广东省茂名市2020届高三第一次综合测试数学(理)试题(附答案)

1、数学试卷(理科)第5页(共6页)2020年茂名市高三级第一次综合测试数学试卷（理科）2020.本试卷分选择题和非选择题，共6页，23小题，全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1 .答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上.2 .选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3 .填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4 .选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑.答案写在 答题卡上对应的答

2、题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5 .考试结束后，请将答题卡上交.第一部分选择题（共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有旦 只有一项是符合题目要求的）1 .已知集合4 = xwZ卜2cx4,8 = 工,2-2工一30）的左、右焦点，点夕在双曲线C上，且线 段PF的中点坐标为（0, b则双曲线C的离心率为（）.A. 41B.百C. V5D. 28 .前进中学高二学生会体育部共有5人.现需从体育部派遣4人,分别担任拔河比赛活动中 的裁判、记录结果、核查人数、维持纪律四项工作，每个人只能担任其中一项工作，其中体 育部的张

3、三不能担任裁判工作，则共有 种派遣方法.A. 120B. 96C. 48D. 60（0,72）,则F列正确的为（）/（x）在0,-单调递减.n/U）的一条对称轴为* =人国)的周期为1.jr把函数f(X)的图像向左平移一个长度单位得到函数g(X)的解析式为6g(x) = V2 cos(2x+)6A.B.C.D.10.卜列函数图象中，函数=(aWZ)的图象不平壁的是()11 .已知4-行,。)、3(后,0)及抛物线方程为/=8()-1),点P在抛物线上，则使得AABP为直角三角形的点P个数为()A. 1个B.2个C3个D.4个12 .已知函数/(力卜/一产+ L(aER),若函数/ 有四个零点，

4、则。的取值范ix a in Xyx 1,围是().A. (-00,0)B. (c,+8)C. (4,+00)D. (4, e2)第二部分 非选择题(共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第1321题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置)x-y513 .已知实数满足2x + y-lN0 ,则z = 3x + y的最小值为. x+2y-2一一）图象上的一个动点，ex为曲线在点尸处的切线的4倾斜角，则当a取最小值时x的值为.16 .如图，网格纸上小正方形的边长为0.5,某多面体的

5、正视图、左视图、 俯视图为同一图形，粗实线画出如图所示，则该多面体外接球的体积 等于.三、解答题：共70分.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题， 每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考部分：共60分17 .（本小题满分12分）在MBC中,角A, 5, C所对的边分别为,已知6sinB + a（sim4sin5） = csinC.（I ）求角C的大小；（II ）求sin/+ sin8的取值范围.18 .（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，/小_L平 ABC.。是力的中点，BC=ACt AB2DC= 2/2 , AAi=4.（I

6、 ）求证：5G平面4C。；（II）求平面6CC|BI与平面AD所成锐 二面角的平面角的余弦值.19 .（本小题满分12分）当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进.高中联招对初三毕业学生进 行体育测试，是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施.某 地区2019年初中毕业生升学体育考试规定,考生必须参加立定跳远、掷实心球、1分钟跳绳三项测试，三项考试满分为50分，其中立定跳远15分，掷实心球15分，1分钟跳绳20 分.某学校在初三上期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了 100名学 生进行测试.得到如F频率分布直方图，且规定计分规则如下表：频率每分

7、钟跳绳个数165, 175)175, 185)185, 195)195, 205)205, 215)165 175 185 195 205 215 hf 分钟跳绳个数(I )现从样本的100名学生中，任意选取2人，求两人得分之和不大于33分的概率；(II )若该校初三年级所有学生的封蜩个数X服从正态分布N(出，。2),用样本数据的平均 值和方差估计总体的期望和方差(结果四舍五人到整数)，已知样本方差=77.8 (各组 数据用中点值代替).根据往年经验，该校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时 每人每分钟跳绳个数都有明显进步，假设明年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上 学期开始时个数增加10

8、个，利用现所得正态分布模型：(i )预估全年级恰好有1000名学生，正式测试时每分钟跳193个以上的人数.(结果四舍五 人到整数)(ii )若在该地区2020年所有初三毕业牛中任意诜取3人，记正式测试时每分钟跳202个以 上的人数为 ,求随机变量?的分布列和期望.附：若随机变量X服从正态分布M 1, a2),。= 反=9,则 pL-a%0时，若人为整数，且x + l(Z-x)/(x) + x + l,求左的最大值.21 .(本小题满分12分)在圆“2+72 =4上任取一点P,过点p作工轴的垂线段PD, D为垂足，当点P在圆上运动时，点M在线段PD上，且俞 =1万，点M的轨迹为曲线2(1)求曲线

9、G的方程；(H)过抛物线C2：/=的焦点F作直线/交抛物线于A, B两点，过F且与直线/垂 直的直线交曲线G于另一点C,求面积的最小值，以及取得最小值时直线/ 的方程.(二)选考部分：共10分 请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.22 .(本小题满分10分)(选修4-4：坐标系与参数方程)设“为椭圆G：竽+若=1上任意一点，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为p210pcos0 + 24 = 0, 8为C2上任意一点：(I )写出G参数方程和G普通方程;(II)求M

