《高等数学复习资料》第一章第四次

1、机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 编辑ppt1回顾：1 1、基本概念：、基本概念：左（右）极限左（右）极限函数极限、函数极限、2 2、函数极限的性质：、函数极限的性质：局部保号性局部保号性局部有界性、局部有界性、唯一性、唯一性、机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 编辑ppt2;)(limAnfn ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(lim0Axfxx ;)(lim0Axfxx .)(lim0Axfxx .)(, 0)(lim AxfAxf恒有恒有从此时刻以后从此时刻以后时刻时刻(见下表见下表)机动机动 目录目

2、录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 编辑ppt3过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 n x x xNNn Nx Nx Nx )(xf Axf)(0 xx 00 xx 0 xx 0 xx 00 xx00 xx过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 )(xf Axf)(机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 编辑ppt4第四节第四节 无穷小与无穷大无穷小与无穷大三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系一、无穷小一、无穷小 二、无穷大二、无穷大四、小结四、小结机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 编辑ppt5例如：例如：, 0

3、sinlim0 xx.0sin时时的的无无穷穷小小是是当当函函数数xx, 01lim xx.1时时的的无无穷穷小小是是当当函函数数 xx, 0)1(lim nnn.)1(时的无穷小时的无穷小是当是当数列数列 nnn注意注意1.1.无穷小是变量无穷小是变量, ,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆; ;2.2.零是可以作为无穷小的唯一的常数零是可以作为无穷小的唯一的常数. .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 编辑ppt6证：证：必要性必要性,)(lim0Axfxx 设设,)()(Axfx 令令, 0)(lim0 xxx则则有有).()(xAxf 充分性充分性),()(x

4、Axf 设设,)(0时时的的无无穷穷小小是是当当其其中中xxx )(lim)(lim00 xAxfxxxx 则则)(lim0 xAxx .A 意义：意义：1.1.将一般极限问题转化为特殊极限问题将一般极限问题转化为特殊极限问题( (无穷小无穷小););).(,)()(.20 xAxfxxf 误差为误差为附近的近似表达式附近的近似表达式在在给出了函数给出了函数机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 编辑ppt7定理定理2 2 在同一过程中在同一过程中, ,有限个无穷小有限个无穷小的代数和仍是无穷小的代数和仍是无穷小. .证证,时时的的两两个个无无穷穷小小是是当当及及设设 x,

5、12000XX 使使得得max,12XXX 取取 22 , )(0 x无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. .是是无无穷穷小小，时时例例如如nn1, .11不不是是无无穷穷小小之之和和为为个个但但nn注意：注意：;22xX时恒有时恒有当当;12xX 当当时恒有时恒有xX 时恒有时恒有当当机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 编辑ppt8定理定理3 3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小. .证：证：内有界，内有界，在在设函数设函数),(100 xUu.0, 0, 0101MuxxM 恒恒有有时时使使得得当当则则,

6、0时时的的无无穷穷小小是是当当又又设设xx .0, 0, 0202Mxx 恒恒有有时时使使得得当当,min21 取取恒恒有有时时则则当当,00 xx uuMM , .,0为无穷小为无穷小时时当当 uxx机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 编辑ppt9在同一过程中在同一过程中, ,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小. .常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小. .有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小. .xxxxx1arctan,1sin,0,2时时当当例例如如都是无穷小都是无穷小推论推论1 1：推论推论

7、2 2：推论推论3 3：有限个无穷小之间进行加、减、乘以及数乘有限个无穷小之间进行加、减、乘以及数乘运算得到的还是无穷小。运算得到的还是无穷小。小结：小结：问题：问题：无穷小之间进行除运算会得到什么结果呢？无穷小之间进行除运算会得到什么结果呢？机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 编辑ppt10绝对值无限增大的变量称为绝对值无限增大的变量称为无穷大无穷大. .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 编辑ppt11特殊情形：正无穷大，负无穷大特殊情形：正无穷大，负无穷大)(lim()(lim)()(00 xfxfxxxxxx或或注意注意1.1.无穷大是变

