《高等数学教学》

1、编辑ppt 第九章第九章 第八节第八节一、多元函数的极值一、多元函数的极值 二、最值应用问题二、最值应用问题三、条件极值三、条件极值多元函数的极值及其求法多元函数的极值及其求法编辑pptxyz一、一、 多元函数的极值多元函数的极值 定义定义: 若函数若函数则称函数在该点取得则称函数在该点取得极大值极大值(极小值极小值).例如例如 :在点在点 (0,0) 有极小值为有极小值为0;在点在点 (0,0) 有极大值为有极大值为R;在点在点 (0,0) 无极值无极值.极大值和极小值极大值和极小值统称为统称为极值极值, 使函数取得极值的点称为使函数取得极值的点称为极值点极值点.),(),(00yxfyxf

2、),(),(00yxfyxf或2243yxz222yxRz yxz ),(),(00yxyxfz在点的某邻域内有的某邻域内有xyzxyz编辑ppt例例1:1:讨论函数讨论函数及及是否取得极值是否取得极值.解解: 显然显然 (0,0) 都是它们的驻点都是它们的驻点 ,在在(0,0)点邻域内的取值点邻域内的取值, 因此因此 z(0,0) 不是极值不是极值.因此因此,022时当 yx222)(yxz0)0 , 0( z为极小值为极小值. .正正负负033yxz222)(yxz在点在点(0,0)xyzo并且在并且在 (0,0) 都有都有 02BAC33yxz可能为可能为0)()0 , 0()0 , 0

3、(222yxz编辑ppt说明说明: 使偏导数都为使偏导数都为 0 的点称为的点称为驻点驻点 . 例如例如,定理定理1 1 ( (必要条件必要条件) )函数函数偏导数偏导数,证证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.0)y,(xf,0)y,(xf00y00 x 取得极值取得极值 ,取得极值取得极值取得极值取得极值 但驻点不一定是极值点但驻点不一定是极值点.有驻点有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值但在该点不取极值.且在该点取得极值且在该点取得极值 , 则有则有),(),(00yxyxfz在点存在存在),(),(00yxyxfz在点因在),(0y

4、xfz 0 xx 故故在),(0yxfz 0yy yxz 编辑ppt时时, 具有极值具有极值定理定理2 2 ( (充分条件充分条件) )的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且且令令则则: 1) 当当A0 时取极小值时取极小值.2) 当当3) 当当证明见证明见 第九节第九节(P65) . 时时, 没有极值没有极值.时时, 不能确定不能确定 , 需另行讨论需另行讨论.若函数若函数的在点),(),(00yxyxfz 0),(,0),(0000yxfyxfyx),(, ),(, ),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx02BAC02 BAC02BAC编

5、辑ppt例例2.2. 求函数求函数解解: 第一步第一步 求驻点求驻点. .得驻点得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步第二步 判别判别.在点在点(1,0) 处处为极小值为极小值; ;解方程组解方程组ABC),(yxfx09632 xx),(yxfy0632yy的极值的极值. .求二阶偏导数求二阶偏导数,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC5)0, 1 ( f,0Axyxyxyxf933),(2233编辑ppt在点在点( 3,0) 处处不是极值不是极值; ;在点在点( 3,2)

6、处处为极大值为极大值. .,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC)0,3( f6,0,12CBA31)2,3( f,0)6(122 BAC,0A在点在点(1,2) 处处不是极值不是极值; ;6,0,12CBA)2, 1 (f,0)6(122 BACABC编辑ppt二、最值应用问题二、最值应用问题函数函数 f 在闭域上连续在闭域上连续函数函数 f 在闭域上可达到最值在闭域上可达到最值 最值可疑点最值可疑点 驻点驻点边界上的最值点边界上的最值点特别特别, 当区域内部最值存在当区域内部最值存在, 且且只有一个只有一个极值点极值点P

7、 时时, )(Pf为极小为极小 值值)(Pf为最小为最小 值值( (大大) )( (大大) )依据依据编辑ppt例例3.3.解解: 设水箱长设水箱长,宽分别为宽分别为 x , y m ,则高为则高为则水箱所用材料的面积为则水箱所用材料的面积为令令得驻点得驻点某厂要用铁板做一个体积为某厂要用铁板做一个体积为2根据实际问题可知最小值在定义域内应存在根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水的有盖长方体水问当长、宽、高各取怎样的尺寸时问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省才能使用料最省?,m2yx2Ayxyxy2yxx2yxyx22200yx0)(222xxyA0)(222yy

8、xA因此可因此可断定此唯一驻点就是最小值点断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为即当长、宽均为高为高为时时, 水箱所用材料最省水箱所用材料最省.3m)2,2(33323222233编辑ppt三、条件极值三、条件极值极值问题极值问题无条件极值无条件极值:条条 件件 极极 值值 :条件极值的求法条件极值的求法: ,0),(下在条件yx的极值求函数),(yxfz 引入辅助函数引入辅助函数),(),(yxyxfF辅助函数辅助函数F 称为拉格朗日称为拉格朗日( Lagrange )函数函数.0 xxxfF0yyyfF0F利用拉格利用拉格则极值点满足则极值点满足:朗日函数求极值的方法称为朗日函数求极

9、值的方法称为拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法.编辑ppt推广推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形个约束条件的情形. 设设解方程组解方程组可得到条件极值的可疑点可得到条件极值的可疑点 . 例如例如, 求函数求函数下的极值下的极值.在条件在条件),(zyxfu ,0),(zyx0),(zyx),(),(),(21zyxzyxzyxfF021xxxxfF021yyyyfF021zzzzfF01F01F编辑ppt则问题为求则问题为求x,y ,解方程组解方程组解解: 设设 x,y ,z 分别表示长、宽、高分别表示长、宽、高,z 使在条件使在条件xF02

10、 )zy(yz yF02 )zx(xz zF02 )xy(xy 02222 axzyzxy)z , y,x( )z ,y,x(yzxv000 )azxyzyx(xyzL:2222 作拉格朗日函数作拉格朗日函数xyz.a的的体体积积而而体体积积为为最最大大的的长长方方体体：求求表表面面积积为为例例24下，求函数下，求函数的最大值的最大值.(1)(2)(3).aV,azyxzyx336666 最最大大体体积积体体积积最最大大时时，代代入入条条件件中中得得编辑ppt.)a,z ,y,x(azyxxyzu下下的的极极值值在在附附加加条条件件、求求函函数数例例0000 11115 )azyx(xyzL:

11、1111 解：作拉格朗日函数解：作拉格朗日函数010101222 )z(xyL,)y(xzL,)x(yzLzyx azyx3 处处有有极极小小值值，在在点点（数数由由极极值值的的充充分分条条件件，函函)a,aau333.au327 极极小小值值编辑ppt内容小结内容小结1. 函数的极值问题函数的极值问题第一步第一步 利用必要条件在定义域内找驻点利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组即解方程组第二步第二步 利用充分条件利用充分条件 判别驻点是否为极值点判别驻点是否为极值点 .2. 函数的条件极值问题函数的条件极值问题(1) 简单问题用代入法简单问题用代入法, ),(yxfz 0),(0),(yxfyxfyx如对二元函数如对二元函数(2) 一般问题用拉格朗日乘数法一般问题用拉格朗日乘数法编辑ppt设拉格朗日函数设拉格朗日函数如求二元函数如求二元函数下的极值下的极值,解方程组解方程组第二步第二步 判别