陷阱（dummy variable trap），也即完全多重 共线性情形。虚拟变量的赋值是任意的。例子中令D= 1,代表女职员，D=0,代表

7、男职员；赋值可根据习惯而定。赋值为0的一类常称为基准类，对比类；（共同的）截距B1是基准类的截距。同样，对于基准类的选择也是 根据研究目的而定的。9.3:虚拟变量D的系数称为差别截距系数，表明了取值为1的类的截距值与基准类截距值的差距。初职年数龄性别（匸男也初职年薪y千性别（匸男也薪卩千X“女也美元0女性）23.01125X5019K1028.05124.0129,56121.0026.06025.03127.5”1022.0303L5126.54129.08023斗0例职员年薪与工龄、性别的关系。得到的OLS回归结果如下:(9-10)Yi = 17.969 + 1.3707Xi + 3.33

8、36DiSe = (0.191 9) (0.035 6) (0.155 4)t= (93.612 0) (38.454) (21.455)r2=0.9933当性别变量为常量时，平均年薪将增加1371美元。当工龄变量保持不变时，男职员的平均年薪比女职员多 3334美元。虽然男女职员平均年薪对工龄有相同的年增长率，但由于虚拟变量的系数是显著的，因此两类职员的平均 年薪不同。根据(910)的回归结果，可以推出男女职员的平均年薪函数：女职员平均年薪:rYi = 17.969 + 1.3707Xi(9- 11 a)男职员平均年薪：Yi = (17.969+3.333 6) + 1.370 7Xi ( 9

9、 - 11 b )=21.302 6+1.3707Xi9.3虚拟变量有多种分类的情况假定教育水平有如下几等:要做个人假期旅游的年支出对其收入与受教育水平的回归。1. 未达到中学水平，2. 中学水平，3. 大学水平。根据虚拟变量的个数应比变量的分类数少一个的规则，引入两个虚拟变量来表示三种不同的教育水平。假定教育水平不同的三个群体有相同的斜率，但截距不同，用下面的模型：Yi = B1 + B2D2i + B3D3i + B4Xi + ui式中Yi 用于假期旅游的年支出Xi 年收入D2i =1,中学教育.=0,其他D3i f =1,大学教育=0,其他注意：在对虚拟变量的赋值中，将“未达到中学水平”

10、视为基准类。因此，截距B1代表了这一类的截距。差别截距B2, B3表明了其他两类的截距与基准类的截距的差距有多大。假定E(u) = 0,从(913 )的回归结果可得:未达到中学水平的平均旅游支出:E(Yi | D2=0, D3=0, Xi) =B1+B4Xi ( 9-14 )中学水平的平均旅游支出：E(Yi | D2= 1 , D3=0, Xi) = (B1+B2) + B4Xi(9-15)大学毕业的平均旅游支出：E(Yi | D2= 0 , D3= 1 , Xi) = (B1+B3) +B4Xi(9-16)对模型(913)估计之后，根据t检验的结果，很容易验证差别截距B2, B3各自均是统计

11、显著的。例9.5：旅游支出与收入和教育的关系盈干笑元中学敘育d ri大判育6.040011931101S0015007.24n01332?103.1101.7r006443017.949011.51?005.12510*29102.02000624101根据表93的数据，得到的回归结果：AYi = -1.2860 + 0.1722Xi 0.0680D2i + 0.4472D3iSe = (0.2694)(0.0147)(0.1708)(0.3956)(9-17)t= (-4.7738)(11.7280)(-0.3982)(1.1304)p 值=(0.000)(0.000)(0.3490)(0.

12、1412)2R = 0.9965注：当D2=D3= 0 ,观察值表示了未中学毕业。回归结果表明，在其他条件不变时，随着收入的增加，比如说收入增加一美元，平均的旅游支出将增加17美 分。由于在5%的显著水平下，两个虚拟变量均是统计不显著的，因而在收入不变时，受教育水平对平均旅游支出没有 显著影响。Y康祐支出与不同教育水平下牧入的关系9.4包含一个定量变量，两个定性变量的回归模型回到公司职员年薪（9.6） 例中，但是现在假定除了工龄、性别以外，肤色也是一个重 要的决定因素。为了简便，假定肤色有两种，白种和非白种。可将模型（96）重写为：Yi = B1 + B2D2i + B3D3i + B4Xi + ui ( 9 1 8 )式中Yi 年薪Xi 工龄D2i f =1,男职员=0,非男职员D3i =1,白种_=0,非白种假定E （ui） =0,则根据模型（91 8 ）得到不同的平均年薪函数如下:非白种女职员平均年薪：E(Yi | D2=0f D3= 0 , Xi) =B1 + B4Xi ( 9 1 9 )非白种男职员平