华中师范大学2014量子力学-B卷-参考答案

1、华中师范大学 2014 2015 学年第一学期期末考试试卷（B）课程名称 量子力学 课程编号 83810113 任课教师 题型简答题名词解释题证明题计算题总分分值12241945100得分 得分评阅人一、简答题（共3题，每题4分，共12分）1. 量子力学基本假设是什么？答：（1）量子体系的运动状态由波函数完全描述，波函数具有单值性，有限性和连续性，归一化的波函数是概率幅；（2）波函数的时间演化由薛定谔方程描述，式中是体系的哈密顿算符；（3）力学量用线性厄米算符表示，如果在经典力学中它的表达式为，则在量子力学中表示这个力学量的算符为。测量是测量仪器对量子体系的一种作用，在测得体系的力学量后，体系

2、的状态将由态突变为的本征态，称为量子态的塌缩。2. 哪些实验表明电子具有自旋现象？电子自旋角动量是电子自转产生的吗？答：钠黄线的精细结构，复杂塞曼效应，斯特恩-盖拉赫实验都表明电子具有自旋。电子自旋角动量不是电子自转产生的，因为按照电子自转的图像，算得电子表面的线速度会超光速，按照狭义相对论，这是不可以的。3. 波函数的统计解释及波函数的标准条件答：时刻附近体积元内发现粒子的概率为。描写粒子的波是概率波，波的强弱反映了在空间某处发现粒子的概率的大小。波函数的标准条件是单值、连续和有限。院（系）： 专业： 年级： 学生姓名： 学号： - 密 - 封 - 线 -得分评阅人二、名词解释题（共6题，每

3、题4分，共24分）1. 态叠加原理答：若是体系的一系列可能的状态，则这些态的线性叠加（其中为复常数）也是体系的一个可能状态。当体系处于态时，发现体系处于态的概率是。2. 隧道效应答：微观粒子能穿越比它的能量高的势垒的现象，称为隧道效应。它是微观粒子波动性的体现。3. 全同性原理和泡利不相容原理答：全同性原理表述为：全同粒子是不可区分的，全同粒子体系的状态不会因为任意两个全同粒子的交换而改变。由于全同性原理，全同粒子体系的总波函数具有交换对称性或反对称性。全同玻色子体系的总波函数是交换对称的，全同费米子体系的总波函数是交换反对称的。对于费米子，如果有两个或两个以上的粒子状态相同，则不可能组成反对

4、称的波函数，这表明，在全同费米子体系中不能有两个或两个以上的费米子处于同一状态，这就是泡利不相容原理。泡利不相容原理是全同性原理的推论。4. 共振跃迁 答：当周期性微扰的频率不等于两能级间的玻尔频率时，即时，跃迁概率不大；当时，即吸收过程和辐射过程，其跃迁概率随时间而增大，称为共振跃迁。这类似于经典力学中的受迫振动：当外力频率不等于振子固有频率时，振幅始终不大；当外力频率等于振子固有频率时，振幅会变得很大。因而通常把跃迁中的这种现象称为共振跃迁。5. 分波法的基本思想答：对于中心力场，角动量是守恒量。应用角动量守恒，把受势场作用前后的定态按分波展开，各分波在散射过程中可以分开来一个一个处理，势

5、场对各分波的效应在于改变分波的相位。 第 1 页(共 4 页)6. 电子云答：从量子力学的观点看，氢原子中核外电子的运动不再是圆轨道上的运动，而是以不同的概率出现在空间各处，这种电子电荷在核外的概率分布称为电子云。 得分评阅人三、证明题（共3题，共19分）1. 证明对易关系。（8分）证明：因为，且，利用对易关系的运算法则，得 2. 证明：厄米算符的本征值必为实数。（5分）证明：设的本征值谱为离散谱，其本征值方程为 根据厄米算符的定义，在这个定义式中，令，便有 将的本征值方程带入，得 由于，故有，证毕。 - 密 - 封 - 线 - 3. 设电子1、2的自旋分别为：，体系处于对称波函数的状态，证明

6、总自旋角动量z分量的取值为。（6分）证明：总自旋角动量z分量算符为，把它作用在体系状态上，利用粒子1的角动量只对粒子1的波函数有作用，对粒子2的波函数没有作用，可得 可见，是的本征态，本征值为。证毕。得分评阅人四、计算题（共4题，共45分）1. 设氢原子处于归一化状态，求其能量、角动量平方及角动量z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。（12分） （提示：氢原子能级公式） 解：题示的状态是用本征态展开的形式，只包含两个本征态，根据态叠加原理，体系处于这两个本征态的概率分别为：1/4，3/4。从量子数可以看出，这两个本征态都是n=2的本征态，对应于同一能量，根据氢原子的能级公式

7、，该状态下，体系能量的可能值是，概率为1；其它取值的概率为0；能量平均值为； 两个本征态都是l=1的本征态，角动量平方的本征值公式，故其可能值为，概率为1：其它取值的概率为0；平均值为； 两个本征态对应于m=0和m=-1，角动量z分量的本征值公式，故其可能值：0，概率为1/4；，概率为3/4；平均值为。 第 2 页(共 4 页)2. 在某一选定的一组正交基矢下哈密顿算符由下列矩阵给出（1）设，应用微扰论求哈密顿算符的本征值到二级近似；（2）求哈密顿算符的本征值的精确解；（3）在怎样条件下，上面二结果一致。（15分）解：（1）当，可把哈密顿分解为 是对角矩阵，是在自身表象的形式。所以，零级近似的能量和态矢为由无简并微扰公式， ，得能量的一级修正为能量的二级修正为 得二级近似下。（2）设H的本征值为E，久期方程为，得。（3）将精确解按c展开得。微扰论二级近似解与精确解展开式不计c4及更高阶的结果相同。 - 密 - 封 - 线 -3. 设算符在A表象的矩阵表示为，为实常数，求（1）的本征值及正交归一的本征矢在A表象的矩阵表示；（2）使矩阵F对角化的么正变换矩阵U。（12分）解： 第 3 页