数学物理方法

1、院 系：航天与建筑工程学院专 业：飞行器设计与工程学 号：2012111111姓 名：刘智侃热方程的解的仿真研究第一章 绪论1.1 热传导方程的研究背景及意义 简单地说，热传导方程就是一个描述在一定区域内温度随时间变化，在三维有热源的热传导方程为： 其中，f为非齐次项,F为热源强度。若物体为均匀且各项同性，则 均为常熟。很明显，热传导方程中的温度u是时间t与空间变量x,y,z的函数.其中一阶导数是温度随时间的变化，f决定于材料的热传率、密度与热容。如果考虑的介质不是整个空间，则为了得到方程唯一解，必须指定 u 的边界条件。如果介质是整个空间，为了得到唯一性，必须假定解的增长速度有个指数型的上界

2、，此假定吻合实验结果。现在我们来看一看这个偏微分方程，我们可以发现在某些情况下当给定初始条件和边界条件时，运用相关的数学知识我们可以给出其解析解，但是在很多情况下我们不能给出其解析解，这就必须求解其数值解。而所求的数值解必须满足一定的求解精度要求。我们通过比较一下二者区别就很容易发现，在实际工程运用中解析解往往不能给出比较直观的现象。而数值解只要其求解精度在合理范围之内则可以大规模的运用于实践中。所以本文利用MATLAB软件中的PDE Tool工具包求解方程的数值解然后绘制其解的3D图以及在不同源项下不同位置，不同时间的解的变化。1.2 本文所做的工作 本文首先研究在一长为1的均匀细杆，其侧表

3、面绝热，与周围进行热交换的只有两端：x=0,x=1,的热传导方程的混合问题的初边界问题。然后重点研究在一维不同热源情况下的解的变化规律，一维情况下其热传导方程为： 0<x<1为了研究问题的方便，我们取a=1.式子右边的函数f就是我们要研究的对象，我们将探讨在f为不同情况下的解的变化规律。为了研究分析的方便，本文采用了控制变量法。第2章 当初值与X成线性关系时解的分布规律2.1 问题描述 本文研究的是一长为1的均匀细杆，其侧表面绝热，与周围进行热交换的只有两端：x=0,x=1,的热传导方程的混合问题的初边界问题。相应的方程及其初边值条件： 0<x<1;t>=0U(x

4、,0)=kxU(0,t)=0,U(1,t)=k；2.2 仿真结果及分析2.2.1 解的3D图像2.2.1.1 t=1时刻解的分布规律 K=1时解的3D图像 K=-1时解的3D图像 K=5时解的3D图像 K=-5时解的3D图像 K=10时解的3D图像 K=-10时解的3D图像 K=20时解的3D图像 K=-20时解的3D图像 2.2.1.2 t=6时刻解的分布规律 K=1时解的3D图像 K=-1时解的3D图像 K=5时解的3D图像 K=-5时解的3D图像 K=10时解的3D图像 K=-10时解的3D图像 K=20时解的3D图像 K=-20时解的3D图像 2.2.1.3 t=10时刻解的分布规律

5、K=1时解的3D图像 K=-1时解的3D图像 K=5时解的3D图像 K=-5时解的3D图像 K=10时解的3D图像 K=-10时解的3D图像 K=20时解的3D图像 K=-20时解的3D图像2.2.2 结果分析从图中我们可以看出，当初值条件与x成线性关系时不同的初值对解的影响也是不同的。在t=10s时温度沿着杆的方向是逐渐降低的，直至接近于0.但是我们却发现当t=6，k=20时解的分布却与我们预期的不同，甚至是方向相反。具体原因还不得而知，希望有人能给出合理的解释。并且我们可以发现，无论在哪一个时刻当初值互为相反数时解的图像似乎是对称的。2.2.3 本章小结 通过本章的仿真分析，我们发现由于初

6、始的温度是线性分布的，所以随着k的增大各个点处的温度也随之增大。而且在不同时刻点的分布规律基本一致，只是大小不同而已。第3章 当初值与X成二次分布关系时解的分布规律3.1 问题描述 本文研究的是一长为1的均匀细杆，其侧表面绝热，与周围进行热交换的只有两端：x=0,x=1,的热传导方程的混合问题的初边界问题。相应的方程及其初边值条件： 0<x<1;t>=0U(x,0)=k*x*(1-x)；U(0,t)=0,U(1,t)=0；3.2 仿真结果及分析3.2.1 解的3D图像3.2.1.1 t=1时刻解的分布规律 K=1 时解的3D图像 K=-1时解的3D图像 K=5时解的3D图像