8、量无穷大是变量, ,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆; ;3. 3. 无穷大是一种特殊的无界变量无穷大是一种特殊的无界变量, ,但是但是无界变量未必是无穷大无界变量未必是无穷大. .)(lim. 20认为极限存在认为极限存在切勿将切勿将 xfxx机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 编辑ppt12xxy1sin1 .,1sin1,0,但不是无穷大但不是无穷大是一个无界变量是一个无界变量时时当当例如例如xxyx ), 3 , 2 , 1 , 0(221)1(0 kkx取取,22)(0 kxy.)(,0Mxyk 充充分分大大时时当当), 3 , 2 , 1 , 0(21)

9、2(0 kkx取取, kxk充充分分大大时时当当 kkxyk2sin2)(但但.0M 不是无穷大不是无穷大无界，无界，机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 编辑ppt13.11lim1 xx证证明明例例证证. 0 M,11Mx 要使要使,11Mx 只只要要,1M 取取,110时时当当Mx .11Mx 就有就有.11lim1 xx.)(,)(lim:00的图形的铅直渐近线的图形的铅直渐近线是函数是函数则直线则直线如果如果定义定义xfyxxxfxx 11 xy机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 编辑ppt14【渐近线】【渐近线】( (1) )铅直渐近线

10、铅直渐近线11 xy【例如】【例如】1 x是函数是函数的铅直渐近线。的铅直渐近线。(2)水平渐近线水平渐近线.)(,)(lim的的图图形形的的水水平平渐渐近近线线函函数数是是则则直直线线如如果果xfyAyAxfx .:)(处处的的极极限限要要考考虑虑函函数数没没有有定定义义点点求求铅铅直直渐渐近近线线b(3)小结求渐近线小结求渐近线.)(,)(lim00的的图图形形的的铅铅直直渐渐近近线线函函数数是是则则直直线线如如果果xfyxxxfxx . :)(的的极极限限时时只只要要考考虑虑求求水水平平渐渐近近线线yxa 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 编辑ppt15.234

11、2的的水水平平与与铅铅垂垂渐渐近近线线求求 xxy例例【解】【解】0234lim2 xxx, 234 0 2的的水水平平渐渐近近线线是是故故 xxyy.)2)(1(4lim,)2)(1(4lim11 xxxxxx且且 , 234 1 2的铅垂渐近线的铅垂渐近线是是故故 xxyx.2也也是是函函数数的的铅铅垂垂渐渐近近线线同同理理可可求求 x.212342处处无无定定义义和和在在又又 xxxxy机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 编辑ppt16在同一过程中在同一过程中, ,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小; ;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为

12、无穷大. .定理定理4 4：关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论, ,都可归结为关于无穷小的讨论都可归结为关于无穷小的讨论. .证明：略证明：略 课本课本P41机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 编辑ppt17两个定义两个定义; ;四个定理四个定理; ;三个推论三个推论. .无穷小与无穷大是相对于过程而言的无穷小与无穷大是相对于过程而言的. .（1 1） 无穷小（无穷小（ 大）是变量大）是变量, ,不能与很小（大）的数不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；混淆，零是唯一的无穷小的数；（2 2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小）无穷多个无穷小的代数和（乘积

13、）未必是无穷小. .（3 3） 无界变量未必是无穷大无界变量未必是无穷大. .小结小结机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 编辑ppt18第五节第五节 极限运算法则极限运算法则二、求极限方法举例二、求极限方法举例一、极限运算法则一、极限运算法则三、小结、思考题三、小结、思考题机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 编辑ppt19定理定理1 1. 0,)()(lim)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim BBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgAxf其其中中则则设设证：略（课本证：略（课本 P44）机动机动 目录目

14、录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 编辑ppt20推论推论1 1).(lim)(lim,)(limxfcxcfcxf 则则为为常常数数而而存存在在如如果果常数因子可以提到极限记号外面常数因子可以提到极限记号外面.)(lim)(lim,)(limnnxfxfnxf 则则是是正正整整数数而而存存在在如如果果推论推论2 2推论推论3 3(1)、(2)的结论可推广到有限个函数的情形的结论可推广到有限个函数的情形机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 编辑ppt21【定理【定理2】设数列设数列 , , nnyx【注意】【注意】定理定理1及其两个推论成立的前提条件是：及其两个推

15、论成立的前提条件是： “f ( (x) )与与g ( (x) )的极限存在的极限存在”若若 lim，Axnn Bynn lim则则BAyxnnn )(lim )1(BAyxnnn lim )2(0 ), 2 , 1(0 , lim )3( BnyBAyxnnnn且且当当机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 编辑ppt22【定理【定理3】)()( xx 如如果果bx )(lim )(lim ax 而而 ba 则则【证】【证】令令)()()(xxxf 则则0)( xf由定理由定理3可知可知 )()(lim)(limxxxf baxx )(lim)(lim 由第三节函数极限的由

