级数求和问题

1、級數求和問題前言在高一的數學課本裡介紹了一些級數求和問題，如等差級數和等比級數，另外也介紹了一些級數，如： 這些等式幾乎都供數學歸納法的練習之用。 推導的過程用的是 ，將k自1至n帶入，不難導出此公式： 依序加起來： 整理之後即可得。但是，次數再高的話，求公式就很麻煩了。宋代數學家的高階等差級數研究一、 何謂高階等差級數？1. ， 若為常數，即稱等差級數(一階等差級數)。 例：f(n) = f(0) f(1) f(2) f(3) f(4) 1 2 3 4 1 1 12. ， 若 為常數，即稱 k階等差級數。例：f(n) =，為2階等差級數 f(0) f(1) f(2) f(3) f(4) 3

2、5 7 2 2 0 例：f(n) =，為3階等差級數 f(0) f(1) f(2) f(3) f(4) f(5) 7 19 37 61 12 18 24 6 6 0 例：應該不難證明出為4階等差級數 例：f(n) =，為2階等差級數 f(0) f(1) f(2) f(3) f(4) 12 23 34 45 2 2 二、 宋代數學家的高階等差級數研究歷史上最早研究高階等差級數的是北宋的 沈括，在其著作夢溪筆談中，曾給出一個垛積問題：給一個長方台垛積，高為n層，其等頂層寬有a個物體，長有b個物體，其底層寬有c個物體，長有d個物體，求整個垛積之物體總數，其解法相當於為2階等差級數的公式：以此為起點，

3、中國古代數學家開始了二、三百年間關於高階等差級數的研究。例：某水果販將橘子堆成長方垛 , 最底層長邊有 10個 , 短邊有 5個 , 則此長方形垛最多有幾個？解： ()例：某水果販將橘子堆成長方垛 , 最上層長邊有 4個 , 短邊有 3個 , 共有7層，則此長方形垛有幾個？解：例：某水果販將200個橘子堆成正方垛，最多有幾層？剩下幾個？解：7層，剩60個南宋數學家 楊輝 也對垛積問題作了一些研究，在他的著作中，也可以找到四個公式：(1) (2) (3) (4)其中(2)(3)(4)均為(1)的特殊情形元代數學家 朱世傑 ( 西元1303年 )總結了我國古代數學家有關高階等差級數的求和問題，領先

4、 牛頓 等歐洲數學家近四百年。在他的經點典名著四元玉鑑中包含了兩大類型的高階等差級數求和問題，一類為三角垛，數學史家稱之為三角垛系統；一類為四角垛，數學史家稱之為嵐峰形系統。三角垛系統求和公式借用現在符號來表現，相當於(1) (2) = 1 + ( 1 + 2 ) + ( 1+ 2 + 3 ) + ( 1 + 2 + 3 + n )=其各層形如下： (3) =(4) =嵐峰形系統求和公式借用現在符號來表現，相當於 ( 四角垛 )其各層形如下： 以上為課本中介紹相關的觀念，在參考資料中有介紹一句話：有限多個高階等差級數的整係數線性組合必然也是高階等差級數，而其階數與最高階數相同例如：為 k+1階

5、等差級數例子中是很容易見到到這結果。附錄一 費馬解決的級數在1636年法國數學家費馬興高采烈的給朋友寫一封信:我已解決了在算術中可以算是最漂亮的一個問題這個結果就是朱士傑所得到的整整比朱士傑晚了三百年二伯努利數1713年瑞士數學家雅各比伯努利(J Bernoulli)在他的著作Ars Conjectandi給出以下公式公式中的ABCD恰好分別是 等總和公式中最後一項的係數(即n的係數)也就是 這些數現在稱伯努利數三垛積比類 清代數學家李善蘭在著作垛積比類中給出級數總和公式如下 其中可能是接觸了西方的微積分學後寫成的基本上仍繼承古代中國算學的傳統補充給定一個函數 f(x) ，定義差分算子如下：，表示對f(x)實施k次運算子，並令。則為一線性算子，即，a , b為常數。由定義很容易證出此性質： 這也說明了有限多個高階等差級數的整係數線性組合必然也