7、K=-5时解的3D图像 K=10时解的3D图像 K=-10时解的3D图像 K=100时解的3D图像 K=-100时解的3D图像3.2.1.2 t=6s时的解的分布规律 K=1时解的3D图像 K=-1时解的3D图像 K=5时解的3D图像 K=-5时解的3D图像 K=10时解的3D图像 K=-10时解的3D图像 K=100时解的3D图像 K=-100时解的3D图像 3.2.1.3 t= 10s时解的分布规律 K=1时解的3D图像 K=-1时解的3D图像 K=5时解的3D图像 K=-5时解的3D图像 K=8时解的3D图像 K=-8时解的3D图像 K=10时解的3D图像 K=-10时解的3D图像 K=

8、100时解的3D图像 K=-100时解的3D图像 3.2.2 结果分析从图中我们可以看出，当初值条件与x的二次分布有关时，温度的分布成抛物线型分布，而且随着k的增大温度的最大值也越大。但是我们发现在k=5,t=10时，温度的分布却与之前的分布趋势不一致。所以在t=10s与t=5s之间加了个t=8s发现8s时的分布规律与10s保持一致。目前还不清楚造成5s时的温度方向相反的具体原因。3.2.3 本章小结 本章讨论了当初值条件是x的二次分布时的不同时刻的解的分布规律，并且得到了一些简单的规律。第4章 当初值与X成正弦关系时解的分布规律4.1 问题描述 本文研究的是一长为1的均匀细杆，其侧表面绝热，

9、与周围进行热交换的只有两端：x=0,x=1,的热传导方程的混合问题的初边界问题。相应的方程及其初边值条件： 0<x<1; t>=0U(x,0)=sin(k*2*pi*x)U(0,t)=0,U(1,t)=0；4.2 仿真结果及分析4.2.1 解的3D图像4.2.1.1 t=1时刻解的分布规律 K=1时解的3D图像 K=-1时解的3D图像 K=5时解的3D图像 K=-5时解的3D图像 K=10时解的3D图像 K=-10时解的3D图像 K=100时解的3D图像 K=-100时解的3D图像 4.2.1.2 t=6s时解的分布规律 K=1时解的3D图像 K=-1时解的3D图像 K=5时

10、解的3D图像 K=-5时解的3D图像 K=10时解的3D图像 K=-10时解的3D图像 K=100时解的3D图像 K=-100时解的3D图像 4.2.1.3 t=10s时解的分布规律 K=1时解的3D图像 K=-1时解的3D图像 K=10时解的3D图像 K=-10时解的3D图像 K=20时解的3D图像 K=-20时解的3D图像 K=200时解的3D图像 K=-200时解的3D图像 4.2.2 结果分析从图中我们可以看出，当初值条件与x的正弦分布有关时，温度的分布成正弦分布，而且随着k的增大温度的最大值也越大。但是我们发现在t=6s，k=10时,解的分布与之前的分布规律相反。这应该是随着时间的推

11、进温度的传递造成的结果。t=10s时也出现了类似的结果，只不过在k=5时就已经出现了。4.2.3 本章小结 本章讨论了当初值条件是x的正弦分布时的不同时刻的解的分布规律，并且得到了一些简单的规律。第5章 当初值与X成指数关系时解的分布规律5.1 问题描述 本文研究的是一长为1的均匀细杆，其侧表面绝热，与周围进行热交换的只有两端：x=0,x=1,的热传导方程的混合问题的初边界问题。相应的方程及其初边值条件： 0<x<1; t>=0U(x,0)=;U(0,t)=0,U(1,t)=0；5.2 仿真结果及分析5.2.1 解的3D图像5.2.1.1 t=1时刻解的分布规律 K=5时解的

12、3D图像 K=10时解的3D图像 K=15时解的3D图像 K=20时解的3D图像 K=25时解的3D图像 K=50时解的3D图像 K=75时解的3D图像 K=100时解的3D图像 5.2.1.2 t=5时刻解的分布规律 K=5时解的3D图像 K=10时解的3D图像 K=15时解的3D图像 K=20时解的3D图像 K=25时解的3D图像 K=50时解的3D图像 K=75时解的3D图像 K=100时解的3D图像 5.2.1.3 t=10时刻解的分布规律 K=5时解的3D图像 K=10时解的3D图像 K=15时解的3D图像 K=20时解的3D图像 K=25时解的3D图像 K=50时解的3D图像 K=

