国债零息票收益率曲线构造实证研究

1、国债零息票收益率曲线构造实证研究    摘要：以上海证券交易所的国债交易数据为依据，分别采用推广的息票剥离法和样条函数法构造了我国国债的零息票收益率曲线，分析国内国债利率期限结构。经实证研究，得出如下结论：上述两种方法的结果具有较高的一致性，收益率曲线均呈现向上倾斜的趋势。特色主要体现在两个方面，一是在推广的息票剥离法中，推广了传统息票剥离法的基准年的概念，并且在对未知国债零息票收益率的估计时采用了分段线性插值的方法来降低误差；二是在样条函数法中，根据我国国债的特点合理的设置了贴现函数和分段节点，使实证结果能够更好的体现我国国债零息票收益率的特性。关键词

2、：零息票收益率；收益率曲线；息票剥离；样条函数中图分类号：F83 文献标识码：A 文章编号：1672-3198（2011）18-0012-04基金项目：国家自然科学基金“基于数据挖掘的货币市场与资本市场联接途径研究”（70971079）；山东省软科学项目（2010RKGA1068）。作者简介：杜浩铭（1985-），男，山东烟台人，山东科技大学金融工程研究所研究生，研究方向：金融数学与管理；高自友（1963-），男，安徽人，现为北京交通大学教授，博士生导师、交通运输学院学术委员会主任,兼任中国交通运输系统工程学会副理事长，中国管理现代化研究会常务理事，俄罗斯科学院外籍院士等，研究方向：城市交通网

3、络设计理论与方法、交通流模型及网络的复杂性研究、现代物流与交通运输系统；王向荣（1966-），男，山东莒县人，山东科技大学信息科学与工程学院副院长、金融工程研究所所长，博士生导师，研究方向：金融数学、金融工程与风险管理方面的教学与科研。1 引言零息票收益率曲线是描述无风险零息票债券的到期收益率与到期期限关系的曲线。它在金融市场中具有重要的基础性作用，是债券定价以及利率依赖型金融产品定价的基础，是利率风险管理、汇率风险管理、投资分析的重要工具，也是政府和企业发行债券的重要参考依据。市场上的债券多是附息债券而非零息票债券，如何通过附息债券来构造零息票收益率曲线是我们关注的重要问题。西方学者主要从动

4、态分析和静态分析两方面对此问题进行了研究。动态分析法主要是针对利率的随机性质，通过一系列严格的假设，建立随机模型；而静态分析主要是采用数理的方法，通过观察交易市场债券的价格，来拟合债券的零息票收益率曲线。本文主要采用静态分析法来构造我国国债的零息票收益率曲线。对于静态分析法的研究，McCulloCh首次采用二次样条函数，通过假设贴现函数的形式对债券的收益率曲线进行了拟合，后来又在中采用三次样条函数进行了改进，保证了整个收益率曲线的二阶连续性。随后，Carleton和Cooper，Vasicek和Fong以及Nelson和Siegel等对曲线拟合法进行了进一步的深化。当前我国金融市场还处于逐步完

5、善的进程之中，国家管理部门对利率市场的管制较为严格，同时，我国债券市场起步较晚，在证券交易所交易的绝大多数为付息债券，其种类和到期期限比较单一，与此对应的是，国内对于零息票收益率曲线的研究文献较少，不多的研究也往往利用国外已有的模型，与我国的实际情况和需要还有一定的差距，并体现出很大的局限性。已取得的成果有赵宇龄在定性比较分析了几种国债收益率曲线估计方法的基础上，认为Nelson-Siegel模型最适合我国国债市场的现状。朱世武、陈建恒采用多项式样条和Nelson Siegel模型对中国国债利率期限结构进行了实证研究，并对比分析了实证结果。王晓芳等采用三次多项式样条函数构造了我国国债的收益率曲

6、线。闵晓平、田澎采用B样条函数估计了上交所的利率期限结构。本文则是根据我国国债市场的特点，分别采用推广的息票剥离法和三次样条函数法对我国国债的收益率曲线进行拟合构造，并把实证结果进行比较分析。在两种方法中分别运用了分段插值的技术和合理的节点设置，这能够较好地刻画国债收益率曲线的特性。2 模型介绍2.1 推广的息票剥离法按照债券时间匹配，息票债券可以看成一系列不同期限的零息债券的组合，这些零息债券分别对应着附息债券不同到期期限的利息和最终给付的本金。息票剥离法便是将息票从债券中进行剥离并在此基础上估计零息票债券利率水平的一种方法。具体地，我们先要通过市场上的零息票债券，获得一定年内的零息票收益率