10、阴最大值和最小值.23 .(本小题满分10分)(选修4-5：不等式选讲)已知函数/a)=|2x2a|(acR),对VxsR, /(x)满足/(x) = /(2r).(I )求。的值；(II )若HxwR ,使不等式J/(x)-/(x+2R加?+加,求实数加的取值范值数学试卷(理科)第7页(共6页)绝密启用前试卷类型：A2020年茂名市高三级第一次综合测试数学试卷(理科)参考答案及评分标准、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)题号123456789101112答案DDBDCBCBACDC提示：1.【解析】B=xx22x_30 = (1,3) A = 1,0,1,2,3,AnB = 0

11、,1,2 D22ii -1， 2i2 .【解析】z= = _(i _1)=1i ,复数z=一 在复平面内对应坐标为1,-1 ,所以复i -1i -1i -1一 2i数z = 在复平面内对应的点在第四象限，故选 D. i -13.【解析】由$5= a3+16,得(aa)5 =a3 +16a3= 4a3 - a1= 2d = 3,.d =-2,2a2 +a6 =2 a4= 2 a3+)d =,1 琲以选 B.25.【解析】设等比数列an的公比为q ,所以S3 =a1+a2 + a3=7,即q +q-6= 0 ,所以-26_26q 2或 q = 3，当 q = 2 时，a3a5= a4=q = 64

12、，当 q = -3 时，a3,a5= a4=q= 729 ,故选C6.【解析】圆内接正二十四边形的边所对圆心角是誓 = 15、因此，单位圆内接正二十四边形的1一 一一一 一 一一一圆面积为 S24= 24M(/1父1 Msin15)上 12M0.2588=3.1056 女 3.11二1 2=冗，依题意S圆内24,所以冗=3.11故选B7 .【解析】 设(0, b)为点A(0, b),连接PF2,依题意AO为PF1F2的中位线，PF2/AO,即 PF2，x 轴且 |PF2|二2| AO|=2 b,所以点P的坐标为(c, 2b), P在双曲线C上c2a2-等=1 ,即枭=5 , .,.离心率为5

13、a43138 .【解析】若张三不被选中，则派遣方法有 4=24种；若张三被选中，则派遣方法C4c3 A3 =72种，则共派遣方法有 24+72=96 种.故选B .一二2 二9 .【解析】f （x） =sin（ox +中）+cos（cex + 中）=V2sin（8x +中+）由 T=冗，所以伯=240f（0）=72sin弓）=应眄5,则中二:，所以 f（x）=V2sin（2x+：）=A2cos2c. f（x） = &cos2xk ,k 所以k=0- 江的单调减区间满足2k二三2x 0 时，f(x)=e2, f(x)= (2 芯/，f(x)图象形如 B；当理正奇数白时候，f(x)是奇函数图象关于

14、原点轴对称且过原点，当的奇数时在第一象限f(x)= x0exx号由备函数的图象知 f(x)=x%| x |(ae Z)的图象不可能是 C11 .以AB为直径的圆与抛物线有两个交点，另外以A,B为直角为与抛物线分别有两个点，共4个，故选D.12 .【解析】当aw。时，f(x)=x- alnx在区间(1, + )上是单调递增函数，且，f(x)f(1)=1. 即x1时，f(x)没有零点，而x1时，f(x)=ax2- ax+1最多有两个零点，因此， a0 时，令 f(x)=0( x1),则 x- alnx=0 ,即 a=,设 g(x)= (x 1),则g (x)=, 二在区间(1, e)上g(x)v0

15、, g(x)单调递减，在区间(e, +川上g(x)0, g(x)单调递增，即g(x)在x=e处取得极小值也是最小值g(e)=e ,，y=a与y= g(x)最多有两个交点，即x- alnx=0最多有两个零点，且当 ae时，x-alnx=0( x 1)有两个零点， 又f(x)有四个零点，xwi时，f(x)= ax2- ax+1必有两个零点，所以 a满足= a2-4a0, 且对称轴x= -善4.综上a4时，f(x)有四个零点.故选C第II部分非选择题(共90分)二.填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共20分.13 .【解析】画出可行域，由图可知，可行域三个顶点分别为，A(2,-3), B(4,

16、1),C(0,1),当直线y = -3 x平移到点C( 0,1)时，z取到最小值为z = 30+1=12x+y-1 =14 .【解析】 依题意4ABC是等边三角形，C为BM白中点1,AB= AC=BC=CM=2 /ACM=120 0,在 AACM 易得 AM= 2而，所以 AMLBC= AM BCcos300=64115.【解析】y =4x+(x ),设P(x,y)为曲线上任一点，由导数的几何意义知曲线在4x 14P点处的切线的斜率为444k=tanc(=y =4x+= (4x+1) +-1 至 2j(4x+1)+1 = 3 (等号成立的条件为4x 14x 1.4x 14 rr 1当且仅当4x

