张齐华《认识方程》课堂实录.

1、张齐华认识方程课堂实录上传 : 程海毅更新时间： 2012-12-3015:20:15师：我来测测大家的反应怎么样？上课！生：起立。师：同学们好！生：老师好！师：请坐！师：生活当中经常遇到各种各样的数，对吗？比如说，谁愿意告诉我你今年多大了？生 1：我今年12 岁。师：真不错，长这么小个儿已经12 岁了。你！生 2：我今年 11 岁。师：瞧，人家长的高， 11 岁。你！生 3：我今年也是 12 岁。师：也是 12 岁。行！其实光知道自己的年龄并不稀奇，有谁知道自己爸爸多大了？生 1：我爸爸 37 岁。师： 37 岁，挺年轻的。生 2：我爸爸 42 岁。师：好，再来一个。你！生 3：我爸爸 39

2、 岁。师：真好！同学们看，自己的年龄知道吗？生：知道。师：爸爸的年龄知不知道？生：知道。师：像这些都知道的数，数学上给他这个名称。板书：已知数师：叫已知数，咱们都知道了是不是？那既然有已知数，就一定有（ ）。生：未知数。师：好感觉，还有未知数。板书：未知数师：那么自己的年龄、爸爸的年龄对大伙来说这些都是已知数。那生活当中对你们来说是未知数呢？举个例来说一说，你来。生 1：大海有多深？师：大海有多深？对他来说是个未知数。真好，你呢？生 2：全世界有多少人？师：全世界有多少人口？你！生：天上有多少颗星星？师：真好 ! 看来生活中已知数有很多，未知数（ ）。生：也很多。师：真好，再举个例子。刚才是谁

3、说爸爸的年龄是已知数的？举手告诉我，你爸爸的年龄多大了？生： 37 岁。师：你知道你爸爸银行卡里有多少钱吗？生：他说临死前会告诉我。师：用一种很智慧的方式告诉了我，这会你还不知道，多聪明的一个女孩。她既要说明现在是一个未知数，但是早晚会成为一个（ ）。生：已知数。师：看来， 现在对她来说暂时是一个未知数。师：看，今天来了很多听课老师，目前来了一共多少位老师知道吗？生：不知道。师：什么数？生：未知数。师：这样的未知数多不多？生：多。师：那么张老师问大家一个问题， 实话实说。是喜欢已知数还是喜欢未知数？你来！生 1：我喜欢未知数。师：为什么？生 1：因为未知数有探究性。师：真好！附小的孩子不一样。

4、还有什么？你！生 2：我也喜欢未知数，因为未知数越多，我就能知道越多的已知数。师：棒啊！瞄着每一个未知数等着它成为已知数，对吧。还有谁来？你！生：我喜欢已知数，因为只有有了已知数，你才能求出未知数。师：太棒了，一个比一个卓越优秀。喜欢未知数的告诉我是因为未知数能让我们更多地去探索。但是，不管你喜欢什么数，有一点是形成共识的，就是遇到未知数，我们总会想方设法把它变成（ ）。生：已知数。师：那未知数怎样才能变成已知数呢？你比如，她爸银行卡里的钱不知道？别等了到那一天了，有什么办法能知道？大伙给她想想办法？你！生 1：可以去问。师：直接问爸爸，可不可以。直接问就是一个好办法呀！还有没有好办法？你！生

5、 2：去银行输他的帐号查。师：专业。还有其他办法吗？你！生：爸爸取钱的时候看。师：可以，偷偷瞄两眼。好，台下那么多老师，到底有多少？也是一个未知数。怎么才能变成已知数？你来！生 1：问问工作人员。师：问问工作人员，可不可以。生 2：用我们知道的已知数来求。师：好，想办法借助已知数来求。看来，要获得一个未知数有两种思路，一种是思路是想办法直接去了解，对不对？还有一种是根据已知数想办法来求知未知数，对吧？换个话题好不好？刚才我们讨论了银行的钱，台下老师的人数。下面我们知道张老师今年多大吗？目前张老师多少岁？对你们来说是个（ ）。生：未知数。师：数学上未知数怎么表示？生： x.师：可以用字母x 表示

