典型极坐标参数方程练习题带答案

1、精品文档极坐标参数方程练习题1.在直角坐标系xOy中，直线C： x= 2,圆G： (x1)2+(y2)2= 1,以坐标原点为 极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C, G的极坐标方程； 九 . _ (2)若直线G的极坐标方程为 不彳(pC R),设G与C3的交点为M N,求AGIMN的面积.解：(1)因为x=os 8 , y= (Bin 0 ,所以G的极坐标方程为pcos 8 = 2, G的极坐标方程为 p 2 fcos 0 4 psin 8+4 = 0.(2)将 8=十代入 p-2p cos 84 psin 8+4=0,得 p-32 p +4 = 0,解得 产 2啦,2 =也.故。

2、一偿=啦，即|MN = .1由于G的半径为1,所以GMN勺面积为2.4. (2014辽宁，23, 10分，中)将圆x2 + y2= 1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标 变为原来的2倍，得曲线C.(1)写出C的参数方程；(2)设直线l : 2x + y 2 = 0与C的交点为R, B,以坐标原点为极点，x轴正半轴为 极轴建立极坐标系，求过线段 PR的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.x = x1,解：(1)设(Xi, y1)为圆上的点，经变换为C上点(x, y),依题意，得y = 2y1，y 2由 x1+ y1=1 得 x2+ 2 =1.2即曲线C的方程为x2+ 3=1.x = cos t .故

3、C的参数方程为y = 2sin t (t为参数).(2)由2x2+ 4=1，解得2x + y 2 = 0x= 0, y=2.11不妨设Pi（1 , 0）, P2（0, 2）,则线段PiP2的中点坐标为2, 1 ,所求直线斜率为k=,_11 _于是所求直线方程为y1 = 2 x万.化为极坐标方程，并整理得2 p cos 04 psin 8= -3,即 4sin 0 2cos 0 .（2）（2015吉林长春二模，23, 10分）在直角坐标系xOy中，以。为极点，x轴正半轴 一 九 ,为极轴建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程为（cos 0 -y =1, M N分别为曲线C与x 轴，y轴的交点.写出曲

4、线C的直角坐标方程，并求 M N的极坐标；设M N的中点为P,求直线OP的极坐标方程.【解析】（1）将2 pcos2 8 =sin 8两边同乘以p,得2（ pcos 8）2=in 8 ,化为直 角坐标方程为2x2= y,G: ©os 8=1化为直角坐标方程为x=1,联立可解得x= 1, y=2,11欢在下载所以曲线C与G交点的直角坐标为（1 , 2）.一一八九(2) : pcos 。 "3 = 1,P cos 0冗 cos十3冗psin0 - sin -3=1.x= pcos又y= psin12x+3力=1,即曲线C的直角坐标方程为x + Qy 2 = 0.令 y = 0,

5、贝U x = 2；令 x =0,则 y=2_33M2, 0), N0,2_33一.M的极坐标为(2, 0), N的极坐标为,.32M N连线的中点P的直角坐标为1,坐，3P的极角为4.6, ._ 冗直线OP的极坐标万程为 4(p R).注：极坐标下点的坐标表示不唯一.【点拨】解答题(1)的关键是掌握直角坐标化为极坐标的方法；题 先转化为直角坐标问题求解，再转化为极坐标.x = 4+5cos t,(2013课标I , 23, 10分)已知曲线C的参数方程为，(t为参数)，以y = 5+5sin t坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为p= 2sin 9 .(1)把C

6、的参数方程化为极坐标方程；(2)求C与C2交点的极坐标(p>0, 0< 9 <2tt ).一，x=4+5cos t , 八，一、一一.22【解析】将消去参数t,化为普通方程为(x4)2+(y 5)2=y=5+5sin t25,即 G： x2+y2 8x10y+16= 0.将 xpcos ",代入 x2+y2 8x10y+16 = 0,得y= psin 02p 8(cos 8 10 psin 8 +16=0.所以G的极坐标方程为p 8 pcos 0 10 psin 0 +16=0.(2) G的普通方程为x2+ y2 2y =0.联立G, G的方程x2+ y2-8x-1

7、0y+ 16=0,x2+ y22y = 0,解得x= 1, y=1x = 0, y=2. .-L 兀兀所以G与C2父点的极坐标分别为 也，彳，2,.【点拨】本题主要考查圆的参数方程、极坐标方程和标准方程以及圆与圆的位置关系，解题的关键是将参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程求解.(2012 辽宁，23, 10 分)在直角坐标系 xOy 中，圆 G： x2+y2=4,圆 G: (x 2)2+ y2(1)在以。为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C, G的极坐标方程， 并求出圆G, G的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆G与G的公共弦的参数方程.x= pcos 9,解：(1)由y=的