13、75时解的3D图像 K=100时解的3D图像5.2.1.3 t=20时刻解的分布规律 K=5时解的3D图像 K=10时解的3D图像 K=15时解的3D图像 K=20时解的3D图像 K=25时解的3D图像 K=50时解的3D图像 K=75时解的3D图像 K=100时解的3D图像 5.2.2 结果分析从图中我们可以看出，当初值条件与x的指数分布有关时，温度的分布成抛物线型分布，而且随着k的变化，函数的最大值也会随之变化。但我们依然可以很清晰的看见最大值的绝对值一直在中点位置处。5.2.3 本章小结 本章讨论了当初值条件是x的指数分布时的不同时刻的解的分布规律，并且得到了一些简单的规律。第6章 非齐

14、次项为常数时解的分布规律6.1 问题描述 本文研究的是一长为1的均匀细杆，其侧表面绝热，与周围进行热交换的只有两端：x=0,x=1,的热传导方程的混合问题的初边界问题。由于非齐次项实际上就是热源，所以这一章我们可以研究细杆的吸放热情况。相应的方程及其初边值条件： 0<x<1;t>=0U(x,0)=0；U(0,t)=0,U(1,t)=0；6.2 仿真结果及分析6.2.1 解的3D图像6.2.1.1 t=1时刻解的分布规律 K=1时的解的分布 k=-1时解的分布 K=10时解的分布 K=-10时解的分布 K=20时解的分布 K=-20时解的分布 K=50时解的分布 K=-50时解

15、的分布 K=100时解的分布 K=-100时解的分布 6.2.1.2 t=5时刻解的分布规律 K=1时解的分布 K=-1时解的分布 K=10时解的分布 K=-10时解的分布 K=20时解的分布 K=-20时解的分布 K=50时解的分布 K=-50时解的分布 K=100时解的分布 K=-100时解的分布6.2.1.3 t=10时刻解的分布规律 K=1时解的分布 K=-1时解的分布 K=10时解的分布 K=-10时解的分布 K=20时解的分布 K=-20时解的分布 K=50时解的分布 K=-50时解的分布 K=100时解的分布 K=-100时解的分布 6.2.1.4 t=20时刻解的分布规律 K=

16、1时解的分布 K=-1时解的分布 K=10时解的分布 K=-10时解的分布 K=20时解的分布 K=-20时解的分布 K=50时解的分布 K=-50时解的分布 K=100时解的分布 K=-100时解的分布 6.2.2 结果分析从图中我们可以看出，在同一时刻，当k>0时，沿着x轴温度的分布近似为抛物线分布，并且在中点位置处达到最大值。K>0也表明细杆是吸热的，温度升高，k值越大则温度的最大值越大。而且还发现在t=10s,以及t=20s时温度的最大值保持不变，说明系统已经达到了稳态。同理，我们可以分析当k<0时，系统是放热的，k值越小则最小值也越小。同样的，在t=10s,以及t=

17、20s时系统的值已经保持稳定了。6.2.3 本章小结 通过本章的仿真分析，我们发现当非齐次项为不同常数时，系统的传热规律。并且依据解的3D图像得出了一些简单的结论。第7章 非齐次项为时解的分布规律7.1 问题描述 本文研究的是一长为1的均匀细杆，其侧表面绝热，与周围进行热交换的只有两端：x=0,x=1,的热传导方程的混合问题的初边界问题。由于非齐次项实际上就是热源，所以这一章我们可以研究非齐次项与相关时细杆的吸放热情况。相应的方程及其初边值条件： 0<x<1;t>=0U(x,0)=0；U(0,t)=0,U(1,t)=0；7.2 仿真结果及分析7.2.1 解的3D图像7.2.1

18、.1 t=1时刻解的分布规律 K=1时解的分布 K=2时解的分布 K=4时解的分布 K=6时解的分布 K=8时解的分布 K=10时解的分布7.2.1.2 t=5时刻解的分布规律 K=1时解的分布 K=2时解的分布 K=4时解的分布 K=6时解的分布 K=8时解的分布 K=10时解的分布 K=15时解的分布 K=20时解的分布7.2.1.3 t=10时刻解的分布规律 K=1时解的分布 K=2时解的分布 K=4时解的分布 K=6时解的分布 K=8时解的分布 K=10时解的分布 K=15时解的分布 K=20时解的分布7.2.1.4 t=15时刻解的分布规律 K=1时解的分布 K=2时解的分布 K=4