6、，当然 y、z 也都可以。同学们，想不想让它变成一个已知数？生：想。师：有什么办法？我就站这儿，有什么办法求出来？生：问你一些信息，然后设法求出来。师：直接问我。差不多就这个思路了，今天张老师就和大家来学习不通过直接了解，怎样想办法用别的思路找到未知数的结果？想不想试试？生：想。师：张老师的年龄是一个未知数，谁的年龄是一个已知数？生：我们的。师：你们的年龄是一个已知数，谁来？谁的年龄是个已知数？你来。生： 11。师：你 11 岁，什么数？生：已知数。师：写下。师板书。师：同学们！现在要是张老师告诉你，我的年龄和他的年龄之间的某一种关系，你们能不能知道张老师的年龄？生：能。师：确定？我们来试一试

7、。 看谁的反应最快。师：看屏幕， 1、 2，悄悄的告诉你，张老师的年龄比他大， 如果我的年龄减去 20 岁，我的年龄还比他大。实话告诉我，能确定吗？生：不能。师：可能是多少岁？生 1：可能是三十多岁。师：三十多，能再具体点吗？有可能是三十多少？你来！生 2：32。师： 32，有道理。还可能是三十多少？你！生 3：34。师： 34，还有没有可能？你！生 4：33。师：能不能确定？生：不能。师：看来，光知道这个信息还不行，换一个好不好！看， 1、 2。师：如果我的年龄减去 30 岁，我的年龄比他小。实话告诉我，能确定吗？生：不能。师：还是不能，张老师就好奇了。你看，这么跟你讲，你也不能确定。那么跟

8、你讲，你也不能确定。你到底想要我说什么？你才能确定呢？你说！生 1：告诉你的年龄是我们的几倍？师：可以吗？还有？你说！生 2：你的年龄比我们大多少？师：也就是说，几倍也好，比他大多少也好，你得确定下来我的年龄和你的年龄到底有怎样的相等关系？对吧？那就出来了哦！谁要知道了把手高高举起来。师：如果我的年龄减去 25 岁，我的年龄就和他正好相等了。告诉我多大？生： 36.师：我就有问题了。同学们，你看，这三句话都表示出了我的年龄和他的年龄之间的一种关系，对不对？那为什么前面两个出来以后不知道我的年龄？而第三个一出来，大伙都确定了，为什么？前后左右商量商量为什么？生前后讨论师：好了没有？为什么前面两个

9、都不行，后面一个却成功了？你来！生 1：我认为前两个只告诉你张老师的年龄和他之间的关系， 没告诉你准确的等量关系。师：多专业的一个词。他的意思是你给了我关系还不行， 还得告诉我是怎样的等量关系，真专业。不过同学们，光这么说我估计有的同学还不能领会，从数学的角度，我们再琢磨琢磨，好不好？生：好！师：我有一个建议，我们把三种关系用含有字母的式子表示出来，看看大家还能发现什么？第一个。师：我的年龄怎么表示？生： x-20>11 （师板书）师：反应真快！ x-20>11（师板书）真好！第一句话我们就用这一个式子表示出来了，第二句话行不行？一起说！生： x-30<11 （师板书）师：一

10、起看第三个，一起来。生： x-25=11 （师板书）师：这是能找到年龄的一个式子，这是不能找到年龄的式子，比较一下，发现了什么？师：不用举手，发现了什么？一起说。生：上面两个是 >或 <，下面是 =。师：可别小看了这个 =，就象刚才这位女同学说的，正是因为这个 =，我们就在未知数和已知数之间建立了一种什么关系？生：等量关系。师：等量关系。 （板书）师：孩子们，像这样在未知数和已知数之间建立的等量关系的式子，你知道数学上叫什么吗？生：方程。师：未知数和已知数之间建立的等量关系式，数学上我们就把它叫做方程。（板书方程） 这两个叫方程吗？生：不是。师：大声找理由，说为什么？生：没有等号。

11、师：没有等号，也就是未知数和已知数之间没有（）。生：等量关系。师：这样看来，只有在未知数和已知数之间建立等量关系的式子才是（）。生：方程。师：学到现在，相信大家对方程已经有了初步的认识。看，张老师又给大家带来了什么？大家看屏幕。生：苹果、梨、西瓜、西红柿、草莓。师：这会儿知道他们有多重吗？生：不知道师：什么数？生：未知数师：想不想让它们变成已知数？生：想师：有一样工具可以实现这个目的，告诉我是什么？生：（太土）天枰、砝码师：借助天枰和砝码可以让它们变成已知数，是吧？不过我有个问题，同学们，是不是我有了天枰和砝码就一定能找到这几个水果的重量呢？别着急，课的一开始呀张老师利用这些工具进行了四次测量