16、第三节函数极限的局部保号性局部保号性的推论可知的推论可知0)(lim xf 0 ba ba 【证完】【证完】3.极限保序性极限保序性机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 编辑ppt23定理定理4(4(复合函数的极限运算法则）复合函数的极限运算法则）AufxgfuxgxUxAufuxgxxgfyufyxguxgfyuuxxuuxx )(lim)(lim,)(),(, 0,)(lim,)(lim,)()()(00000000000则则有有时时，当当且且存存在在又又若若邻邻域域内内有有定定义义的的某某去去心心在在复复合合而而成成，与与是是由由设设 证明：证明：.)(,|0, 0

17、, 00 Axgfxx恒有恒有时时使得当使得当.)(,0,0,0,)(lim00成成立立时时当当对对于于由由于于 AufuuAufuu.)(,0, 0, 0)(lim010100成成立立时时当当存存在在，对对于于上上面面得得到到的的又又由由于于 uxgxxuxgxx.)(),(00000uxgxUx 内内的的去去心心邻邻域域设设在在 ,)(0,0,min0010成成立立时时则则当当取取 uxgxx.)()(成成立立从从而而 AufAxf机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 编辑ppt24说明：说明：或或可得类似的定理。可得类似的定理。1 1、把定理中的、把定理中的换成换成

18、而把而把换成换成 )(lim0 xgxx0)(lim0uxgxx Aufu )(lim2 2、给出了用变量代换法求复合函数极限理论依据。、给出了用变量代换法求复合函数极限理论依据。 )(limxgxAufuu )(lim0机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 编辑ppt25例例1 1.531lim232 xxxx求求解解)53(lim22 xxx5lim3limlim2222 xxxxx5limlim3)lim(2222 xxxxx52322 , 03 531lim232 xxxx)53(lim1limlim22232 xxxxxx.37 3123 机动机动 目录目录 上

19、页上页 下页下页 返回返回 结束结束 编辑ppt26小结小结: :则则有有设设,)(. 1110nnnaxaxaxf nnxxnxxxxaxaxaxf 110)lim()lim()(lim000nnnaxaxa 10100).(0 xf 则则有有且且设设, 0)(,)()()(. 20 xQxQxPxf)(lim)(lim)(lim000 xQxPxfxxxxxx )()(00 xQxP ).(0 xf ., 0)(0则商的法则不能应用则商的法则不能应用若若 xQ机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 编辑ppt27解解)32(lim21 xxx, 0 商的法则不能用商的法

20、则不能用)14(lim1 xx又又, 03 1432lim21 xxxx. 030 由无穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷大的关系, ,得得例例2 2.3214lim21 xxxx求求.3214lim21 xxxx机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 编辑ppt28解解例例3 3.321lim221 xxxx求求.,1分分母母的的极极限限都都是是零零分分子子时时x.1后再求极限后再求极限因子因子先约去不为零的无穷小先约去不为零的无穷小 x)1)(3()1)(1(lim321lim1221 xxxxxxxxx31lim1 xxx.21 )00(型型消去零因子法消去零因子法机动

21、机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 编辑ppt29例例4 4.147532lim2323 xxxxx求求解解.,分母的极限都是无穷大分母的极限都是无穷大分子分子时时 x)(型型 .,3再再求求极极限限分分出出无无穷穷小小去去除除分分子子分分母母先先用用x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx .72 无穷小因子分出法无穷小因子分出法机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 编辑ppt30小结小结: :为为非非负负整整数数时时有有和和当当nmba, 0, 000 , 0,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx当当当当当当无穷小分出法无穷小分出法: :以分母中自变量的最高次幂除分以分母中自变量的最高次幂除分子子, ,分母分母, ,以分出无穷小以分出无穷小, ,然后再求极限然后再求极限. .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 编辑ppt31例例5 5（补充）（补充）).21(lim222nnnnn 求求解解是是无无穷穷小小之之和和时时, n222221lim)21(limnnnnnnnn 2)1(21limnnnn )11(21limnn .21 先变形再求极限先变形再