7、，然后按照债券定价公式Pni1（P是债券的全价，ti是剩余期限，Ci和ti是对应于相应剩余期限的现金流和零息票收益率），确定其它一系列年份的零息票收益率，进而构造出整个零息票收益率曲线。但是由于我国发行的国债基本都是附息债券，无法获得零息票债券的收益率，并且我国国债品种单一、剩余期限差异较大、分布不均，这都使得息票剥离法在我国的应用面临较大的限制。因此，必须对此方法进行修正和推广。我们可以把要在一年内到期、且在到期之前不再付息的债券近似为零息票债券。然后，利用这些零息票债券采用插值技术，构造出一年以内任一时点的零息票收益率。如果已知2支或者2支以上零息票债券的收益率，则用公式RyRx+Rz（1

8、）（其中x，y，z是对应期限，Rx、Ry、Rz是对应于到期期限x，y，z的零息票收益率）就可以求出整个一年内零息票债券的收益率。在此基础上，对于1年以上到期期限的债券，可用如下的推广的息票剥离法推导。以某1-2年到期期限的债券为例，设t为现在距离下一个邻近付息日的时间，rt为到期期限为的零息票债券的收益率（可用公式（1）求出），rT是期限为T的零息票债券的收益率，并设该债券的息票利率是C，付息方式是每年付息一次。用公式PC/（1+rt）t+（C+100）/（1+rT）T（2）就能推出期限为T的零息票债券的收益率rT。对于其他更长期限的零息票收益率可以用类似的方法得到。兼顾我国发行债券的期限以及

9、区间内的债券数量等综合考虑，为了减少误差，在进行插值时，我们把整个剩余期限分为5个区间，分别是0-1年，1-3年，3-7年，7-10年，10-20年。在用插值法求解未知的零息票率rt时，优先选取区间内邻近的数据。另外，推广的息票剥离法隐藏着这样的假定：当剩余期限长的债券的利率高于剩余期限短的债券的利率时，线性插值法所求的利率表明人们对利率的预期是逐步上升的；反之则是逐步下降的。而且，我们的到期期限推广为市场上交易的国债的剩余期限。2.2 样条函数法样条函数法主要通过假设一个贴现函数，将不同时期的息票和本金贴现到当前，再通过这些贴现总值和目前债券价格的拟合对贴现函数进行估计，最后得出不同期限的利

10、率水平。由债券的定价公式Pni1C/（1+ri）i+M/（1+rn）n（3）其中C是每期支付的息票利率，M是债券的面值，ri（i1，2，n）是每一付息期对应的零息票利率。根据威尔斯特拉斯定理，设贴现函数为B（t）a0+a1t+a2t2+a3t3这样的形式的分段函数，其中t为剩余期限。具体地，我们假定所选取的债券在某一时刻的市场价格为Pj（j1，2，n）；贴现函数为B（t）f（t，），t是剩余期限，是参数向量；所选取的债券j在未来时刻的现金流为Cj。则息票债券理论价格的表达式为PjCjf（t，）（4）通过最优决策过程minnj1（Pj-Pj）2，估计出，从而得到贴现函数。再利用公式R（t）-ln

11、（B（t）/t（5）就可推导出零息票收益率函数。根据上述原理，可假设具体的贴现函数为：B（t）B0（t）d0+c0t+b0t2+a0t3，t0，t1B1（t）d1+c1t+b1t2+a1t3，tt1，t2Bi（t）di+cit+bit2+ait3，tti，tj（6）为了保证相对于时间轴的平滑性和连续性，贴现函数必须满足以下约束条件:Bi（ti）Bi+1（ti）B'i（ti）B'i+1（ti）B''i（ti）B''i+1（ti）即初始时刻，现金流贴现值等于其本身，区间分界点处，两段贴现函数求出的数值相等。B0（0）1，表示即期贴现率等于1。于是，公

12、式（6）可以化简为B（t）B0（t）1+c0t+b0t2+a0t3，tt1，t2B1（t）1+c0t+b0t2+a0t3-（t-t2）3+a1（t-t2）3，tt2，t3Bi（t）1+c0t+b0t2+a0t3-（t-t2）3+ai（t-ti）3，tti，tj（7）这样，由于参数减少了而大大减小了运算量。分段拟合贴现函数形式一旦先验性的给出，所选债券的理论价格就可由公式PC*B（t）（8）PP+E（9）求出。其中C*是未来时刻得到的现金流，P是理论价格，P是实际价格，满足E（j）0，Var（j）2j，对于所有的i，jn，cov（i，j）0。3 实证研究3.1 数据选取原则上我们可选取任何一个交