12、的活动，想不想看看测量的结果？生：想师：瞪大眼睛，各不相同。一 藏在心里，二 三 四 看完了没有？我只有一个问题：看这四幅图告诉我，是不是所有的水果的重量你都知道了？生；不是师：有没有一些已经知道了？别告诉我，我给大家一个问题好不好？观察屏幕，你觉得借助这几个天枰图，哪几种水果的重量你已经知道了？嘘 为什么？哪几种水果的重量现在还不知道，又是为什么？在我们的前后四人小组里边好好的商量商量好不好？赶紧，开始！生：（讨论）师：好了没有？看看大伙儿经过讨论意见是否一致？告诉我，谁已经知道了？ 都同意？好，看样子，这两种水果的重量已经知道了，那么我的问题就来了同学们， 奇怪了，二号也有天枰也有砝码，为

13、什么西瓜的重量不知道呢？为什么？你说。生：西瓜重量加 50 千克的砝码大于 200 千克，它不足于建立等量关系。师：这个不足于说得好，天枰？以后能找到等量关系吗？那这个时候我们能根据已知的数找到未知数吗？生：不能师：真好，不能建立等量关系，所以找不到西瓜的重量。哎，三号，三号可是等量关系噢，怎么也不行呢？生：因为它没有已知数，是两个未知数，两个未知数没法算出等量关系师：话快要到头的时候稍微绕了一下，有没有等量关系？（有）只可以左右两边都是未知数，没有已知数，所以找不到解决问题的突破口，对不对？（对）那这样看来，它不含等量关系，它没有已知数，那什么情况下才能找到未知数的结果？既得有（已知数）也得

14、有（已知数） 还得建立 （等量关系） 。好，那这样看来，一和四可不可以？（可以）正因为他们建立了等量关系，那你能不能结合一和四的这两幅图列出两个方程，行不行？好，打开作业本，把这两个方程都写下来，我请两个同学上来写，一人写一个，来，你一个，你一个。 你写第一个好不好？就写这边，你写四号 真好（学生写）师：好了没？我们一起来看一下，重新看一下四号，可不可以？一号， X+50=200 ，对吗？都写对的举手，手放下，真好。哎，那我问一问，这里的二号和三号可不可以列出方程？师：其实呀，这里的三号也是可以列出方程的，只不过它不是我们小学阶段要研究的方程，二我们小学阶段只研究在未知数和已知数之间建立等量关

15、系所形成的方程。明白了吗？真好师：好，刚才我们已经认识了方程，下面如果让你们找一找方程。行不行？老师这儿给大家带来了 8 个式子，那这 8 个式子当中哪些是方程呢？哪些不是呢？想试试吗？ （想）一起来看啊师：可是很遗憾的是，一不小心啊，有两个式子上面被滴了一滴墨水，现在有点儿看不大清楚了，至于说那墨水的背后到底是已知数还是未知数张老师已经记不得了。孩子们，这 8 道式子里有方程吗？（有）师：俩问题，一、哪几个是方程，哪几个不是。二、为什么他们不是方程。好不好？还是老规矩，前后四个人商量商量，说说你的看法。（学生讨论）师：好了，这样，把最有把握的说出来，好不好？来，从前往后，几号是方程？（1 号

16、）然后呢？（ 4 号）然后呢？（ 5 号）还有？也就是 7 号有争议，有争议就先放下来，师：未知数和已知数都没有建立等量关系，没有等量关系能算方程吗？谁有争议？7 号有争议？为什么7 号有争议？生： 7 号如果把墨水揭开以后像2 号一样是一个整数的话这不是未知数的话，那么它就不是一个方程，那如果是X 或一个未知数的话它就是方程师：如果是一个未知数的话是有可能还是一定是方程？（一定）把掌声送给这位姑娘，分析问题非常的精辟。 8 号有争议吗？（没有） 8 号不是也有一个墨迹吗？说说什么原因？生：没有未知数师：要不要揭开看看？生；不要师：揭开来也没用，如果是一个未知数为什么也不行呢？生：没有等量关系