19、时解的分布 K=6时解的分布 K=8时解的分布 K=10时解的分布K=15时解的分布7.2.1.5 t=20时刻解的分布规律 K=1时解的分布 K=2时解的分布 K=4时解的分布 K=6时解的分布 K=8时解的分布 K=10时解的分布 K=15时解的分布 K=20时解的分布7.2.2 结果分析从图中我们可以看出，在任一时刻的任意k值下解的分布都是剖物线型，且其最大值始终在细杆的中点位置处。而在同一时刻当k值增大时解的最大值也随之增大，并且我们发现当t越大时增大的幅度也越大。所以当我们观察在t=20s，k=20时的解是非常大的。再看一下在同一k值下不同时刻的解的大小，发现也是逐渐增大的。7.2.

20、3 本章小结 本章讨论了当非齐次项与t的指数关系时的不同时刻的解的分布规律，并且得到了一些简单的规律。第8章 非齐次项为时解的分布规律8.1 问题描述 本文研究的是一长为1的均匀细杆，其侧表面绝热，与周围进行热交换的只有两端：x=0,x=1,的热传导方程的混合问题的初边界问题。由于非齐次项实际上就是热源，所以这一章我们可以研究非齐次项与相关时细杆的吸放热情况。相应的方程及其初边值条件： 0<x<1;t>=0U(x,0)=0；U(0,t)=0,U(1,t)=0；8.2 仿真结果及分析8.2.1 解的3D图像8.2.1.1 t=1时刻解的分布规律 K=1时解的分布 K=2时解的分

21、布 K=4时解的分布 K=6时解的分布 K=8时解的分布 K=10时解的分布 K=15时解的分布 K=20时解的分布8.2.1.2 t=5时刻解的分布规律 K=1时解的分布 K=2时解的分布 K=4时解的分布 K=6时解的分布 K=8时解的分布 K=10时解的分布 K=15时解的分布 K=20时解的分布8.2.1.3 t=10时刻解的分布规律 K=1时解的分布 K=2时解的分布 K=4时解的分布 K=6时解的分布 K=8时解的分布 K=10时解的分布 K=15时解的分布 K=20时解的分布8.2.1.4 t=15时刻解的分布规律 K=1时解的分布 K=2时解的分布 K=4时解的分布 K=6时解

22、的分布 K=8时解的分布 K=10时解的分布 K=15时解的分布 K=20时解的分布8.2.1.5 t=20时刻解的分布规律 K=1时解的分布 K=2时解的分布 K=4时解的分布 K=6时解的分布 K=8时解的分布 K=10时解的分布 K=15时解的分布 K=20时解的分布8.2.1.6 t=30时刻解的分布规律 K=20时解的分布 K=40时解的分布 8.2.1.6 t=40时刻解的分布规律 K=20时解的分布 K=40时解的分布 8.2.2 结果分析从图中我们可以看出，在任一时刻的任意k值下解的分布都y已不是剖物线型，且其最大值始终也不在在细杆的中点位置处。但是在同一时刻当k值增大时解的最

23、大值随之减小，这与前面的与t指数相关的情况不同，并且我们发现当k值增大时，温度的最大值往细杆的右端偏，这也是前面没有遇到过的。再仔细观察一下t=30s,40s时的解的分布图像，我们发现细杆前面几乎呈线性分布，t,k值越大，这种现象越明显。8.2.3 本章小结 本章讨论了当非齐次项与x的指数关系时的不同时刻的解的分布规律，并且得到了一些简单的规律。第9章 非齐次项为时解的分布规律9.1 问题描述 本文研究的是一长为1的均匀细杆，其侧表面绝热，与周围进行热交换的只有两端：x=0,x=1,的热传导方程的混合问题的初边界问题。由于非齐次项实际上就是热源，所以这一章我们可以研究非齐次项与相关时细杆的吸放热情况。相应的方程及其初边值条件： 0<x<1;t>=0U(x,0)=0；U(0,t)=0,U(1,t)=0；9.2 仿真结果及分析9.2.1 解的3D图像9.2.1.1 t=1时刻解的分布规律9.2.1.2 t=5时刻解的分布规律9.2.1.3 t=10时刻解的分布规律9.2.1.4 t=15时刻解的分布规律9.2.1.5