17、+1=,即x=),结合正切函数的图象可知，当k取3时倾斜角最小，此时 x的4x 14值为1.416【解析】解析：该多面体为棱长为 2的正方体沿着各棱的中点截去8个角余下的部分，如图，其外接球的球心为正方体的中心O ,半径为点O到正方体棱中点A的距离，即R=OA= J2,所以该多面体外接球的体积为 VnfjrR3：82兀. 33.解答（本大题共5小题，每题12分共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 .（本小题满分12分）【答案】（I）. a解：（i）由正弦je理得：sinA = ，sinB2R2R,sinC 二2R又 bsinB a sinA -sinB =csinC.2,.2所

18、以b a(a-b) =c ,所以222a b -c = ab21分cosC 二222a b -c12ab4 ,分又因为0 C(kxlf (x)+x + 1得,x 1 . (k -x)(ex -1)故当x 0时，等价于, x 1k :二xex -1(x0)5 ,分令 g(x)=ex -1 +x，_xx x, xe _1 e (e - x - 2)贝u g (x)二厂一币 1 二一户一772 (e -1)(e -1)令 h(x) =ex -x -2 ,Q x 0,二 h (x) = ex 1 a 0 ,所以函数h(x) =exx-2在(0,)单调递增.7.分而h(1)0,所以h(x)在(0,)存在

19、唯一的零点,8分故g ( x)在(0, +8)存在唯一的零点，设此零点为 ，则aW(1,2).当 xW(0,)时，g(x)0, g(x)增函数；所以g(x)在(0,收)的最小值为g(),10分又由 g (a) =0，可得 e=3 +2 ,所以 g(a) =口 +1 w (2,3)11分故等价于kg(3),故整数k的最大值为2.12分【解析】(I )由f (x) =exm ,.3分1.x = x0, y =a y.即 x = x ,2分21.(本小题满分12分)1解：(1)设 M (x,y) , P(x, y),则由于 DM =3 DP,依题知:y。=2y而点 P(x, y)在圆 x2 +y2

20、=9上，故 x2 十(2y)2 =4x 2x 2得1 + y2=1 故曲线C的方程为 + y2=1法一:抛物线C2： y2 =8x的焦点为F (2,0), .份1.5分当直线l的斜率不存在时，|AB| = 2P=8,|CF |=4,Sbc =父4父8=16, 当直线l的斜率存在时，则 k =0,设A(x1,y1), B(x2,y2),2直线l的方程设为y = k(x2),代入C2 : y =8x,消去y得222 222k (x-2) =8x,即k x -(4k +8)x+4k =0则 x1 + x2 = 2一, x1x2 =4 6分k一 2 一，8k 8八，| AB |=x1 +x2 + p

21、=2- 7分k2入一t、，1,、x2CF的直线方程为：y =(x-2),代入人+ y2 =1消去y得k4,(k2 +4)x2 -16x +16-4k2 =0-： =256 -4(k2 4)(16 -4k2) =16k4 0_2xc 2 =16- 16 -4k-2, xc 2 =2k 4k 4|CF| =J(1+2)(xc+2)2-4xc 2.吩ABC面积:c1八 1Sabc =2|AB| |CF| = 28k2 8 1 k2 4k2. k2 122 -2=16 -2k2, k2 k2 4k2 4.9分.1阴f (4t2 -3)22 9 _-3_ 3.3令f二。，则t2=4,即t=2,当tu1,

22、2时，f。为减函数，当t=c2时，f(t)为增函3数，所以t=一时，AABC面积最小. .1分2,29. 5由1+m =得m=2时，MBC面积的最小值为 916, 425 B 5八此时直线l的方程为：x=-y + 2,gpx-y-2 = 0 . .1盼222 法二：抛物线C2：y =8x的焦点为F(2,0) , .4分过点F的直线l的方程设为：x = my+2,设A(x1, y1), B(x2, y2),x = my 22联立 2 2 得 y -8my _16 = 0.则 y1 + y2 = 8m, y1y2 = 16 , ：5分y =8x.| AB |= J1 +m95.八 由1+m =一得

23、m= 时，MBC面积的最小值为 9, yj(Yi+Y2)2-4y1y2 =8(1+m2)6分过F且与直线l垂直的直线设为：y = -m(x-2)y = -m(x - 2) 2222联立x22 得，(1 十4m )x 16m x + 16m -4 = 0,Xc 2 =16m21 4m27 y ”_2.7.分.2(4m -1)1 4m2.| CF |= 1 m2 | xC -xF |= -4-： 1m2 .8分1 4m22MBC 面积 SAbc =-| AB| -|CF |= mP M + m2 . .9分21 4m2,/、16t3.16(4t2 -9t2).10 分令 t=m(t 9，则 S&Bc=f f(t)=()22 9 _3. _ 3,_3、 一令f (t)=0,则t2 =1即t=2,当t = 1q时，f(t)为减函数，当tj)时，f(t)为增函数,3 所以t =一时，MBC面积最小 .11分25、,5.