第四讲 级数与反常积分收敛的Abel—Dirichlet判别法

1、第四讲 级数与反常积分收敛的AbelDirichlet判别法Abel判别法与Dirichlet判别法在数学分析课程教学中出现了四次，即积分的“反常积分”部分与“含参变量积分”部分，级数的“数项级数”部分与“函数项级数”部分，证明的关键是积分第二中值定理与Abel引理。如何讲好这两个内容是教学的关键。下面我们就“反常积分”部分与“数项级数”部分的Abel判别法与Dirichlet判别法进行讲解。1积分的Abel判别法与Dirichlet判别法定理1（Cauchy收敛原理） 反常积分收敛的充分必要条件是：对任意给定的，存在，使得对任意，有 。定理2（积分第二中值定理） 设在上可积，在上单调，则存在

2、，使得。证 我们只对在上连续，在上单调且在上可积的情况加以证明。 记，则在连续，且。由于在上连续，于是是在上的一个原函数，利用分部积分法，有。上式右端的第一项，而在第二项中，由于单调，因此保持定号，由积分第一中值定理，存在，使得，于是。说明 在判断反常积分收敛时，我们将利用积分第二中值定理得到。定理3（反常积分的A-D判别法） 若下列两个条件之一满足，则收敛： (1)（Abel判别法） 收敛，在上单调有界； (2)（Dirichlet 判别法）在上有界，在上单调且。证 设是任意给定的正数。 (1) 若Abel判别法条件满足，记。因为收敛，由Cauchy收敛原理，存在，使得对任意，有。由积分第二

3、中值定理，。(2) 若Dirichlet 判别法条件满足，记，此时对任意，显然有；因为，所以存在，当时，有。于是，对任意，。 所以无论哪个判别法条件满足，由Cauchy收敛原理，都有收敛的结论。例1 讨论的敛散性。 解 显然有界，在上单调且，由Dirichlet 判别法，收敛。但在，有，因收敛（仿照上面对的讨论），而发散，所以发散。再由比较判别法，可知发散。因此，条件收敛。例2 讨论的敛散性。 解 由例1，收敛，而在上单调有界，由Abel 判别法，收敛。当时，有，由比较判别法和发散，可知非绝对收敛。因此，条件收敛。2级数的Abel判别法与Dirichlet判别法定理3（Cauchy收敛原理）

4、级数收敛的充分必要条件是：对任意给定的，存在正整数N，使得对一切nN与一切正整数p成立。 引理1（Abel变换） 设an ，bn 是两数列，记Bk =（k = 1,2,），则 = ap Bp- 。 （1） 证= a1B1 + = a1B1 + - =- + ap Bp = ap Bp- 。上式也称为分部求和公式。事实上，Abel变换就是离散形式的分部积分公式。记G(x) = ，则分部积分公式可以写成 = 。 （2）将数列的通项类比于函数：对应于，对应于，对应于，将求和类比于求积分：对应于，对应于，将求差类比于求微分：对应于，则（1）式与（2）式两者是一致的。 a5 a4 a3 a2 a1 0

5、B1 B2 B3 B4 B5上图是当，且单调增加时，Abel变换的一个直观的示意。图中矩形被分割成9个小矩形，根据所标出的各小矩形的面积，即得到p = 5的Abel变换： 。 利用Abel变换即得到如下的Abel引理。 引理2 （Abel引理） 设(1)ak 为单调数列；(2)Bk （Bk =，k = 1,2,)为有界数列，即存在M0，对一切k，成立Bk M，则 M (a1+2ap)。 证 由Abel变换得+ 。由于单调，所以 = =，于是得到 M (a1+2)。说明 在判断级数的收敛性时，我们将利用下述形式的Abel引理M (+2)，其中。定理4（级数的A-D判别法） 若下列两个条件之一满足

6、，则级数收敛：(1) (Abel判别法) 单调有界，收敛； (2) (Dirichlet判别法) 单调趋于0，有界。证 (1) 若Abel判别法条件满足，设anM，由于收敛，则对于任意给定的0，存在正整数 N，使得对于一切 nN和p，成立。对应用Abel引理，即得到(+2) 3M。(2) 若Dirichlet判别法条件满足，由于an =0, 因此对于任意给定的>0，存在N, 使得对于一切，成立an。 设，令 Bk = (k = 1,2,)，则= 2M，应用Abel引理，同样得到2M (+2)6M对一切nN与一切正整数p成立。 根据Cauchy收敛原理，即知收敛。 例3 设收敛，则由Abel判别法，级数, , ，等等都收敛。