8、in 0 ,知圆G的极坐标方程为 -2,圆G的极坐标方程为 尸4cosx +y-P =2,一解八得-2,=4cos 0，,一 ，一 冗冗故圆G与圆G的父点坐标为2, , 2,-.注：极坐标系下点的表示不唯一.x (cos(2)万法一：由 .八 得圆C与G父点的直角坐标分别为(1，V3),(1 ,-73).故圆G与C2的公共弦的参数方程为x 1' (-V3<t<V3) y=t或参数方程写成x1'-/3<y<V3y=y,方法二：将x=1代入pcos得 fCOS1,从而吁.cos 0于是圆G与G的公共弦的参数方程为x= 1, y=tan5. (2015河北邯郸

9、二模，23, 10分)已知圆C的极坐标方程为 -2cos 8,直线l的参数方程为x=2+浜,1 1y=2+2t(t为参数)，点A的极坐标为¥，-4 ,设直线l与圆C交于点P, Q(1)写出圆C的直角坐标方程;(2)求| AP | AQ的化解：(1)因为圆C的极坐标方程为 尸2cos 0 ,2所以 p = 2 pcos 0 ,将其转化成直角坐标方程为x2+ y2 = 2x,即(x 1)2 + y2= 1.(2)由点A的极坐标 坐，上得直角坐标为A2，2 .将直线l的参数方程1 3x=2+亍匚1 1 y=2+2t(t为参数)代入圆C的直角坐标方程(x-1)2+ y20.23-11=1,得

10、 t - 42 t - =设t1, t2为方程t2告工一2=o的两个根，则th：1，1所以 |Ap | AQ = |t1t2| =2. x = t cos a ,2. (2015课标H , 23, 10分，中)在直角坐标系xOy中，曲线G：(ty = t sin a ,为参数,tw0),其中0& o九.在以。为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线G:尸 2sin 0 , G: p= 2H/3cos 0 .(1)求G与C3交点的直角坐标;(2)若C与G相交于点A, G与G相交于点B,求| AB|的最大值. 解：(1)曲线C2的直角坐标方程为x2 + y2 2y = 0,曲线C3的直角

11、坐标方程为x2 + y2 2小x = 0.解得x2+y22y=0, x2+y2 2 x = 0,3y=2.所以G与G交点的直角坐标为(0 , 0)和 坐，2 .(2)曲线G的极坐标方程为 上pC R, p W0),其中0W长冗.因此A的极坐标为(2sin a , a ) , B的极坐标为(2/COS a , a ).所以 |AB=|2sin a 2/cos a|，一 九=4 Sin a 435当a= V时，|AB取得最大值，最大值为4.C . 1x= 3+ 2t ,3. (2015陕西，23, 10分，易)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为y=32t(t为参数)，以原点为极点，x轴正半轴

12、为极轴建立极坐标系，OC的极坐标方程为p= 邓 sin 0 .(1)写出。C的直角坐标方程；(2)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标.解：(1)由-23sin 9 ,得p = 21/3 p sin 0 ,从而有 x2+ y2 = 243y,所以 x2+ (y ，3)2 = 3.(2)设 P3 + ；t,乌，又 C0 , p ,则 pc=y 3+1t 2+ 鼻 _木2=小4 12,故当t=0时，| PC取得最小值，此时，P点的直角坐标为(3, 0).5. (2014课标H, 23, 10分，中)在直线坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正 一.一 冗半轴为极轴建立极坐

13、标系，半圆 C的极坐标方程为 尸2cos 9 , 9 0,.(1)求C的参数方程；(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l : y=U3x + 2垂直，根据(1)中你得到的 参数方程，确定D的坐标.解：(1) C的普通方程为(x1)2+ y2= 1(0<y< 1).x= 1 + cos t .可得C的参数方程为'(t为参数，0&t 0九).y=sin t(2)设D(1 +cos t, sin t).由(1)知C是以G(1 , 0)为圆心，1为半径的上半圆.因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线GM l的斜率相同，tan t =«3, t =3. 冗九 一

14、 3 也故D的直角坐标为1 + cos y, sin "3，即2，".八 x 一， x = 2cos t , 一.7） (2013课标H , 23, 10分，中)已知动点P, Q都在曲线C：(t为参y = 2sin t数)上，对应参数分别为t= a与t =2好< 0<2兀)，M为PQ的中点.(1)求M的轨迹的参数方程；(2)将M到坐标原点的距离d表示为a的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点.解：(1)依题意有 P(2cos a, 2sin a), Q2cos 2 a , 2sin 2 a),因此 M(cos a + cos 2a, sin a +sin 2a).