17、师：没有等量关系都不行吗？是不是？那现在谁能用一句话来说说什么是方程？说出来让我听听？生：在已知数与未知数之间建立等量关系师：建立的等量关系式我们就把它叫做方程？好了，既然是这样的话，那行，张老师给大家带来一些图，这些图都藏着等量关系式，你能根据隐藏的等量关系式列出方程吗？（能）有信心吗？（有）第一个，准备 举手就可以了生： X+50=100师：再自然不过了，左边X+50 ，右边100.等量关系有没有？（有）5 个同样的球，一起说 （ 6X=50 ）还 6X ，几 X ？（ 5X ）对，左边是5X ，右边是50，有没有建立等量关系？（有）真好！挑战一下好不好？非常简单，谁来？生： 80+X=2

18、00师： 80+X=200可以吗？（可以）倒过来，X+80=200 可以吗？ （可以） 这样似乎同样的问题可以留出不同的方程，对不对？想试试吗？这样行，张老师真的要出难题了，注意观察，线段图能列出方程吗？记住我们前面的约定，想不想在小组里试一试？我们来比一比，那个小组思路最开阔，根据不同的等量关系列出不同的方程，可不可以？来，三人小组，赶快！（学生讨论）师：可以了吗？（可以）师：我看到这一小组只有几个？（ 2 个）后来一商量几个？（ 4 个）了不起！谁来一口气都把它报出来，我就佩服你。生： X+350=800,350+X=800,800-350=X师：还有吗？好，他就找到这三个，别着急，我先把

19、这三个找出来，你们还有补充吗？生： 800-350=X师：找到没有，真好。 800-350=X ，都说附小的孩子厉害，就这一幅图找到了几个方程？生：四个师：别蒙我，光找方程不稀奇，这里的方程你根据什么等量关系列式的， 我就真佩服你，第一个。这边机会比较少，你来说生：我是根据少年宫到第二个竖线的，他走了 X 米师：也就是走了的米数生：然后加上剩下的米数，总共是800 米，它们加起来就是800 米师：可不可以？生：可以师：如果用规范的语言那等量关系式就是：用已走得米数+还剩的米数 =总共的米数，可不可以？生：可以师：真好！第二个谁来说说？生：还剩的米数+一走的米数 =800师：可不可以？一起来：

20、也就是还剩的米数 + 已走得米数 =总共的米数， 可不可以？（可以）真好！师：第三个，一起来。生：一共的米数 -已走得米数 =还剩的米数师：有列出了一个独特的方程，最后一个？生：用一共的米数-还剩的米数 =已走得米数师：你们说了四个等量关系，不是蒙的，那是正儿八经经过思考想出来的，不过我要考考你们，在四个方程中有一个方程通常不用的，你猜一猜是哪个方程？猜错了没有关系，说说你的想法生： 350+X=800师：觉得这个不太好？生： 800-X=350师：为什么是这个？生：换成第四个是比较好的师：真好生： 800-350=X 最合适。师：为什么呀？生：我们通常不求未知数的，求已知数的。师：它们就有矛

21、盾了， 一个说是求已知的数，一个说是求未知数的，有意思生：方程是未知数和已知数的等量关系，而第四个是已知数与已知数的等量关系师：哎，有点感觉了，据我了解，很多同学觉得有一个方程学生认为特好，四号，你会觉得方程特舒服，这个方程算起来好简单，但是我站在这个小伙子这边告诉你，你们觉得很好的方程是我们不常用的方程，你们感觉不太好的方程恰恰是我们数学上的好方程，你觉得心理上能接受吗？生：能！师：我还担心你不能接受呢，坦率的说，我在小时候特不能接受，好端端的一个方程你非得说它不行，不过不适应没关系，当我们从计算进入到方程领域时我们会遇到新的规则，许多新的思考方式， 今天不适应没关系，随着方程的学习，相信同

22、学们能适应的，有信心吗？生：有，能适应！师：同一问题，我们能列出不同的方程，有一个方程不太好先藏起来。那么，倒过来，不同的问题有没有可能列出相同的方程？有没有可能？（有可能）想试试吗？这个小伙子特别严谨，说有可能，好！我们来看，准备好，看谁最先列出这个方程，预备生： 4X=320师：并列第一名，确认（确认） ，再来生： 4X=320师：第三 孩子们已经充满期待生： 4X=320师；三个方程一出， 大伙儿都笑了， 为什么？生：都一样的师：这三个问题一样吗？（不一样）第一个卖书包，第二个开汽车，第三个比藏书，三个不同的问题列出一样的方程，这是一个有挑战性的问题，同桌互相商量一下（学生讨论）师：为什么？生：把 320 分成 4 个等量的，我们不知道而已师：从一个不同的地方讲到骨子里的不同，了不起生 1：数据一样生 2：方程