13、易日的国债数据来构造国债的零息票收益率曲线。并且由于上海证券交易所的国债交易频繁、交易量比较大，本文选取上海证券交易所2010年7月23日的国债交易数据。当日，在上海证券交易所进行交易的国债共有37支。在选取数据时，考虑到价格的真实可靠性，我们剔除在近一个月内基本没有交易，资金流动性差的国债，剩余20支国债，如下表1所示：表1 2010年7月23日国债交易数据表3.2 推广的息票剥离法的实证结果针对1.1中提到的方法，分别计算出20支国债相对应剩余期限的零息票收益率，运用MATLAB做出折线图。从图1看出，05国债05的零息票收益率与其他国债的零息票收益率偏差较大，这主要是因为它在7月22日、

14、23日均没有进行交易，流动性不佳，价格不合理。另外，从折线图的总趋势来看，04年发行的几支国债的利率水平较低，可能是受到了我国利率市场化改革的影响。折线图能够明了直观地反应各收益率的特征，但平滑性不足。3.3 样条函数法的实证结果基于1.2的样条函数模型，我们首先选取样条函数的分段区间，将样本数据分为0-1年，1-5年，5-10年，10-20年四段。分段区间的选择中，短期的间隔比较小，长年期的间隔比较大，这是符合投资人利率边际敏感性递减特征的，即投资人对距今较近各年的利率变化比较关切，而对较远的利率每年的变化则不是那么敏感。而且1年为货币市场与资本市场的分界，我国发行的国债年限一般为5年，7年

15、，10年，20年，结合要使区间内的债券数目基本相同的要求，4段划分是合理的。这样，我们得到的具体模型是B（t）B0（t）d0+c0t+b0t2+a0t3，t0，t1B1（t）d1+c1t+b1t2+a1t3，t1，5B5（t）d5+c5t+b5t2+a5t3，t5，10B10（t）d10+c10t+b10t2+a10t3，t10，20运用约束条件，把上式化简为B（t）B0（t）1+c0t+b0t2+a0t3，t0，1B1（t）1+c0t+b0t2+a0t3-（t-1）3+1（t-1）3，t1，5B5（t）1+c0t+b0t2+a0t3-（t-1）3+a1（t-1）3-（t-5）3+a2（t-5

16、）3，t5，10B10（t）1+c0t+b0t2+a0t3-（t-1）3+a1（t-1）3-（t-5）3+a2（t-5）3-（t-10）3+a3（t-Z10）3，t10，20t我们仍然选取上海证券交易所7月23日的国债数据，用Eviews软件，对国债的市场价格与理论价格进行最小二乘回归，得到如下数据：通过上述结果，我们看到样条函数法构造的曲线比较平滑，而且与息票剥离法存在着相似的趋势和结构特征。表2 国债的市场价格与理论价格最小二乘回归实证结果表由上表可知c0-0.012898，b0 -0.008324，a00.002629，a1 -6.85E-05，a2 9.20E-05 a30.00010

17、7。将这些数据代入方程，我们用MATLAB作图如下：4 结果对比分析与结论我们将息票剥离法和样条函数法构造的收益率曲线，绘在一张图上进行对比分析。结果如下：图中的圆点是推广的息票剥离法构造的国债收益率散点，曲线是样条函数法构造的收益率曲线，不难发现这两种方法相互间的拟合效果较好。运用息票剥离法和样条函数法对国债市场利率期限结构进行估计各有优缺点。息票剥离法简便易行，但线性插 值出的利率期限结构曲线不够平滑，收益曲线规律性并不十分明显。而运用三次样条函数方法虽然解决了上述息票剥离法的缺陷，但该方法一般比较复杂，而且实证的结果不容易检验。所以，我们在实际问题中可以结合这两种方法一起研究，更好地分析

18、国债的收益率结构，进一步帮助我们进行投资决策分析。通过本文的实证分析可以看到，无论采用息票剥离法还是样条函数法估计的国债利率期限结构都有明显的向上倾斜的趋势特征，表明短期利率低于长期利率。这是因为长期债券的持有需要更高的风险溢价补偿。同样，预期理论和市场分离理论也都能很好地解释这种特征。另外，尽管文中给出的两种方法得到了较为相似的收益率曲线走势，但在具体数据上仍存在一定偏差，这可能是我国国债品种单一，流动性存在较大差异，以及数据处理存在误差等原因所致。当前，为满足利率市场化的要求，政府应该出台多种强有力的措施，丰富国债品种，改善期限结构的失衡，促进二级市场上产生相对稳定可靠的国债收益率曲线，以

19、便建立更为有效的金融市场。参考文献1McCullDoch J H.Measuring the term structure of interest ratesJ.Journal of Business，1971，44:19-31.2McCulloch J H. The tax-adjusted yield curve J.Journal of Finance，1975，30:811-830.3Carleton W T，Cooper I A.Estimation and uses of the term structure of interest rates.Journal of Finance，1976，31: 1067-1083.4Vasicek，Old Rick A，Gifford Fong H.Term structure modeling using ex