《高等教育自学考试》《线性代数》09.01

1、全国2009年1月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案课程代码：04184、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20 分）x + y + z = 01 .线性方程组2x_5y_3z=10的解为（ A ）4x +8y +2z=4A . x=2,y=0, z = _2B . x = _2, y = 2,z=0x =1, y =0, z = 1C. x=0,y=2,z = -22.设矩阵A =，则矩阵A的伴随矩阵A二（D ）3-2.41 丿C.'34 I2 J'3-4 'I r2 1丿3.设A为5 4矩阵，若秩（A） =4，则秩（5AT）为（A . 2B . 3

2、C. 41110、1002、2-5-310 T0100824丿e01-24 .设A,B分别为m n和m k矩阵，向量组（I）是由A的列向 量构成的向量组，向量组（H）是由（A,B）的列向量构成的向量组，则必有（C ）A .若（I ）线性无关，则（H）线性无关B .若（I ）线性无关，则（H）线性相关C.若（H）线性无关，则（I）线性无关D .若（H）线性无关，则（I ）线性相关（I）是（H）的部分组，整体无关=部分无关.5. 设A为5阶方阵，若秩（a） =3，则齐次线性方程组 Ax"的基础解系中包含的解向量的个数是（A ）A . 2B . 3C. 4D. 5未知量个数n =5 , A

3、的秩r =3，基础解系包含n r=2个解向量.6. 设m n矩阵A的秩为n1 ,且, 2是齐次线性方程组 Ax=O的 两个不同的解，则Ax=O的通解为（）A . k i , k RB . k 2 , k R C . k2, k RD . k（ i - 2） , k RAx =0的基础解系包含1个解向量.1, 2是不同的解，1-'2是非零解，可以作为基础解系，通解丿为 k（1 - 2）, k 二 R .7 .对非齐次线性方程组AmnX=b ,设秩（A ） =r ,则（）A . r=m时，方程组Ax=b有解B . r=n时，方程组Ax =b有唯一解C. m=n时，方程组Ax =b有唯一解D

4、. r<n时，方程组Ax=b有无穷多解特征值为1二1 , '2 =2对于'1 =1 ,E'0-1-1-1、'0-1-1-1 '0-1-1-1T00-2-100-2-1000-200-2><000°A =,基础解系含r = m 时，r(A,b) =r(A)二m , Ax 二b 有解1 11 1、8.设矩阵A =0 20 01 13 1，则A的线性无关的特征向量的个数e 00 3 是(C)A .1B.2C. 3D. 41个解向量;对于'2 =2 ,E1-1-1-r-1-1-r00-1-1T00-1-100-1-1000-1

5、e00一1e000丿-A =,基础解系含1个解向量;'200<0-1100-1-100-1-1-10基础解系含1个解向量.9.设向量G=（4,-12-2）,则下列向量是单位向量的是（B ）1：C.1 aII：卜5 ,1 1II ： II 510.二次型 f（Xi,X2）=5x2 .3x2 的规范形是（ D ）2y1B . - y2 -ylC. - y2ylD . yl yl、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20 分）11. 3阶行列式3 131 0 02 2 53 13I 2 5 = =1 .1312 .设 A =(3,1,0),z2 1 B= _4 0，贝U AB =(

6、2,3).13 5 丿13 .设 A为 3 阶方阵，若 IAti = 2，则 H3A_-54_3TI -3A| = (-3)3| A|= -27| AT |二-27 2 = -54 .14 .已知 向量=(3,5,7,9) ,1 =(-1,5,2,0),如果： = ',则十,0,-5,-9).-(-1,5,2,0) -(3,5,7,9)=(以,0,-5,-9).a1a2a315 .设A=an an a23为3阶非奇异矩阵，则齐次线性方程组 炉 31a32a33 丿a 11 Xa2 X2813X3 0£21咅 +a22x2 +a23x3 =0 的解为 捲=X2 =X3 =0 .

7、©31X1 +332X2 +333X3 =0|AZ , Ax"只有零解.16.设非齐次线性方程组q o o 2 : rAx = b的增广矩阵为0 1012,0 0 2 4 : 6;则该方程组的通解为(1,2,3,0)tk(_2,1,_2,1)T .广 1002:1、(A,b)T010-19:22012-3丿Xi = 12x4x2 = 2 + x4X3=3 -2x4X4 =x4通解为 (123,0)T k(-2,1,-2,1)T .17 .已知3阶方阵A的特征值为1,-3,9，则_-13新卜即心士*®91.18 .已知向量。=(1,2,_1)与向量0 -(0,1,

8、y)正交，则y=_2C , ：) =0 ,2 -y =0 , y =2 .19.二次型 f (X1,X2,X3,X4)3x； 2x| -x4 的正惯性指数为320 .若 f (x1, x2, x3x-|2 4x| 4xf 2 x1 x -2x1 x3 4x2 x3 为正定二次型，则的取值应满足-2 ： 一：1 .1k-1、42D1=1 >0；D2-124丿1&-11-142=0.n 24九+2-1240九+231A =('2)( 2 -，)D3=4 - 2-C 2)( -2) 0 ,"2"23= -4（九+2）（人 一1） >0 ,<

9、9;（九+2）（人 _2） v0 工九+2）（人一1） <0R*221.厂2 “v1三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）解:22.计算行列式53333533335333355333353333533335111111113533335333351000320030203002=118=88110 “12、0-11,B =01e01/2I1°AX求矩阵110100"q10100"10100 '0-11010T0-11010T0-1001-21°01/200b01002>1°01002 J（A.E）0011-2、广

10、 10011-2、广11-2、T0-1001-2T0100-12,=0-12e01002 >e01002>1°02-22221223.设矩阵3 5 8 "'1 0 2 1"2 4 0,B =0 2 5 92 0 1>2 0 3 00A =,求矩阵AB的秩.解：|A|二= 2=0 , A可逆，而B的秩为3,所以AB的秩为3.24.求向量组=(1,4,3,-2),= (2,5,4, -1),=(3,9,7,-3)的秩.解:-2-1一3广104-3-33-2-2-233 >4-303-20-23°的秩为2.x125.求齐次线性方

11、程组=0x1 2x2 ' 4x3 - 4x4 =0的一个基础解系.2x1 3x2 5x3 5x4 = 0x2X3X4解：A1111、1111、1111、10-22、1244T0133T0133T0133355丿e133<0000<0000Xr = 2x3 +2x4A '(2严_ 3x3 3x4，基础解系为冷=-3> 2-3X3 =X310卜4 =X4<0丿J丿26 .设矩阵a =,求可逆矩阵使PAP为对角矩阵.解：A的特征多项式为I 'E -A|二 -100乂一 1)-2-11-22 .=C -1) (' -3),特征值为1 = '

12、;2 =1 , *3 .对于1二'2=1，解齐次方程组（'EA）x=O :0 0 00 11、X =X1£广0、入E A =0 -1 -1T0 0 0,X2 = -X3，取 P1 =0,p2 =-1e -1 -b1° 0 °=X30J对于3=3，解齐次方程组（E_A）x=O : 00'100Xi = 0九E _A=:01-1T0 1 -1,<X2 =X3，取 P3 =1e -11丿e 0 0凶=X310 0 %0 0"令P =0-1 1,则p是可逆矩阵，使pjlap =01 0e1 b00 3 J四、证明题（本大题共 1小题，6分）27.设向量组1，2, >3 线性无关，U1 *2，- 2 “2 *3，- 33 *1， 证明：向量组23线性无关.证：设 k1 k2 :2 - k3 ：3 =0，即k1(：1 ： 2) k2(： 2 叱