15、M的轨迹的参数方程为X= cos a +cos 2 a , （a为参数，0<a <2冗）.y= sin a +sin 2 a8） ） M点到坐标原点的距离d >Jx2+ y2 = 12 + 2cos（0< o<2 冗）.x = 2 + t , y = 2 2t(t为参数).当a= tt时，d=0,故M的轨迹过坐标原点.22（2014课标I , 23, 10分）已知曲线C： 1 + （= 1.直线l : 4 9(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A,求|PA的最大值 与最小值.【思路导引

16、】(1)由基本关系式可消参求出普通方程；(2)把|PA用参数8来表示，从而求其最值.一，一 一、一一,x = 2cos 9 ,，.一【解析】(1)曲线C的参数方程为.八'(8为参数).y = 3sin 0直线l的普通方程为2x + y 6=0.(2)曲线C上任意一点P(2cos 9 , 3sin 8 )到l的距离为,5d=/|4cos 0 +3sin 0 -6|.则|PA=； 。 ="|5sin( 0+ a) - 6| ,其中 a为锐角，且 tan a =：.Sin 3053当sin( 8+ o) = 1时，| PA取得最大值，最大值为22/5. 5当sin( 8+ o) =

17、1时，| PA取得最小值，最小值为 今(2013辽宁，23, 10分)在直角坐标系xOy中，以。为极点，x轴正半轴为极轴建立 极坐标系.圆C,直线G的极坐标方程分别为p= 4sin 9 , p cos 9 -4 =2>叵(1)求C与G交点的极坐标；(2)设P为G的圆心，Q为G与G交点连线的中点，已知直线 PQ的参数方程为x=t3+ a,y=bt3+1(t R为参数)，求a, b的值.【解析】(1)圆G的直角坐标方程为x2+(y 2)2= 4, 直线G的直角坐标方程为x + y 4 = 0.22x+ (y-2) =4,Xi=0, X2 = 2,斛行x + y 4 = 0y1二4, y2=2

18、. 冗冗所以G与G交点的极坐标为4,万,272,.注：极坐标系下点的表示不唯一.(2)由(1)可得，P点与Q点的直角坐标分别为(0 , 2) , (1 , 3).故直线PQ的直角坐 标方程为x y + 2 = 0.由参数方程可得 y=2(x a) + 1 = 2x 1,所以b= 21,ab一 2 +1 = 2,解得 a= 1, b=2.【点拨】解答本题的关键是明确转化思想的运用，即把极坐标化为直角坐标，把参数方程化为普通方程求解问题.x = 2cos a .2011课标全国，23,10分)在直角坐标系xOy中，曲线。的参数方程为丫 = 2+2.(a为参数)，M是C上的动点，P点满足昆2OM P

19、点的轨迹为曲线G.(1)求G的方程；. 一. 兀.(2)在以。为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 4W与G的异于极点的 3交点为A,与G的异于极点的交点为B,求|AB|.解：(1)设 P(x, y),则由条件知M2, 2 .精品文档由于M点在G上，所以y2 = 2 + 2sin a ,X = 4cos a , 即 y = 4 + 4sin a .从而C2的参数方程为X=4C0S a , y= 4+ 4sin(2) G化为普通方程为x2+(y 2)2= 4,故曲线G的极坐标方程为p= 4sin 0 ,同理可得曲线G的极坐标方程为-8sin 9 .兀.射线8=与G的父点A的极径为3P i

20、 = 4sin =2击, 3兀. 、.射线 4刀与G的交点B的极径为3P 2 = 8sin "3"= 4#.所以 | AB| = | 促一。| = 2M3.5. (2014辽宁锦州一模，23, 10分)已知圆的极坐标方程为 p-4V2pcos( 9-4)+ 6 =0.(1)将极坐标方程化为普通方程;(2)若点P(x, y)在该圆上，求x + y的最大值和最小值.解：(1)原方程变形为 p-4pcos 84的in 8+6=0,化直角坐标方程为 x2+ y2-4x-4y + 6 = 0,即(x2)2+ (y 2)2=2.、一一.一、x = 2+V2cos a ,，.一 一 ，一，(2)设圆的参